Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Percentage Accurate: 98.0% → 98.3%

Time: 23.5s

Alternatives: 5

Speedup: 0.4×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{\sqrt{t}}}\right) + \frac{\pi}{2}}{0.3333333333333333}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  (/
   1.0
   (/
    (+ (asin (/ 0.05555555555555555 (/ (* (/ z x) y) (sqrt t)))) (/ PI 2.0))
    0.3333333333333333))
  (-
   (* 0.25 (* PI PI))
   (pow (asin (/ (* x (/ (* 0.05555555555555555 (sqrt t)) z)) y)) 2.0))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / ((asin((0.05555555555555555 / (((z / x) * y) / sqrt(t)))) + (((double) M_PI) / 2.0)) / 0.3333333333333333)) * ((0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) - pow(asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0));
}

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / ((Math.asin((0.05555555555555555 / (((z / x) * y) / Math.sqrt(t)))) + (Math.PI / 2.0)) / 0.3333333333333333)) * ((0.25 * (Math.PI * Math.PI)) - Math.pow(Math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * Math.sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / ((math.asin((0.05555555555555555 / (((z / x) * y) / math.sqrt(t)))) + (math.pi / 2.0)) / 0.3333333333333333)) * ((0.25 * (math.pi * math.pi)) - math.pow(math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * math.sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(asin(Float64(0.05555555555555555 / Float64(Float64(Float64(z / x) * y) / sqrt(t)))) + Float64(pi / 2.0)) / 0.3333333333333333)) * Float64(Float64(0.25 * Float64(pi * pi)) - (asin(Float64(Float64(x * Float64(Float64(0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)) ^ 2.0)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / ((asin((0.05555555555555555 / (((z / x) * y) / sqrt(t)))) + (pi / 2.0)) / 0.3333333333333333)) * ((0.25 * (pi * pi)) - (asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)) ^ 2.0));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / N[(N[(N[ArcSin[N[(0.05555555555555555 / N[(N[(N[(z / x), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] / N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[ArcSin[N[(N[(x * N[(N[(0.05555555555555555 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{z \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{27 \cdot y} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}\right)}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   10. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}}{z}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} - \color{blue}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}\right)} \]

7. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

9. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \pi \cdot 0.5} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y \cdot \frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right) + \frac{\pi}{2}}{0.3333333333333333}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{z}{x \cdot \sqrt{t}} \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{z}{x}}{\sqrt{t}} \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    3. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{\sqrt{t}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{z}{x} \cdot y\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{z}{x}\right), y\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(z, x\right), y\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(z, x\right), y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 98.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\color{blue}{\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{\sqrt{t}}}}\right) + \frac{\pi}{2}}{0.3333333333333333}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y \cdot \frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right)}{0.3333333333333333}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  (-
   (* 0.25 (* PI PI))
   (pow (asin (/ (* x (/ (* 0.05555555555555555 (sqrt t)) z)) y)) 2.0))
  (/
   1.0
   (/
    (+ (/ PI 2.0) (asin (/ 0.05555555555555555 (* y (/ z (* x (sqrt t)))))))
    0.3333333333333333))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) - pow(asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0)) * (1.0 / (((((double) M_PI) / 2.0) + asin((0.05555555555555555 / (y * (z / (x * sqrt(t))))))) / 0.3333333333333333));
}

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((0.25 * (Math.PI * Math.PI)) - Math.pow(Math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * Math.sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0)) * (1.0 / (((Math.PI / 2.0) + Math.asin((0.05555555555555555 / (y * (z / (x * Math.sqrt(t))))))) / 0.3333333333333333));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return ((0.25 * (math.pi * math.pi)) - math.pow(math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * math.sqrt(t)) / z)) / y)), 2.0)) * (1.0 / (((math.pi / 2.0) + math.asin((0.05555555555555555 / (y * (z / (x * math.sqrt(t))))))) / 0.3333333333333333))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(0.25 * Float64(pi * pi)) - (asin(Float64(Float64(x * Float64(Float64(0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)) ^ 2.0)) * Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(pi / 2.0) + asin(Float64(0.05555555555555555 / Float64(y * Float64(z / Float64(x * sqrt(t))))))) / 0.3333333333333333)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = ((0.25 * (pi * pi)) - (asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y)) ^ 2.0)) * (1.0 / (((pi / 2.0) + asin((0.05555555555555555 / (y * (z / (x * sqrt(t))))))) / 0.3333333333333333));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[ArcSin[N[(N[(x * N[(N[(0.05555555555555555 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[ArcSin[N[(0.05555555555555555 / N[(y * N[(z / N[(x * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{z \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{27 \cdot y} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}\right)}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   10. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}}{z}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} - \color{blue}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}\right)} \]

7. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

9. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \pi \cdot 0.5} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), z\right)\right), y\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y \cdot \frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right) + \frac{\pi}{2}}{0.3333333333333333}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \]

12. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y \cdot \frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right)}{0.3333333333333333}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\\ \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {t\_1}^{2}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{t\_1 + \pi \cdot 0.5} \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (asin (/ (* x (/ (* 0.05555555555555555 (sqrt t)) z)) y))))
   (*
    (- (* 0.25 (* PI PI)) (pow t_1 2.0))
    (/ 0.3333333333333333 (+ t_1 (* PI 0.5))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y));
	return ((0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) - pow(t_1, 2.0)) * (0.3333333333333333 / (t_1 + (((double) M_PI) * 0.5)));
}

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * Math.sqrt(t)) / z)) / y));
	return ((0.25 * (Math.PI * Math.PI)) - Math.pow(t_1, 2.0)) * (0.3333333333333333 / (t_1 + (Math.PI * 0.5)));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.asin(((x * ((0.05555555555555555 * math.sqrt(t)) / z)) / y))
	return ((0.25 * (math.pi * math.pi)) - math.pow(t_1, 2.0)) * (0.3333333333333333 / (t_1 + (math.pi * 0.5)))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = asin(Float64(Float64(x * Float64(Float64(0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y))
	return Float64(Float64(Float64(0.25 * Float64(pi * pi)) - (t_1 ^ 2.0)) * Float64(0.3333333333333333 / Float64(t_1 + Float64(pi * 0.5))))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	t_1 = asin(((x * ((0.05555555555555555 * sqrt(t)) / z)) / y));
	tmp = ((0.25 * (pi * pi)) - (t_1 ^ 2.0)) * (0.3333333333333333 / (t_1 + (pi * 0.5)));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[ArcSin[N[(N[(x * N[(N[(0.05555555555555555 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 / N[(t$95$1 + N[(Pi * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{z \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{27 \cdot y} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}\right)}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   10. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}}{z}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} - \color{blue}{\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + \sin^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right)}\right)} \]

7. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

9. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \pi \cdot 0.5} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right)} \]

10. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{\sin^{-1} \left(\frac{x \cdot \frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) + \pi \cdot 0.5} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  0.3333333333333333
  (acos (/ (/ 0.05555555555555555 (/ (/ z (sqrt t)) x)) y))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * acos(((0.05555555555555555 / ((z / sqrt(t)) / x)) / y));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.3333333333333333d0 * acos(((0.05555555555555555d0 / ((z / sqrt(t)) / x)) / y))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * Math.acos(((0.05555555555555555 / ((z / Math.sqrt(t)) / x)) / y));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.3333333333333333 * math.acos(((0.05555555555555555 / ((z / math.sqrt(t)) / x)) / y))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(Float64(0.05555555555555555 / Float64(Float64(z / sqrt(t)) / x)) / y)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.3333333333333333 * acos(((0.05555555555555555 / ((z / sqrt(t)) / x)) / y));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[(0.05555555555555555 / N[(N[(z / N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{z \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{27 \cdot y} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}\right)}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   10. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}}{z}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{18} \cdot \frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot \frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{\frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   7. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{18}}{\frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}}\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{z}{x \cdot \sqrt{t}}\right)\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   9. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}\right)\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{z}{\sqrt{t}}\right), x\right)\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(z, \left(\sqrt{t}\right)\right), x\right)\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{18}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(z, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), x\right)\right), y\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

7. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{\sqrt{t}}}{x}}}{y}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  0.3333333333333333
  (acos (* 0.05555555555555555 (/ (/ (* x (sqrt t)) z) y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * acos((0.05555555555555555 * (((x * sqrt(t)) / z) / y)));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.3333333333333333d0 * acos((0.05555555555555555d0 * (((x * sqrt(t)) / z) / y)))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * Math.acos((0.05555555555555555 * (((x * Math.sqrt(t)) / z) / y)));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.3333333333333333 * math.acos((0.05555555555555555 * (((x * math.sqrt(t)) / z) / y)))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(0.05555555555555555 * Float64(Float64(Float64(x * sqrt(t)) / z) / y))))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.3333333333333333 * acos((0.05555555555555555 * (((x * sqrt(t)) / z) / y)));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(0.05555555555555555 * N[(N[(N[(x * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \]

   3. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{z \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3 \cdot x}{27 \cdot y} \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \sqrt{t}}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}\right)}{2 \cdot z}\right)\right)\right) \]

   10. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y} \cdot \sqrt{t}}{z}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{27}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{2}\right), \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{x \cdot \frac{\sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{18}, \left(\frac{\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}}{y}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x \cdot \sqrt{t}}{z}}{y}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = acos((((x / 27.0d0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0d0 / 3.0d0)))) / 3.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (Math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(acos(Float64(Float64(Float64(x / 27.0) / Float64(y * z)) * Float64(sqrt(t) / Float64(2.0 / 3.0)))) / 3.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[(x / 27.0), $MachinePrecision] / N[(y * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] / N[(2.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (acos (* (/ (/ x 27) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2 3)))) 3))

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))