Main:z from

Percentage Accurate: 91.9% → 98.4%

Time: 28.9s

Alternatives: 29

Speedup: 1.3×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 91.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.0)
   (+
    (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
   (+
    (+
     1.0
     (-
      (+
       (+
        (/ 1.0 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
        (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
       (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
      (sqrt x)))
    (/ (- (+ 1.0 t) t) (+ (pow (+ 1.0 t) 0.5) (sqrt t))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + (((1.0 + t) - t) / (pow((1.0 + t), 0.5) + sqrt(t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = (1.0d0 + ((((1.0d0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x))) + (((1.0d0 + t) - t) / (((1.0d0 + t) ** 0.5d0) + sqrt(t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x))) + (((1.0 + t) - t) / (Math.pow((1.0 + t), 0.5) + Math.sqrt(t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x))) + (((1.0 + t) - t) / (math.pow((1.0 + t), 0.5) + math.sqrt(t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + Float64(Float64(Float64(1.0 + t) - t) / Float64((Float64(1.0 + t) ^ 0.5) + sqrt(t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + (((1.0 + t) - t) / (((1.0 + t) ^ 0.5) + sqrt(t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(1.0 + t), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 23.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 14.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(t + 1\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

       4. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(t + 1\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(t + 1\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(t + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(t + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 97.0%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := \left(\left(t\_2 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_3 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_4 \leq 2.99999999999998:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + t\_3} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(t\_3 + t\_2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (+ (+ (- t_2 (sqrt x)) (- t_3 (sqrt y))) (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_4 0.0)
     (+
      (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
      (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
     (if (<= t_4 2.99999999999998)
       (+
        1.0
        (-
         (+
          (+
           (+ (/ 1.0 (+ (sqrt y) t_3)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1)))
           (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t))))
         (sqrt x)))
       (+
        (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
        (+
         (+ (+ t_3 t_2) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
         (- 1.0 (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z))))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else if (t_4 <= 2.99999999999998) {
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_3 + t_2) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_4 <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else if (t_4 <= 2.99999999999998d0) then
        tmp = 1.0d0 + (((((1.0d0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))) - sqrt(x))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_3 + t_2) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = ((t_2 - Math.sqrt(x)) + (t_3 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else if (t_4 <= 2.99999999999998) {
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (Math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)))) - Math.sqrt(x));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((t_3 + t_2) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = ((t_2 - math.sqrt(x)) + (t_3 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_4 <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	elif t_4 <= 2.99999999999998:
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))) - math.sqrt(x))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((t_3 + t_2) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(Float64(Float64(t_2 - sqrt(x)) + Float64(t_3 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	elseif (t_4 <= 2.99999999999998)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + t_3)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))) + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))) - sqrt(x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(t_3 + t_2) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_4 <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	elseif (t_4 <= 2.99999999999998)
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_3 + t_2) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$4, 2.99999999999998], N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$3 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.0

   1. Initial program 48.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 20.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 20.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 38.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 38.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 47.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 47.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.99999999999998002

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 96.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 96.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]

   12. Simplified 31.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   if 2.99999999999998002 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 40.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.99999999999998:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := \left(\left(t\_2 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_3 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_4 \leq 2.99999999999998:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + t\_3} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(t\_1 + t\_2\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (+ (+ (- t_2 (sqrt x)) (- t_3 (sqrt y))) (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_4 0.0)
     (+
      (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
      (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
     (if (<= t_4 2.99999999999998)
       (+
        1.0
        (-
         (+
          (+
           (+ (/ 1.0 (+ (sqrt y) t_3)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1)))
           (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t))))
         (sqrt x)))
       (+
        (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
        (+ 1.0 (- (+ t_1 t_2) (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z))))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else if (t_4 <= 2.99999999999998) {
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + t_2) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_4 <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else if (t_4 <= 2.99999999999998d0) then
        tmp = 1.0d0 + (((((1.0d0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))) - sqrt(x))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0d0 + ((t_1 + t_2) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = ((t_2 - Math.sqrt(x)) + (t_3 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else if (t_4 <= 2.99999999999998) {
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (Math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)))) - Math.sqrt(x));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + t_2) - (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = ((t_2 - math.sqrt(x)) + (t_3 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_4 <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	elif t_4 <= 2.99999999999998:
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))) - math.sqrt(x))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + t_2) - (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(Float64(Float64(t_2 - sqrt(x)) + Float64(t_3 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	elseif (t_4 <= 2.99999999999998)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + t_3)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))) + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))) - sqrt(x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 + t_2) - Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = ((t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_4 <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	elseif (t_4 <= 2.99999999999998)
		tmp = 1.0 + (((((1.0 / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + t_2) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$4, 2.99999999999998], N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 + t$95$2), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.0

   1. Initial program 48.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 20.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 20.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 38.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 38.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 47.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 47.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.99999999999998002

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 96.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 96.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]

   12. Simplified 31.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   if 2.99999999999998002 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 40.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.99999999999998:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{x + 1}\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.0)
   (+
    (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
   (+
    (+
     1.0
     (-
      (+
       (+
        (/ 1.0 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
        (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
       (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
      (sqrt x)))
    (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = (1.0d0 + ((((1.0d0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x))) + (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x))) + (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x))) + (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = (1.0 + ((((1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 23.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 14.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + t\_2} + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\left(t\_2 + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= t_1 0.0)
     (+
      1.0
      (+
       (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))
       (+
        (/ 1.0 (+ (sqrt y) t_2))
        (- (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))) (sqrt x)))))
     (+
      t_1
      (+
       (+ (+ t_2 (sqrt (+ x 1.0))) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
       (- 1.0 (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) + ((1.0 / (sqrt(y) + t_2)) + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(x))));
	} else {
		tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (t_1 <= 0.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))) + ((1.0d0 / (sqrt(y) + t_2)) + ((1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z)))) - sqrt(x))))
    else
        tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0d0))) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) + ((1.0 / (Math.sqrt(y) + t_2)) + ((1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z)))) - Math.sqrt(x))));
	} else {
		tmp = t_1 + (((t_2 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.0:
		tmp = 1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) + ((1.0 / (math.sqrt(y) + t_2)) + ((1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z)))) - math.sqrt(x))))
	else:
		tmp = t_1 + (((t_2 + math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))) + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + t_2)) + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(t_2 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = 1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) + ((1.0 / (sqrt(y) + t_2)) + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(x))));
	else
		tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.0], N[(1.0 + N[(N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[(t$95$2 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 0.0

   1. Initial program 88.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.4%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 88.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 88.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

   12. Simplified 56.4%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)} \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + t\_2} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\left(t\_2 + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= t_1 0.0)
     (+
      (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
      (+ (/ 1.0 (+ (sqrt y) t_2)) (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z))))
     (+
      t_1
      (+
       (+ (+ t_2 (sqrt (+ x 1.0))) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
       (- 1.0 (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((1.0 / (sqrt(y) + t_2)) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	} else {
		tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (t_1 <= 0.0d0) then
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((1.0d0 / (sqrt(y) + t_2)) + (sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)))
    else
        tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0d0))) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((1.0 / (Math.sqrt(y) + t_2)) + (Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)));
	} else {
		tmp = t_1 + (((t_2 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.0:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((1.0 / (math.sqrt(y) + t_2)) + (math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)))
	else:
		tmp = t_1 + (((t_2 + math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + t_2)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(t_2 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((1.0 / (sqrt(y) + t_2)) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	else
		tmp = t_1 + (((t_2 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.0], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[(t$95$2 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 0.0

   1. Initial program 88.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 55.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.7%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       2. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(y - y\right)}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-inverses N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1 + 0}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 56.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 56.0%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ t_2 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ \mathbf{if}\;t\_2 \leq 0:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(\left(\left(t\_1 + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))) (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))))
   (if (<= t_2 0.0)
     (+
      (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
      (+ (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))) (- t_1 (sqrt y))))
     (+
      t_2
      (+
       (+ (+ t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
       (- 1.0 (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_2 <= 0.0) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) + (t_1 - sqrt(y)));
	} else {
		tmp = t_2 + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    if (t_2 <= 0.0d0) then
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z)))) + (t_1 - sqrt(y)))
    else
        tmp = t_2 + (((t_1 + sqrt((x + 1.0d0))) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_2 <= 0.0) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z)))) + (t_1 - Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = t_2 + (((t_1 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	tmp = 0
	if t_2 <= 0.0:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z)))) + (t_1 - math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = t_2 + (((t_1 + math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z)))) + Float64(t_1 - sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(Float64(t_1 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	tmp = 0.0;
	if (t_2 <= 0.0)
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) + (t_1 - sqrt(y)));
	else
		tmp = t_2 + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$2, 0.0], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 + N[(N[(N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 0.0

