2log (problem 3.3.6)

Percentage Accurate: 24.2% → 99.5%

Time: 14.1s

Alternatives: 12

Speedup: 68.3×

Specification

\[N > 1 \land N < 10^{+40}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(N + 1\right) - \log N \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (- (log (+ N 1.0)) (log N)))

C

double code(double N) {
	return log((N + 1.0)) - log(N);
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = log((n + 1.0d0)) - log(n)
end function

Java

public static double code(double N) {
	return Math.log((N + 1.0)) - Math.log(N);
}

Python

def code(N):
	return math.log((N + 1.0)) - math.log(N)

Julia

function code(N)
	return Float64(log(Float64(N + 1.0)) - log(N))
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = log((N + 1.0)) - log(N);
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[Log[N[(N + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[N], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 24.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(N + 1\right) - \log N \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (- (log (+ N 1.0)) (log N)))

C

double code(double N) {
	return log((N + 1.0)) - log(N);
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = log((n + 1.0d0)) - log(n)
end function

Java

public static double code(double N) {
	return Math.log((N + 1.0)) - Math.log(N);
}

Python

def code(N):
	return math.log((N + 1.0)) - math.log(N)

Julia

function code(N)
	return Float64(log(Float64(N + 1.0)) - log(N))
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = log((N + 1.0)) - log(N);
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[Log[N[(N + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[N], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\log \left(N + 1\right) - \log N \leq 0.0012:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{0.3333333333333333 + \frac{\frac{0.18518518518518517}{N} - 0.25}{N}}{N} - 0.5}{N}}{N}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \log \left(\frac{N}{N + 1}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (if (<= (- (log (+ N 1.0)) (log N)) 0.0012)
   (/
    (+
     1.0
     (/
      (-
       (/ (+ 0.3333333333333333 (/ (- (/ 0.18518518518518517 N) 0.25) N)) N)
       0.5)
      N))
    N)
   (- 0.0 (log (/ N (+ N 1.0))))))

C

double code(double N) {
	double tmp;
	if ((log((N + 1.0)) - log(N)) <= 0.0012) {
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	} else {
		tmp = 0.0 - log((N / (N + 1.0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    real(8) :: tmp
    if ((log((n + 1.0d0)) - log(n)) <= 0.0012d0) then
        tmp = (1.0d0 + ((((0.3333333333333333d0 + (((0.18518518518518517d0 / n) - 0.25d0) / n)) / n) - 0.5d0) / n)) / n
    else
        tmp = 0.0d0 - log((n / (n + 1.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double N) {
	double tmp;
	if ((Math.log((N + 1.0)) - Math.log(N)) <= 0.0012) {
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	} else {
		tmp = 0.0 - Math.log((N / (N + 1.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(N):
	tmp = 0
	if (math.log((N + 1.0)) - math.log(N)) <= 0.0012:
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N
	else:
		tmp = 0.0 - math.log((N / (N + 1.0)))
	return tmp

Julia

function code(N)
	tmp = 0.0
	if (Float64(log(Float64(N + 1.0)) - log(N)) <= 0.0012)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(Float64(0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N);
	else
		tmp = Float64(0.0 - log(Float64(N / Float64(N + 1.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(N)
	tmp = 0.0;
	if ((log((N + 1.0)) - log(N)) <= 0.0012)
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	else
		tmp = 0.0 - log((N / (N + 1.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[N_] := If[LessEqual[N[(N[Log[N[(N + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[N], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0012], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(0.3333333333333333 + N[(N[(N[(0.18518518518518517 / N), $MachinePrecision] - 0.25), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[Log[N[(N / N[(N + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (log.f64 (+.f64 N #s(literal 1 binary64))) (log.f64 N)) < 0.00119999999999999989

   1. Initial program 18.9%

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in N around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]

   8. Taylor expanded in N around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(N \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)}\right)\right), N\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot N\right) \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 - \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      15. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   10. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(0 - N\right) \cdot \left(2 - \frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N}\right)}}}{N} \]

