Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.0% → 99.1%

Time: 15.0s

Alternatives: 24

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 90.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9971399903297424:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= t_0 0.9971399903297424)
     (* t_0 (sqrt u1))
     (*
      (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))
      (sqrt
       (+
        u1
        (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9971399903297424f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(u1);
	} else {
		tmp = (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9971399903297424))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(u1));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos((u2 * (single(2.0) * single(pi))));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.9971399903297424))
		tmp = t_0 * sqrt(u1);
	else
		tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 + ((single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))) * (u1 * u1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.99713999

   1. Initial program 54.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.99713999 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 54.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 95.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1 \cdot 1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot u1\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 96.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 96.0%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right) + u1}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9971399903297424:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.05000000074505806)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI))))))
     (*
      (cos t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.05000000074505806f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.05000000074505806))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0500000007

   1. Initial program 54.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0500000007 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 91.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.05000000074505806)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI))))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.05000000074505806f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.05000000074505806))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0500000007

   1. Initial program 54.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0500000007 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0020000000949949026)
     (sqrt (- (log1p (- u1))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0020000000949949026f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0020000000949949026))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00200000009

   1. Initial program 54.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   if 0.00200000009 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 89.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
  (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * cos((u2 * (single(2.0) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 95.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))
  (sqrt
   (+ u1 (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 + ((single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))) * (u1 * u1))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1 \cdot 1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot u1\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 88.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 88.6%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right) + u1}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

13. Final simplification 88.6%

    \[\leadsto \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \pi \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
  (+ 1.0 (* PI (* (* u2 u2) (* PI -2.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f + (((float) M_PI) * ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * -2.0f))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) + (single(pi) * ((u2 * u2) * (single(pi) * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 88.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right) \cdot \pi}\right) \]

13. Final simplification 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \pi \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
  (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.2% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0001500000071246177:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0001500000071246177)
   (sqrt
    (+ u1 (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))
   (*
    (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0001500000071246177f) {
		tmp = sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1))));
	} else {
		tmp = (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0001500000071246177))
		tmp = sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0001500000071246177))
		tmp = sqrt((u1 + ((single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))) * (u1 * u1))));
	else
		tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 1.50000007e-4

   1. Initial program 54.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 96.0%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 96.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + 1 \cdot u1\right)\right) \]

       3. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + u1\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 96.1%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 96.1%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + u1}} \]

   if 1.50000007e-4 < u2

   1. Initial program 55.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 76.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 71.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0001500000071246177:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 82.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 86.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 86.9%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 86.9%

    \[\leadsto \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 80.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt
    (+ u1 (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))
   (* (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI))))) (pow (* u1 u1) 0.25))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1))));
	} else {
		tmp = (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * powf((u1 * u1), 0.25f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * (Float32(u1 * u1) ^ Float32(0.25)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 + ((single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))) * (u1 * u1))));
	else
		tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * ((u1 * u1) ^ single(0.25));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 54.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + 1 \cdot u1\right)\right) \]

       3. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + u1\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 95.5%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 95.5%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + u1}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 55.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 72.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 70.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot {\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 70.7%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.25}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   13. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}, \frac{1}{4}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 62.3%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}}^{0.25} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 80.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt
    (+ u1 (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))
   (* (sqrt u1) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 + ((single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))) * (u1 * u1))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 54.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + 1 \cdot u1\right)\right) \]

       3. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + u1\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 95.5%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 95.5%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + u1}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 55.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 72.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 70.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \left(\color{blue}{1} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 62.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 80.8% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt
    (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
   (* (sqrt u1) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 54.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 55.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 72.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 70.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \left(\color{blue}{1} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 62.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 79.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (* (sqrt u1) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 54.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

   14. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 93.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 93.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 55.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 72.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 70.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \left(\color{blue}{1} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 62.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 79.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (* (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI))))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 54.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

   14. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 93.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 93.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 55.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 72.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 75.7% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * (0.5e0 + (u1 * 0.3333333333333333e0))))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 81.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 80.4%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 80.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 18: 73.2% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 81.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 77.3%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 77.3%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 19: 65.3% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 81.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
15. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 69.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right) \]