   1. Initial program 88.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 55.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.7%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\color{blue}{\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}}}\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{1 + z}}}\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{\color{blue}{z}} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) \]

       4. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) \]

       5. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1 + \left(z - z\right)}{\color{blue}{\sqrt{z}} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) \]

       6. +-inverses N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1 + 0}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{z}} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 56.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 56.0%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.0)
   (+
    (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 23.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 14.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(1 - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.0)
   (+
    (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
   (+
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))
    (- 1.0 (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0 - sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.0d0) then
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0d0 - sqrt(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y))) + (1.0 - Math.sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.0:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))) + (1.0 - math.sqrt(x))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))) + Float64(1.0 - sqrt(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0 - sqrt(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 23.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 14.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(1 - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.1% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\\ t_2 := \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.8 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(t\_1 + \left(t\_2 + \frac{1}{1 + \sqrt{z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(t\_2 + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + t\_1\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
        (t_2 (/ 1.0 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))))
   (if (<= x 3.8e-257)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ 1.0 (- (+ t_1 (+ t_2 (/ 1.0 (+ 1.0 (sqrt z))))) (sqrt x))))
     (if (<= x 8.2)
       (+
        1.0
        (-
         (+
          (+ (+ t_2 (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z))))) t_1)
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t))))
         (sqrt x)))
       (+
        (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
        (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double t_2 = 1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)));
	double tmp;
	if (x <= 3.8e-257) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)));
	} else if (x <= 8.2) {
		tmp = 1.0 + ((((t_2 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + t_1) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	} else {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))
    t_2 = 1.0d0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))
    if (x <= 3.8d-257) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0d0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0d0 / (1.0d0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)))
    else if (x <= 8.2d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((((t_2 + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) + t_1) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))) - sqrt(x))
    else
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double t_2 = 1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)));
	double tmp;
	if (x <= 3.8e-257) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + Math.sqrt(z))))) - Math.sqrt(x)));
	} else if (x <= 8.2) {
		tmp = 1.0 + ((((t_2 + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) + t_1) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)))) - Math.sqrt(x));
	} else {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))
	t_2 = 1.0 / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))
	tmp = 0
	if x <= 3.8e-257:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + math.sqrt(z))))) - math.sqrt(x)))
	elif x <= 8.2:
		tmp = 1.0 + ((((t_2 + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) + t_1) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))) - math.sqrt(x))
	else:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))
	t_2 = Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.8e-257)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 + Float64(t_2 + Float64(1.0 / Float64(1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x))));
	elseif (x <= 8.2)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(t_2 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) + t_1) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))) - sqrt(x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	t_2 = 1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.8e-257)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)));
	elseif (x <= 8.2)
		tmp = 1.0 + ((((t_2 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + t_1) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - sqrt(x));
	else
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.8e-257], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 + N[(t$95$2 + N[(1.0 / N[(1.0 + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.2], N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(t$95$2 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 3.8000000000000004e-257

   1. Initial program 98.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in z around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \color{blue}{1}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 3.8000000000000004e-257 < x < 8.1999999999999993

   1. Initial program 97.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]

   12. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   if 8.1999999999999993 < x

   1. Initial program 86.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 24.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 24.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 13.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 41.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.8 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{1 + \sqrt{z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\\ t_2 := \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\\ \mathbf{if}\;x \leq 3 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(t\_1 + \left(t\_2 + \frac{1}{1 + \sqrt{z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 490:\\ \;\;\;\;1 + \left(t\_1 + \left(t\_2 + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
        (t_2 (/ 1.0 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))))
   (if (<= x 3e-257)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ 1.0 (- (+ t_1 (+ t_2 (/ 1.0 (+ 1.0 (sqrt z))))) (sqrt x))))
     (if (<= x 490.0)
       (+
        1.0
        (+ t_1 (+ t_2 (- (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))) (sqrt x)))))
       (+
        (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
        (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double t_2 = 1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)));
	double tmp;
	if (x <= 3e-257) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)));
	} else if (x <= 490.0) {
		tmp = 1.0 + (t_1 + (t_2 + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(x))));
	} else {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))
    t_2 = 1.0d0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))
    if (x <= 3d-257) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0d0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0d0 / (1.0d0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)))
    else if (x <= 490.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + (t_1 + (t_2 + ((1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z)))) - sqrt(x))))
    else
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double t_2 = 1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)));
	double tmp;
	if (x <= 3e-257) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + Math.sqrt(z))))) - Math.sqrt(x)));
	} else if (x <= 490.0) {
		tmp = 1.0 + (t_1 + (t_2 + ((1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z)))) - Math.sqrt(x))));
	} else {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))
	t_2 = 1.0 / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))
	tmp = 0
	if x <= 3e-257:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + math.sqrt(z))))) - math.sqrt(x)))
	elif x <= 490.0:
		tmp = 1.0 + (t_1 + (t_2 + ((1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z)))) - math.sqrt(x))))
	else:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))
	t_2 = Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3e-257)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 + Float64(t_2 + Float64(1.0 / Float64(1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x))));
	elseif (x <= 490.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(t_1 + Float64(t_2 + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	t_2 = 1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3e-257)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (1.0 + ((t_1 + (t_2 + (1.0 / (1.0 + sqrt(z))))) - sqrt(x)));
	elseif (x <= 490.0)
		tmp = 1.0 + (t_1 + (t_2 + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(x))));
	else
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3e-257], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 + N[(t$95$2 + N[(1.0 / N[(1.0 + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 490.0], N[(1.0 + N[(t$95$1 + N[(t$95$2 + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 2.9999999999999999e-257

   1. Initial program 98.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in z around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \color{blue}{1}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.9999999999999999e-257 < x < 490

   1. Initial program 97.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}}\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

   12. Simplified 60.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)} \]

   if 490 < x

   1. Initial program 86.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 24.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 24.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 13.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 43.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(1 + \left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{1 + \sqrt{z}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 490:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \sqrt{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 91.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;t \leq 2650000000:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(t\_1 + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(t\_1 + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= t 2650000000.0)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (+ (+ t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
       (- 1.0 (sqrt z))))
     (+
      (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
      (-
       (+ t_1 (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
       (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t <= 2650000000.0) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (t <= 2650000000.0d0) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0d0))) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - sqrt(z)))
    else
        tmp = (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) + ((t_1 + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t <= 2650000000.0) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((t_1 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - Math.sqrt(z)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if t <= 2650000000.0:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((t_1 + math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - math.sqrt(z)))
	else:
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (t <= 2650000000.0)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(t_1 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - sqrt(z))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) + Float64(Float64(t_1 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (t <= 2650000000.0)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(z)));
	else
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 2650000000.0], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 2.65e9

   1. Initial program 97.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.65e9 < t

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 88.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 42.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 42.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 30.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 2650000000:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;t \leq 2.6 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(t\_1 + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(t\_1 + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= t 2.6e+16)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (+ (+ t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
       (- 1.0 (sqrt y))))
     (+
      (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
      (-
       (+ t_1 (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
       (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t <= 2.6e+16) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (t <= 2.6d+16) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0d0))) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) + (1.0d0 - sqrt(y)))
    else
        tmp = (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) + ((t_1 + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (t <= 2.6e+16) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((t_1 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if t <= 2.6e+16:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((t_1 + math.sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (t <= 2.6e+16)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(t_1 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) + Float64(1.0 - sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) + Float64(Float64(t_1 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (t <= 2.6e+16)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + sqrt((x + 1.0))) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) + (1.0 - sqrt(y)));
	else
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((t_1 + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 2.6e+16], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 2.6e16

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.6e16 < t

   1. Initial program 88.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.4%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 32.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 2.6 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 91.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 25:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 25.0)
   (+
    (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
    (-
     (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
     (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (+
    (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 x)))) x)
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 25.0) {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 25.0d0) then
        tmp = (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (((sqrt(x) * 0.5d0) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / x)))) / x) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 25.0) {
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 25.0:
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (((math.sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 25.0)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) / x) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 25.0)
		tmp = (1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (((sqrt(x) * 0.5) + (-0.125 * sqrt((1.0 / x)))) / x) + (0.5 * (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 25.0], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 25

   1. Initial program 97.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 46.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   if 25 < x

   1. Initial program 86.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 24.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 24.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 13.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 31.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 25:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.0)
   (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 y)) (sqrt (/ 1.0 z)))))
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.0d0) then
        tmp = 0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / y)) + sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / y)) + Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.0:
		tmp = 0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / y)) + math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / y)) + sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.0)
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / y)) + sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 23.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 12.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 12.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{y}}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{y}}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{z}}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 14.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)} \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 26.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 86.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1650000:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 1650000.0)
   (-
    (+
     2.0
     (+
      (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* x (+ 0.5 (* x -0.125))))
      (* y (+ 0.5 (* y (+ -0.125 (* y 0.0625)))))))
    (+ (sqrt z) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1650000.0) {
		tmp = (2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (x * (0.5 + (x * -0.125)))) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 1650000.0d0) then
        tmp = (2.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + z)) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.125d0))))) + (y * (0.5d0 + (y * ((-0.125d0) + (y * 0.0625d0))))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1650000.0) {
		tmp = (2.0 + ((Math.sqrt((1.0 + z)) + (x * (0.5 + (x * -0.125)))) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (Math.sqrt(z) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 1650000.0:
		tmp = (2.0 + ((math.sqrt((1.0 + z)) + (x * (0.5 + (x * -0.125)))) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (math.sqrt(z) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 1650000.0)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.125)))) + Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * Float64(-0.125 + Float64(y * 0.0625))))))) - Float64(sqrt(z) + Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1650000.0)
		tmp = (2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (x * (0.5 + (x * -0.125)))) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 1650000.0], N[(N[(2.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(y * N[(0.5 + N[(y * N[(-0.125 + N[(y * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.65e6

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 29.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 29.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 16.1%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right) \]

   16. Simplified 15.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(0.0625 \cdot y + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) + \sqrt{z}\right)} \]

   if 1.65e6 < z

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 34.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 37.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 37.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 24.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1650000:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 86.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 1620000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + t\_1\right) + y \cdot \left(0.5 + -0.125 \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_1\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))))
   (if (<= z 1620000.0)
     (+
      2.0
      (-
       (+ (+ (sqrt (+ 1.0 z)) t_1) (* y (+ 0.5 (* -0.125 y))))
       (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (+
      (- (+ 1.0 t_1) (sqrt x))
      (+ (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 1620000.0) {
		tmp = 2.0 + (((sqrt((1.0 + z)) + t_1) + (y * (0.5 + (-0.125 * y)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))
    if (z <= 1620000.0d0) then
        tmp = 2.0d0 + (((sqrt((1.0d0 + z)) + t_1) + (y * (0.5d0 + ((-0.125d0) * y)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_1) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 1620000.0) {
		tmp = 2.0 + (((Math.sqrt((1.0 + z)) + t_1) + (y * (0.5 + (-0.125 * y)))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - Math.sqrt(x)) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))
	tmp = 0
	if z <= 1620000.0:
		tmp = 2.0 + (((math.sqrt((1.0 + z)) + t_1) + (y * (0.5 + (-0.125 * y)))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = ((1.0 + t_1) - math.sqrt(x)) + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))
	tmp = 0.0
	if (z <= 1620000.0)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + t_1) + Float64(y * Float64(0.5 + Float64(-0.125 * y)))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) - sqrt(x)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1620000.0)
		tmp = 2.0 + (((sqrt((1.0 + z)) + t_1) + (y * (0.5 + (-0.125 * y)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 1620000.0], N[(2.0 + N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(y * N[(0.5 + N[(-0.125 * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.62e6

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 29.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 29.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 15.0%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   if 1.62e6 < z

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 34.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 37.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 37.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 24.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1620000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + -0.125 \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 86.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1620000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} + x \cdot 0.5\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 1620000.0)
   (+
    2.0
    (-
     (+
      (* y (+ 0.5 (* y (+ -0.125 (* y 0.0625)))))
      (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* x 0.5)))
     (+ (sqrt z) (+ (sqrt x) (sqrt y)))))
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1620000.0) {
		tmp = 2.0 + (((y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))) + (sqrt((1.0 + z)) + (x * 0.5))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 1620000.0d0) then
        tmp = 2.0d0 + (((y * (0.5d0 + (y * ((-0.125d0) + (y * 0.0625d0))))) + (sqrt((1.0d0 + z)) + (x * 0.5d0))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1620000.0) {
		tmp = 2.0 + (((y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))) + (Math.sqrt((1.0 + z)) + (x * 0.5))) - (Math.sqrt(z) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 1620000.0:
		tmp = 2.0 + (((y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))) + (math.sqrt((1.0 + z)) + (x * 0.5))) - (math.sqrt(z) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 1620000.0)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * Float64(-0.125 + Float64(y * 0.0625))))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(x * 0.5))) - Float64(sqrt(z) + Float64(sqrt(x) + sqrt(y)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1620000.0)
		tmp = 2.0 + (((y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))) + (sqrt((1.0 + z)) + (x * 0.5))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 1620000.0], N[(2.0 + N[(N[(N[(y * N[(0.5 + N[(y * N[(-0.125 + N[(y * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.62e6

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 29.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 29.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 16.1%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\frac{1}{2} \cdot x + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(\frac{1}{2} \cdot x + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(\frac{1}{2} \cdot x + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(\frac{1}{2} \cdot x + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   16. Simplified 16.5%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + x \cdot 0.5\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(0.0625 \cdot y + -0.125\right)\right)\right) - \left(\left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   if 1.62e6 < z

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 34.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 37.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 37.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 25.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1620000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} + x \cdot 0.5\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 85.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.55:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.55)
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (- 1.0 (sqrt y))))
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 0.55) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (1.0 - sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 0.55d0) then
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (1.0d0 - sqrt(y)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 0.55) {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (1.0 - Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 0.55:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (1.0 - math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.55)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(1.0 - sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 0.55)
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (1.0 - sqrt(y)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 0.55], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 0.55000000000000004

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{y}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 32.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 32.9%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{y}\right)} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 0.55000000000000004 < y

   1. Initial program 88.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 49.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 24.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 24.6%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 28.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.55:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 85.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 23000000000000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 23000000000000.0)
   (+
    2.0
    (-
     (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* y (+ 0.5 (* y (+ -0.125 (* y 0.0625))))))
     (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
   (+
    (- (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))) (sqrt x))
    (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 23000000000000.0) {
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 23000000000000.0d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + z)) + (y * (0.5d0 + (y * ((-0.125d0) + (y * 0.0625d0)))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 23000000000000.0) {
		tmp = 2.0 + ((Math.sqrt((1.0 + z)) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 23000000000000.0:
		tmp = 2.0 + ((math.sqrt((1.0 + z)) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 23000000000000.0)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * Float64(-0.125 + Float64(y * 0.0625)))))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 23000000000000.0)
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))))) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 23000000000000.0], N[(2.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(y * N[(0.5 + N[(y * N[(-0.125 + N[(y * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 2.3e13

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 93.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 30.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 30.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 16.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{16} \cdot y + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{16} \cdot y + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot y\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 15.8%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, y\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 15.8%

       \[\leadsto 2 + \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(0.0625 \cdot y + -0.125\right)\right)\right)} - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   if 2.3e13 < z

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 34.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 35.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 35.8%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 24.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 23000000000000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 85.2% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 5800000000000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(t\_1 + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_1\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))))
   (if (<= z 5800000000000.0)
     (+
      2.0
      (-
       (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (+ t_1 (* y (+ 0.5 (* y (+ -0.125 (* y 0.0625)))))))
       (+ (sqrt x) (sqrt z))))
     (+ (- (+ 1.0 t_1) (sqrt x)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 5800000000000.0) {
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (sqrt(x) + sqrt(z)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))
    if (z <= 5800000000000.0d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + z)) + (t_1 + (y * (0.5d0 + (y * ((-0.125d0) + (y * 0.0625d0))))))) - (sqrt(x) + sqrt(z)))
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 5800000000000.0) {
		tmp = 2.0 + ((Math.sqrt((1.0 + z)) + (t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))
	tmp = 0
	if z <= 5800000000000.0:
		tmp = 2.0 + ((math.sqrt((1.0 + z)) + (t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(z)))
	else:
		tmp = ((1.0 + t_1) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))
	tmp = 0.0
	if (z <= 5800000000000.0)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(t_1 + Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * Float64(-0.125 + Float64(y * 0.0625))))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(z))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 5800000000000.0)
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625))))))) - (sqrt(x) + sqrt(z)));
	else
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 5800000000000.0], N[(2.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(y * N[(0.5 + N[(y * N[(-0.125 + N[(y * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 5.8e12

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 93.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 30.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 30.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 16.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 15.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 15.5%

       \[\leadsto 2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right) \]