   11. Taylor expanded in N around -inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)}\right), N\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(0 - \frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right), N\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

   13. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(0 - \frac{0.5 - \frac{0.3333333333333333 - \frac{0.25 - \frac{0.18518518518518517}{N}}{N}}{N}}{N}\right)}}{N} \]

   if 0.00119999999999999989 < (-.f64 (log.f64 (+.f64 N #s(literal 1 binary64))) (log.f64 N))

   1. Initial program 92.2%

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. diff-log N/A

         \[\leadsto \log \left(\frac{N + 1}{N}\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \log \left(\frac{1}{\frac{N}{N + 1}}\right) \]

      3. neg-log N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{N}{N + 1}\right)\right) \]

      4. diff-log N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(\log N - \log \left(N + 1\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\log N - \log \left(N + 1\right)\right)\right) \]

      6. diff-log N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\log \left(\frac{N}{N + 1}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{N}{N + 1}\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(N, \left(N + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 95.1%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(N, 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{N}{N + 1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\log \left(N + 1\right) - \log N \leq 0.0012:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{0.3333333333333333 + \frac{\frac{0.18518518518518517}{N} - 0.25}{N}}{N} - 0.5}{N}}{N}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \log \left(\frac{N}{N + 1}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \leq 750:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + \frac{1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{0.3333333333333333 + \frac{\frac{0.18518518518518517}{N} - 0.25}{N}}{N} - 0.5}{N}}{N}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (if (<= N 750.0)
   (log (+ 1.0 (/ 1.0 N)))
   (/
    (+
     1.0
     (/
      (-
       (/ (+ 0.3333333333333333 (/ (- (/ 0.18518518518518517 N) 0.25) N)) N)
       0.5)
      N))
    N)))

C

double code(double N) {
	double tmp;
	if (N <= 750.0) {
		tmp = log((1.0 + (1.0 / N)));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    real(8) :: tmp
    if (n <= 750.0d0) then
        tmp = log((1.0d0 + (1.0d0 / n)))
    else
        tmp = (1.0d0 + ((((0.3333333333333333d0 + (((0.18518518518518517d0 / n) - 0.25d0) / n)) / n) - 0.5d0) / n)) / n
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double N) {
	double tmp;
	if (N <= 750.0) {
		tmp = Math.log((1.0 + (1.0 / N)));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(N):
	tmp = 0
	if N <= 750.0:
		tmp = math.log((1.0 + (1.0 / N)))
	else:
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N
	return tmp

Julia

function code(N)
	tmp = 0.0
	if (N <= 750.0)
		tmp = log(Float64(1.0 + Float64(1.0 / N)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(Float64(0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(N)
	tmp = 0.0;
	if (N <= 750.0)
		tmp = log((1.0 + (1.0 / N)));
	else
		tmp = (1.0 + ((((0.3333333333333333 + (((0.18518518518518517 / N) - 0.25) / N)) / N) - 0.5) / N)) / N;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[N_] := If[LessEqual[N, 750.0], N[Log[N[(1.0 + N[(1.0 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(0.3333333333333333 + N[(N[(N[(0.18518518518518517 / N), $MachinePrecision] - 0.25), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if N < 750

   1. Initial program 92.6%

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. diff-log N/A

         \[\leadsto \log \left(\frac{N + 1}{N}\right) \]

      2. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{N + 1}{N}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(N + 1\right), N\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 94.3%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(N, 1\right), N\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)} \]

   5. Taylor expanded in N around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{N}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{N}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 94.3%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, N\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{N}\right)} \]

   if 750 < N

   1. Initial program 19.2%

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in N around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]

   8. Taylor expanded in N around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(N \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)}\right)\right), N\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot N\right) \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 - \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

      15. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   10. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(0 - N\right) \cdot \left(2 - \frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N}\right)}}}{N} \]

   11. Taylor expanded in N around -inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)}\right), N\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(0 - \frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right), N\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{27} \cdot \frac{1}{N}}{N}}{N}\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

   13. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(0 - \frac{0.5 - \frac{0.3333333333333333 - \frac{0.25 - \frac{0.18518518518518517}{N}}{N}}{N}}{N}\right)}}{N} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \leq 750:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + \frac{1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{0.3333333333333333 + \frac{\frac{0.18518518518518517}{N} - 0.25}{N}}{N} - 0.5}{N}}{N}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{1}{N \cdot \left(\frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N} - 2\right)}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/
  (+
   1.0
   (/
    1.0
    (* N (- (/ (+ (/ 0.1111111111111111 N) -1.3333333333333333) N) 2.0))))
  N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / (N * ((((0.1111111111111111 / N) + -1.3333333333333333) / N) - 2.0)))) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + (1.0d0 / (n * ((((0.1111111111111111d0 / n) + (-1.3333333333333333d0)) / n) - 2.0d0)))) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / (N * ((((0.1111111111111111 / N) + -1.3333333333333333) / N) - 2.0)))) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + (1.0 / (N * ((((0.1111111111111111 / N) + -1.3333333333333333) / N) - 2.0)))) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(N * Float64(Float64(Float64(Float64(0.1111111111111111 / N) + -1.3333333333333333) / N) - 2.0)))) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + (1.0 / (N * ((((0.1111111111111111 / N) + -1.3333333333333333) / N) - 2.0)))) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(1.0 / N[(N * N[(N[(N[(N[(0.1111111111111111 / N), $MachinePrecision] + -1.3333333333333333), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]

8. Taylor expanded in N around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(N \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)}\right)\right), N\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot N\right) \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 - \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   15. metadata-eval 95.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

10. Simplified 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(0 - N\right) \cdot \left(2 - \frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N}\right)}}}{N} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right) \cdot \left(2 - \frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(2 - \frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    3. distribute-rgt-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 - \frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right) \cdot N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(2 - \frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right) \cdot N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(2 - \frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    6. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N} + \frac{-4}{3}\right), N\right)\right), N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N}\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right), N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 95.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right), N\right)\right)\right)\right), N\right) \]

12. Applied egg-rr 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{-\left(2 - \frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N}\right) \cdot N}}}{N} \]

13. Final simplification 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{N \cdot \left(\frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N} - 2\right)}}{N} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.9% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{1}{\frac{0.1111111111111111 + N \cdot \left(-1.3333333333333333 + N \cdot -2\right)}{N}}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/
  (+
   1.0
   (/
    1.0
    (/ (+ 0.1111111111111111 (* N (+ -1.3333333333333333 (* N -2.0)))) N)))
  N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / ((0.1111111111111111 + (N * (-1.3333333333333333 + (N * -2.0)))) / N))) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + (1.0d0 / ((0.1111111111111111d0 + (n * ((-1.3333333333333333d0) + (n * (-2.0d0))))) / n))) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / ((0.1111111111111111 + (N * (-1.3333333333333333 + (N * -2.0)))) / N))) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + (1.0 / ((0.1111111111111111 + (N * (-1.3333333333333333 + (N * -2.0)))) / N))) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(Float64(0.1111111111111111 + Float64(N * Float64(-1.3333333333333333 + Float64(N * -2.0)))) / N))) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + (1.0 / ((0.1111111111111111 + (N * (-1.3333333333333333 + (N * -2.0)))) / N))) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(1.0 / N[(N[(0.1111111111111111 + N[(N * N[(-1.3333333333333333 + N[(N * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]

8. Taylor expanded in N around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(N \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)}\right)\right), N\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot N\right) \cdot \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(N\right)\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + -1 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \left(2 - \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} - \frac{4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{9}}{N}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   15. metadata-eval 95.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, N\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{9}, N\right), \frac{-4}{3}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