16. Simplified 69.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 20: 21.2% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333 \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{u1} + \left(\left(0.5 - t\_0\right) + \frac{0.3888888888888889 + t\_0 \cdot -0.7777777777777778}{u1 \cdot u1}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* u2 (* PI PI)))))
   (*
    (* u1 u1)
    (+
     (/ (* 0.3333333333333333 (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))) u1)
     (+
      (- 0.5 t_0)
      (/ (+ 0.3888888888888889 (* t_0 -0.7777777777777778)) (* u1 u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (u2 * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)));
	return (u1 * u1) * (((0.3333333333333333f * (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))) / u1) + ((0.5f - t_0) + ((0.3888888888888889f + (t_0 * -0.7777777777777778f)) / (u1 * u1))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))
	return Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(0.3333333333333333) * Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))) / u1) + Float32(Float32(Float32(0.5) - t_0) + Float32(Float32(Float32(0.3888888888888889) + Float32(t_0 * Float32(-0.7777777777777778))) / Float32(u1 * u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (u2 * (single(pi) * single(pi)));
	tmp = (u1 * u1) * (((single(0.3333333333333333) * (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi))))))) / u1) + ((single(0.5) - t_0) + ((single(0.3888888888888889) + (t_0 * single(-0.7777777777777778))) / (u1 * u1))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot {\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 88.4%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.25}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

13. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{u1} + \left(\frac{7}{18} \cdot \frac{1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

15. Simplified 21.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333 \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{u1} + \left(\left(0.5 - u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \frac{0.3888888888888889 + -0.7777777777777778 \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}{u1 \cdot u1}\right)\right)} \]

16. Final simplification 21.1%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333 \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{u1} + \left(\left(0.5 - u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \frac{0.3888888888888889 + \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -0.7777777777777778}{u1 \cdot u1}\right)\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 21: 21.2% accurate, 11.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(0.5 + \frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* u2 (* u2 (* -2.0 (* PI PI)))))
  (*
   (* u1 u1)
   (+ (/ 0.3333333333333333 u1) (+ 0.5 (/ 0.3888888888888889 (* u1 u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + (u2 * (u2 * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * ((u1 * u1) * ((0.3333333333333333f / u1) + (0.5f + (0.3888888888888889f / (u1 * u1)))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(Float32(0.3333333333333333) / u1) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.3888888888888889) / Float32(u1 * u1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + (u2 * (u2 * (single(-2.0) * (single(pi) * single(pi)))))) * ((u1 * u1) * ((single(0.3333333333333333) / u1) + (single(0.5) + (single(0.3888888888888889) / (u1 * u1)))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}\right) + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right), \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{u1}\right), \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{u1}\right), \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right), \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 21.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(\frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1} + 0.5\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

14. Final simplification 21.1%

    \[\leadsto \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(0.5 + \frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1}\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 20.8% accurate, 20.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(0.5 + \frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u1 u1)
  (+ (/ 0.3333333333333333 u1) (+ 0.5 (/ 0.3888888888888889 (* u1 u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u1 * u1) * ((0.3333333333333333f / u1) + (0.5f + (0.3888888888888889f / (u1 * u1))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = (u1 * u1) * ((0.3333333333333333e0 / u1) + (0.5e0 + (0.3888888888888889e0 / (u1 * u1))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(Float32(0.3333333333333333) / u1) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.3888888888888889) / Float32(u1 * u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u1 * u1) * ((single(0.3333333333333333) / u1) + (single(0.5) + (single(0.3888888888888889) / (u1 * u1))));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 81.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)}\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}\right) + \frac{1}{2}\right)\right) \]

    6. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1} + \color{blue}{\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{u1}\right), \left(\color{blue}{\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{u1}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{7}{18}}}{{u1}^{2}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right), \left(\color{blue}{\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{7}{18}}{{u1}^{2}}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

16. Simplified 21.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(\frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1} + 0.5\right)\right)} \]

17. Final simplification 21.0%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.3333333333333333}{u1} + \left(0.5 + \frac{0.3888888888888889}{u1 \cdot u1}\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 23: 18.1% accurate, 34.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333}{u1}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* u1 (* u1 (+ 0.5 (/ 0.3333333333333333 u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return u1 * (u1 * (0.5f + (0.3333333333333333f / u1)));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = u1 * (u1 * (0.5e0 + (0.3333333333333333e0 / u1)))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(u1 * