Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 28.1s

Alternatives: 13

Speedup: 0.7×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ t_1 := \frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\\ s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{t\_1}}{{t\_1}^{-2} + -1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s)))
        (t_1 (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0)))))
   (* s (log (/ (+ 1.0 (/ 1.0 t_1)) (+ (pow t_1 -2.0) -1.0))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	float t_1 = (u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0));
	return s * logf(((1.0f + (1.0f / t_1)) / (powf(t_1, -2.0f) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	t_1 = Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0)))
	return Float32(s * log(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_1)) / Float32((t_1 ^ Float32(-2.0)) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	t_1 = (u / (single(1.0) + (single(1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0));
	tmp = s * log(((single(1.0) + (single(1.0) / t_1)) / ((t_1 ^ single(-2.0)) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f - u) / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     (/ 1.0 u)
     (+
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
      (/ 1.0 (- -1.0 (exp (/ PI s))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + ((1.0f / u) / ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (1.0f / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) / u) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + ((single(1.0) / u) / ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (single(1.0) / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} - 1\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} + -1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]

10. Final simplification 98.0%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 24.9% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{\left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot -0.25 - \left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.25 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 4}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    1.0
    (/ (* (- (* (* u PI) -0.25) (+ (* (* u PI) 0.25) (* PI -0.25))) 4.0) s)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((1.0f + (((((u * ((float) M_PI)) * -0.25f) - (((u * ((float) M_PI)) * 0.25f) + (((float) M_PI) * -0.25f))) * 4.0f) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(-0.25)) - Float32(Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(0.25)) + Float32(Float32(pi) * Float32(-0.25)))) * Float32(4.0)) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(1.0) + (((((u * single(pi)) * single(-0.25)) - (((u * single(pi)) * single(0.25)) + (single(pi) * single(-0.25)))) * single(4.0)) / s)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{16}{3} \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right) - \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{16}{3} \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s} - \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s} - \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s} - \frac{\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \frac{\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) - \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) - \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 24.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25 - \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot u\right) + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 4}{s}\right)} \]

10. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{\left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot -0.25 - \left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.25 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 4}{s}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 19.1% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.5000000170217692 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.5 \cdot \left(0 \cdot \left(u \cdot u\right)\right)}{s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s} - \frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s \cdot s}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (if (<= s 1.5000000170217692e-19)
   (/ (* -0.5 (* 0.0 (* u u))) s)
   (* (- s) (log1p (- (/ PI s) (/ (* -0.5 (* PI PI)) (* s s)))))))

C

float code(float u, float s) {
	float tmp;
	if (s <= 1.5000000170217692e-19f) {
		tmp = (-0.5f * (0.0f * (u * u))) / s;
	} else {
		tmp = -s * log1pf(((((float) M_PI) / s) - ((-0.5f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) / (s * s))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(u, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(1.5000000170217692e-19))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(0.0) * Float32(u * u))) / s);
	else
		tmp = Float32(Float32(-s) * log1p(Float32(Float32(Float32(pi) / s) - Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) / Float32(s * s)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 1.50000002e-19

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

   7. Simplified 7.7%

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

   8. Taylor expanded in u around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left({u}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot u\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + -1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u}\right)\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{16} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{u} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), u\right)\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   10. Simplified 5.1%

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \color{blue}{\left(\left(u \cdot u\right) \cdot \left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-\frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \frac{-0.0625 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{u}}{u}\right)\right)\right)} \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s} \]

   11. Taylor expanded in u around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{{u}^{2} \cdot \left(-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({u}^{2} \cdot \left(-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{\color{blue}{s}} \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({u}^{2} \cdot \left(-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{s}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u}^{2} \cdot \left(-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), s\right) \]

       4. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-4 + 4\right)\right)\right)\right), s\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 0\right)\right)\right), s\right) \]

       6. mul0-rgt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u}^{2} \cdot 0\right)\right), s\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u}^{2}\right), 0\right)\right), s\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot u\right), 0\right)\right), s\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 13.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, u\right), 0\right)\right), s\right) \]

   13. Simplified 13.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \left(\left(u \cdot u\right) \cdot 0\right)}{s}} \]

   if 1.50000002e-19 < s

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \frac{-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{{s}^{2}}\right) - 4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 25.6%

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s} + \left(1 - \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -8\right) + 0}{s \cdot s}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\log \left(\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(1 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 25.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 25.6%

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s} - \frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s \cdot s}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 19.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.5000000170217692 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.5 \cdot \left(0 \cdot \left(u \cdot u\right)\right)}{s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s} - \frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s \cdot s}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 24.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -s \cdot \log \left(1 + \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right)}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (- (* s (log (+ 1.0 (/ (* -4.0 (+ (* PI -0.25) (* (* u PI) 0.5))) s))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -(s * logf((1.0f + ((-4.0f * ((((float) M_PI) * -0.25f) + ((u * ((float) M_PI)) * 0.5f))) / s))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(s * log(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-4.0) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.25)) + Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(0.5)))) / s)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -(s * log((single(1.0) + ((single(-4.0) * ((single(pi) * single(-0.25)) + ((u * single(pi)) * single(0.5)))) / s))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \frac{-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{{s}^{2}}\right) - 4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 14.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s} + \left(1 - \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -8\right) + 0}{s \cdot s}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5\right)}{s}\right)} \]

11. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto -s \cdot \log \left(1 + \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right)}{s}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 24.8% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{-4}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ 1.0 (* (+ (* PI -0.25) (* (* u PI) 0.5)) (/ -4.0 s))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((1.0f + (((((float) M_PI) * -0.25f) + ((u * ((float) M_PI)) * 0.5f)) * (-4.0f / s))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.25)) + Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(0.5))) * Float32(Float32(-4.0) / s)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(1.0) + (((single(pi) * single(-0.25)) + ((u * single(pi)) * single(0.5))) * (single(-4.0) / s))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Final simplification 24.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{-4}{s}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 14.2% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\\ \frac{-4 \cdot t\_0 + \frac{0.5 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot -16\right) + \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot 16\right)}{s}}{s} \cdot \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (* PI -0.25) (* (* u PI) 0.5))))
   (*
    (/
     (+
      (* -4.0 t_0)
      (/ (* 0.5 (+ (* t_0 (* t_0 -16.0)) (* (* t_0 t_0) 16.0))) s))
     s)
    (/ (* s (- s)) s))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = (((float) M_PI) * -0.25f) + ((u * ((float) M_PI)) * 0.5f);
	return (((-4.0f * t_0) + ((0.5f * ((t_0 * (t_0 * -16.0f)) + ((t_0 * t_0) * 16.0f))) / s)) / s) * ((s * -s) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.25)) + Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(0.5)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-4.0) * t_0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(t_0 * Float32(t_0 * Float32(-16.0))) + Float32(Float32(t_0 * t_0) * Float32(16.0)))) / s)) / s) * Float32(Float32(s * Float32(-s)) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = (single(pi) * single(-0.25)) + ((u * single(pi)) * single(0.5));
	tmp = (((single(-4.0) * t_0) + ((single(0.5) * ((t_0 * (t_0 * single(-16.0))) + ((t_0 * t_0) * single(16.0)))) / s)) / s) * ((s * -s) / s);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)}, -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)}, -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 14.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-16, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)}\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 14.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s \cdot s}{0 + s}} \cdot \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s} \]

10. Final simplification 14.6%

    \[\leadsto \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) + \frac{0.5 \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(u \cdot \pi\right) \cdot 0.5\right)\right) \cdot 16\right)}{s}}{s} \cdot \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 13.9% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (* s (- s)) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * -s) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * Float32(-s)) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * -s) / s);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(s \cdot \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 14.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 14.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{s \cdot \left(-s\right)}{0 + s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 14.3%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 11.7% accurate, 48.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u \cdot \left(\pi \cdot 2 - \frac{\pi}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* u (- (* PI 2.0) (/ PI u))))

C

float code(float u, float s) {
	return u * ((((float) M_PI) * 2.0f) - (((float) M_PI) / u));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(u * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) - Float32(Float32(pi) / u)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = u * ((single(pi) * single(2.0)) - (single(pi) / u));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

8. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \color{blue}{{u}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)}{{u}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(-4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + 4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)}{u} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)\right)} \]

10. Simplified 11.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u \cdot u\right) \cdot \left(\left(\left(-\frac{\pi + 0.5 \cdot \left(0 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s}\right)}{u \cdot u}\right) + \left(-\frac{\pi \cdot -2 + 0.5 \cdot \left(\frac{\pi \cdot \pi}{s} \cdot 0\right)}{u}\right)\right) + \frac{-0.5 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0\right)}{s}\right)} \]

11. Taylor expanded in u around inf

    \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} - \color{blue}{-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} - -2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

    4. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    6. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}}\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right)\right) \]

    8. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}}\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)}\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{u}\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 11.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right)\right) \]

13. Simplified 11.6%

    \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(\pi \cdot 2 - \frac{\pi}{u}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 11.7% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u \cdot \pi\right) \cdot 2 - \pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (* (* u PI) 2.0) PI))

C

float code(float u, float s) {
	return ((u * ((float) M_PI)) * 2.0f) - ((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(2.0)) - Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((u * single(pi)) * single(2.0)) - single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(-16 \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

8. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \color{blue}{{u}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)}{{u}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(-4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + 4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)}{u} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)\right)} \]

10. Simplified 11.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u \cdot u\right) \cdot \left(\left(\left(-\frac{\pi + 0.5 \cdot \left(0 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s}\right)}{u \cdot u}\right) + \left(-\frac{\pi \cdot -2 + 0.5 \cdot \left(\frac{\pi \cdot \pi}{s} \cdot 0\right)}{u}\right)\right) + \frac{-0.5 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0\right)}{s}\right)} \]

11. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), 2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), 2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), 2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 11.6%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

13. Simplified 11.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\pi \cdot u\right) \cdot 2 - \pi} \]

14. Final simplification 11.6%

    \[\leadsto \left(u \cdot \pi\right) \cdot 2 - \pi \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 11.5% accurate, 72.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s}{\frac{s}{-\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ s (/ s (- PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return s / (s / -((float) M_PI));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s / Float32(s / Float32(-Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s / (s / -single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]

10. Final simplification 11.3%

    \[\leadsto \frac{s}{\frac{s}{-\pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 11.5% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))