10. Simplified 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{\left(0 - N\right) \cdot \left(2 - \frac{\frac{0.1111111111111111}{N} + -1.3333333333333333}{N}\right)}}}{N} \]

11. Taylor expanded in N around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{9} + N \cdot \left(-2 \cdot N - \frac{4}{3}\right)}{N}\right)}\right)\right), N\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{9} + N \cdot \left(-2 \cdot N - \frac{4}{3}\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(N \cdot \left(-2 \cdot N - \frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \left(-2 \cdot N - \frac{4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \left(-2 \cdot N + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \left(-2 \cdot N + \frac{-4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\left(-2 \cdot N\right), \frac{-4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\left(N \cdot -2\right), \frac{-4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 95.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, -2\right), \frac{-4}{3}\right)\right)\right), N\right)\right)\right), N\right) \]

13. Simplified 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{\frac{0.1111111111111111 + N \cdot \left(N \cdot -2 + -1.3333333333333333\right)}{N}}}}{N} \]

14. Final simplification 95.0%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\frac{0.1111111111111111 + N \cdot \left(-1.3333333333333333 + N \cdot -2\right)}{N}}}{N} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.3% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (/ 1.0 (/ N (+ -0.5 (/ (+ 0.3333333333333333 (/ -0.25 N)) N))))) N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / (N / (-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N))))) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + (1.0d0 / (n / ((-0.5d0) + ((0.3333333333333333d0 + ((-0.25d0) / n)) / n))))) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + (1.0 / (N / (-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N))))) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + (1.0 / (N / (-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N))))) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(N / Float64(-0.5 + Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(-0.25 / N)) / N))))) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + (1.0 / (N / (-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N))))) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(1.0 / N[(N / N[(-0.5 + N[(N[(0.3333333333333333 + N[(-0.25 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.3% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (/ (+ -0.5 (/ (+ 0.3333333333333333 (/ -0.25 N)) N)) N)) N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + ((-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N)) / N)) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + (((-0.5d0) + ((0.3333333333333333d0 + ((-0.25d0) / n)) / n)) / n)) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + ((-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N)) / N)) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + ((-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N)) / N)) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(-0.25 / N)) / N)) / N)) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + ((-0.5 + ((0.3333333333333333 + (-0.25 / N)) / N)) / N)) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(-0.5 + N[(N[(0.3333333333333333 + N[(-0.25 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.6% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{-1}{N \cdot \left(2 + \frac{1.3333333333333333}{N}\right)}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (/ -1.0 (* N (+ 2.0 (/ 1.3333333333333333 N))))) N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + (-1.0 / (N * (2.0 + (1.3333333333333333 / N))))) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + ((-1.0d0) / (n * (2.0d0 + (1.3333333333333333d0 / n))))) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + (-1.0 / (N * (2.0 + (1.3333333333333333 / N))))) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + (-1.0 / (N * (2.0 + (1.3333333333333333 / N))))) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(-1.0 / Float64(N * Float64(2.0 + Float64(1.3333333333333333 / N))))) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + (-1.0 / (N * (2.0 + (1.3333333333333333 / N))))) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(-1.0 / N[(N * N[(2.0 + N[(1.3333333333333333 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}}\right)\right), N\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{N}{\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}}\right)\right)\right), N\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(\frac{-1}{2} + \frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{\frac{-1}{4}}{N}\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{4}}{N}\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, N\right)\right), N\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}}}}{N} \]

8. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(N \cdot \left(2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)}\right)\right), N\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(N \cdot \left(2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(0 - N \cdot \left(2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(N \cdot \left(2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(N, \left(2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{4}{3} \cdot 1}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{4}{3}}{N}\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 93.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{4}{3}, N\right)\right)\right)\right)\right)\right), N\right) \]

10. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{1}{\color{blue}{0 - N \cdot \left(2 + \frac{1.3333333333333333}{N}\right)}}}{N} \]

11. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{-1}{N \cdot \left(2 + \frac{1.3333333333333333}{N}\right)}}{N} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.0% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333}{N}}{N}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (/ (+ -0.5 (/ 0.3333333333333333 N)) N)) N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + ((-0.5 + (0.3333333333333333 / N)) / N)) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + (((-0.5d0) + (0.3333333333333333d0 / n)) / n)) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + ((-0.5 + (0.3333333333333333 / N)) / N)) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + ((-0.5 + (0.3333333333333333 / N)) / N)) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.3333333333333333 / N)) / N)) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + ((-0.5 + (0.3333333333333333 / N)) / N)) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(-0.5 + N[(0.3333333333333333 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}}{N}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right), \color{blue}{N}\right) \]

5. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333}{N}}{N}}{N}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 92.3% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{N}{1 + \frac{-0.5}{N}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (/ 1.0 (/ N (+ 1.0 (/ -0.5 N)))))

C

double code(double N) {
	return 1.0 / (N / (1.0 + (-0.5 / N)));
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = 1.0d0 / (n / (1.0d0 + ((-0.5d0) / n)))
end function

Java

public static double code(double N) {
	return 1.0 / (N / (1.0 + (-0.5 / N)));
}

Python

def code(N):
	return 1.0 / (N / (1.0 + (-0.5 / N)))

Julia

function code(N)
	return Float64(1.0 / Float64(N / Float64(1.0 + Float64(-0.5 / N))))
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = 1.0 / (N / (1.0 + (-0.5 / N)));
end

Wolfram

code[N_] := N[(1.0 / N[(N / N[(1.0 + N[(-0.5 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{3}}{{N}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{N}^{3}}\right)}{N}} \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5 + \frac{0.3333333333333333 + \frac{-0.25}{N}}{N}}{N}}{N}} \]

6. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}}{N}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right), \color{blue}{N}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right)\right), N\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{N}\right)\right), N\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{N}\right)\right), N\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 89.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, N\right)\right), N\right) \]

8. Simplified 89.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{0.5}{N}}{N}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{N}{1 - \frac{\frac{1}{2}}{N}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{N}{1 - \frac{\frac{1}{2}}{N}}\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{1}{2}}{N}\right)}\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{N}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{N}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{N}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2}}{N}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 89.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{N}\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 89.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{N}{1 + \frac{-0.5}{N}}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 92.2% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{-0.5}{N}}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (/ (+ 1.0 (/ -0.5 N)) N))

C

double code(double N) {
	return (1.0 + (-0.5 / N)) / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = (1.0d0 + ((-0.5d0) / n)) / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return (1.0 + (-0.5 / N)) / N;
}

Python

def code(N):
	return (1.0 + (-0.5 / N)) / N

Julia

function code(N)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(-0.5 / N)) / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = (1.0 + (-0.5 / N)) / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(N[(1.0 + N[(-0.5 / N), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}}{N}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right), \color{blue}{N}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{N}\right)\right)\right), N\right) \]

   6. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{N}\right)\right), N\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2}}{N}\right)\right), N\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 89.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, N\right)\right), N\right) \]

5. Simplified 89.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{-0.5}{N}}{N}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 11: 84.2% accurate, 68.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{N} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (/ 1.0 N))

C

double code(double N) {
	return 1.0 / N;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = 1.0d0 / n
end function

Java

public static double code(double N) {
	return 1.0 / N;
}

Python

def code(N):
	return 1.0 / N

Julia

function code(N)
	return Float64(1.0 / N)
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = 1.0 / N;
end

Wolfram

code[N_] := N[(1.0 / N), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{N}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 81.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{N}\right) \]

5. Simplified 81.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{N}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 3.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 0.0)

C

double code(double N) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(n)
    real(8), intent (in) :: n
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double N) {
	return 0.0;
}

Python

def code(N):
	return 0.0

Julia

function code(N)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(N)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[N_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 27.5%

   \[\log \left(N + 1\right) - \log N \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\log \left(N + 1\right) \cdot \log \left(N + 1\right) - \log N \cdot \log N}{\color{blue}{\log \left(N + 1\right) + \log N}} \]

   2. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\log \left(N + 1\right) \cdot \log \left(N + 1\right)}{\log \left(N + 1\right) + \log N} - \color{blue}{\frac{\log N \cdot \log N}{\log \left(N + 1\right) + \log N}} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \log \left(N + 1\right) \cdot \frac{\log \left(N + 1\right)}{\log \left(N + 1\right) + \log N} - \frac{\color{blue}{\log N \cdot \log N}}{\log \left(N + 1\right) + \log N} \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log \left(N + 1\right), \color{blue}{\frac{\log \left(N + 1\right)}{\log \left(N + 1\right) + \log N}}, \mathsf{neg}\left(\frac{\log N \cdot \log N}{\log \left(N + 1\right) + \log N}\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\log \left(N + 1\right), \color{blue}{\left(\frac{\log \left(N + 1\right)}{\log \left(N + 1\right) + \log N}\right)}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\log N \cdot \log N}{\log \left(N + 1\right) + \log N}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 27.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{log1p}\left(N\right), \frac{\mathsf{log1p}\left(N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}, -\frac{{\log N}^{2}}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\log N}^{2}}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}\right)\right) + \color{blue}{\log \left(1 + N\right) \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}} \]

   2. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \frac{{\log N}^{2}}{\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)} + \color{blue}{\log \left(1 + N\right)} \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)} \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\log N \cdot \log N}{\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)} + \log \color{blue}{\left(1 + N\right)} \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)} \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \log N \cdot \frac{\log N}{\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)} + \color{blue}{\log \left(1 + N\right)} \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)} \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log N, \color{blue}{\frac{\log N}{\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)}}, \log \left(1 + N\right) \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\log N, \color{blue}{\left(\frac{\log N}{\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)}\right)}, \left(\log \left(1 + N\right) \cdot \frac{\log \left(1 + N\right)}{\log \left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 27.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log N, \frac{\log N}{\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)}, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(N\right)\right)}^{2}}{\log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)}{\log N}}}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \left(\frac{1}{\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\log N}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)}\right), \color{blue}{\log N}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)\right)}\right), \log \color{blue}{N}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{N \cdot \left(1 + N\right)}\right)\right)}\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)}\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)\right), \log \color{blue}{N}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)\right)\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\left(N \cdot \left(N + 1\right)\right)\right)\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \left(N + 1\right)\right)\right)\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \left(1 + N\right)\right)\right)\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right), \log N\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. log-lowering-log.f64 27.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(N\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(N\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(N\right), 2\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(N, \mathsf{+.f64}\left(1, N\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 27.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log N, \color{blue}{\frac{-1}{\log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)} \cdot \log N}, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(N\right)\right)}^{2}}{\log \left(N \cdot \left(1 + N\right)\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in N around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \log \left(\frac{1}{N}\right) + \frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1}{N}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \log \left(\frac{1}{N}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{2}\right)} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \log \left(\frac{1}{N}\right) \cdot 0 \]

    3. mul0-rgt 3.3%

       \[\leadsto 0 \]

11. Simplified 3.3%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(\frac{1}{N}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (N) :precision binary64 (log1p (/ 1.0 N)))

C

double code(double N) {
	return log1p((1.0 / N));
}

Java

public static double code(double N) {
	return Math.log1p((1.0 / N));
}

Python

def code(N):
	return math.log1p((1.0 / N))

Julia

function code(N)
	return log1p(Float64(1.0 / N))
end

Wolfram

code[N_] := N[Log[1 + N[(1.0 / N), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  :pre (and (> N 1.0) (< N 1e+40))

  :alt
  (! :herbie-platform default (log1p (/ 1 N)))

  (- (log (+ N 1.0)) (log N)))