   if 5.8e12 < z

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 34.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 35.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 35.8%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 24.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 5800000000000:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 82.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.21:\\ \;\;\;\;3 + \left(\left(t\_1 + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_1\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))))
   (if (<= z 0.21)
     (+
      3.0
      (-
       (+ t_1 (* y (+ 0.5 (* y (+ -0.125 (* y 0.0625))))))
       (+ (sqrt z) (+ (sqrt x) (sqrt y)))))
     (+ (- (+ 1.0 t_1) (sqrt x)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 0.21) {
		tmp = 3.0 + ((t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))
    if (z <= 0.21d0) then
        tmp = 3.0d0 + ((t_1 + (y * (0.5d0 + (y * ((-0.125d0) + (y * 0.0625d0)))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	double tmp;
	if (z <= 0.21) {
		tmp = 3.0 + ((t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (Math.sqrt(z) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_1) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))
	tmp = 0
	if z <= 0.21:
		tmp = 3.0 + ((t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (math.sqrt(z) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))))
	else:
		tmp = ((1.0 + t_1) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625)))))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.21)
		tmp = Float64(3.0 + Float64(Float64(t_1 + Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * Float64(-0.125 + Float64(y * 0.0625)))))) - Float64(sqrt(z) + Float64(sqrt(x) + sqrt(y)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.21)
		tmp = 3.0 + ((t_1 + (y * (0.5 + (y * (-0.125 + (y * 0.0625)))))) - (sqrt(z) + (sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = ((1.0 + t_1) - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.21], N[(3.0 + N[(N[(t$95$1 + N[(y * N[(0.5 + N[(y * N[(-0.125 + N[(y * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 0.209999999999999992

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 54.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 30.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 30.3%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 16.4%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in z around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(3 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 3 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(3, \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   16. Simplified 16.4%

       \[\leadsto \color{blue}{3 + \left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(0.0625 \cdot y + -0.125\right)\right)\right) - \left(\left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   if 0.209999999999999992 < z

   1. Initial program 87.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 36.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 36.3%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 35.2%

       \[\leadsto \left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 25.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.21:\\ \;\;\;\;3 + \left(\left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(-0.125 + y \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 63.8% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.155:\\ \;\;\;\;2 + \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.155)
   (+ 2.0 (* (* y (* y y)) (+ 0.0625 (/ -0.125 y))))
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 0.155) {
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 0.155d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((y * (y * y)) * (0.0625d0 + ((-0.125d0) / y)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 0.155) {
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 0.155:
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.155)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(y * Float64(y * y)) * Float64(0.0625 + Float64(-0.125 / y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 0.155)
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 0.155], N[(2.0 + N[(N[(y * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.0625 + N[(-0.125 / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 0.154999999999999999

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 32.4%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in y around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({y}^{3} \cdot \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({y}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)}\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(y \cdot {y}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left({y}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(y \cdot y\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(\frac{1}{16} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. distribute-neg-frac N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 42.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 42.0%

       \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{y}\right)} \]

   if 0.154999999999999999 < y

   1. Initial program 88.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 49.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 24.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 24.6%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 24: 61.7% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.9:\\ \;\;\;\;2 + \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 2.9)
   (+ 2.0 (* (* y (* y y)) (+ 0.0625 (/ -0.125 y))))
   (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 2.9) {
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	} else {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 2.9d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((y * (y * y)) * (0.0625d0 + ((-0.125d0) / y)))
    else
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 2.9) {
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 2.9:
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)))
	else:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 2.9)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(y * Float64(y * y)) * Float64(0.0625 + Float64(-0.125 / y))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 2.9)
		tmp = 2.0 + ((y * (y * y)) * (0.0625 + (-0.125 / y)));
	else
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 2.9], N[(2.0 + N[(N[(y * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.0625 + N[(-0.125 / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 2.89999999999999991

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 32.4%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in y around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({y}^{3} \cdot \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({y}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)}\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(y \cdot {y}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left({y}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(y \cdot y\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(\frac{1}{16} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. distribute-neg-frac N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 42.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 42.0%

       \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{y}\right)} \]

   if 2.89999999999999991 < y

   1. Initial program 88.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 89.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 89.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 21.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sqrt{x}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 20.7%

       \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 30.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.9:\\ \;\;\;\;2 + \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 43.4% accurate, 63.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 2 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+ 2.0 (* (* x (* x x)) (+ 0.0625 (/ -0.125 x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 2.0 + ((x * (x * x)) * (0.0625 + (-0.125 / x)));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 2.0d0 + ((x * (x * x)) * (0.0625d0 + ((-0.125d0) / x)))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 2.0 + ((x * (x * x)) * (0.0625 + (-0.125 / x)));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 2.0 + ((x * (x * x)) * (0.0625 + (-0.125 / x)))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(2.0 + Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * Float64(0.0625 + Float64(-0.125 / x))))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 2.0 + ((x * (x * x)) * (0.0625 + (-0.125 / x)));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(2.0 + N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.0625 + N[(-0.125 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 68.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 51.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 33.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 33.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in y around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ N/A

       \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 17.4%

    \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)}\right)\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{16} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. distribute-neg-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\color{blue}{x}}\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f64 28.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 28.4%

    \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.0625 + \frac{-0.125}{x}\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 26: 43.4% accurate, 91.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 2 + 0.0625 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (+ 2.0 (* 0.0625 (* x (* x x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 2.0 + (0.0625 * (x * (x * x)));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 2.0d0 + (0.0625d0 * (x * (x * x)))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 2.0 + (0.0625 * (x * (x * x)));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 2.0 + (0.0625 * (x * (x * x)))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(2.0 + Float64(0.0625 * Float64(x * Float64(x * x))))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 2.0 + (0.0625 * (x * (x * x)));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(2.0 + N[(0.0625 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 68.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 51.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 33.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 33.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in y around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ N/A

       \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 17.4%

    \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{3}\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 28.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 28.4%

    \[\leadsto 2 + \color{blue}{0.0625 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 27: 4.2% accurate, 117.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ z \cdot \left(0.0625 \cdot \left(z \cdot z\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* z (* 0.0625 (* z z))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return z * (0.0625 * (z * z));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = z * (0.0625d0 * (z * z))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return z * (0.0625 * (z * z));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return z * (0.0625 * (z * z))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(z * Float64(0.0625 * Float64(z * z)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = z * (0.0625 * (z * z));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(z * N[(0.0625 * N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 21.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(z \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot {z}^{3}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{16} \cdot \left(\left(z \cdot z\right) \cdot \color{blue}{z}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{16} \cdot \left({z}^{2} \cdot z\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{16} \cdot {z}^{2}\right) \cdot \color{blue}{z} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot {z}^{2}\right), \color{blue}{z}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left({z}^{2}\right)\right), z\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(z \cdot z\right)\right), z\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 4.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(z, z\right)\right), z\right) \]

8. Simplified 4.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0625 \cdot \left(z \cdot z\right)\right) \cdot z} \]

9. Final simplification 4.0%

   \[\leadsto z \cdot \left(0.0625 \cdot \left(z \cdot z\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 28: 4.2% accurate, 117.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.0625 \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.0625 (* y (* y y))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (y * (y * y));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.0625d0 * (y * (y * y))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (y * (y * y));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.0625 * (y * (y * y))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.0625 * Float64(y * Float64(y * y)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0625 * (y * (y * y));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.0625 * N[(y * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 68.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 51.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 33.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 33.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in y around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ N/A

       \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + y \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot y - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 17.4%

    \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) + y \cdot \left(0.5 + y \cdot \left(y \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in y around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot {y}^{3}} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left({y}^{3}\right)}\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(y \cdot {y}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(y, \color{blue}{\left({y}^{2}\right)}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(y \cdot \color{blue}{y}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 3.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, \color{blue}{y}\right)\right)\right) \]

16. Simplified 3.8%

    \[\leadsto \color{blue}{0.0625 \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 29: 3.5% accurate, 117.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.0625 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.0625 (* x (* x x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (x * (x * x));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.0625d0 * (x * (x * x))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (x * (x * x));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.0625 * (x * (x * x))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.0625 * Float64(x * Float64(x * x)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0625 * (x * (x * x));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.0625 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 68.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 51.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 33.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 33.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right)\right)} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot {x}^{3}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 3.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 3.7%

    \[\leadsto \color{blue}{0.0625 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))))
   (/ 1.0 (+ (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((1.0d0 / (sqrt((x + 1.0d0)) + sqrt(x))) + (1.0d0 / (sqrt((y + 1.0d0)) + sqrt(y)))) + (1.0d0 / (sqrt((z + 1.0d0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (Math.sqrt((x + 1.0)) + Math.sqrt(x))) + (1.0 / (Math.sqrt((y + 1.0)) + Math.sqrt(y)))) + (1.0 / (Math.sqrt((z + 1.0)) + Math.sqrt(z)))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((1.0 / (math.sqrt((x + 1.0)) + math.sqrt(x))) + (1.0 / (math.sqrt((y + 1.0)) + math.sqrt(y)))) + (1.0 / (math.sqrt((z + 1.0)) + math.sqrt(z)))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + sqrt(x))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) + sqrt(y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) + sqrt(z)))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (x y z t)
  :name "Main:z from "
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ (+ (+ (/ 1 (+ (sqrt (+ x 1)) (sqrt x))) (/ 1 (+ (sqrt (+ y 1)) (sqrt y)))) (/ 1 (+ (sqrt (+ z 1)) (sqrt z)))) (- (sqrt (+ t 1)) (sqrt t))))

  (+ (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))) (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))) (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))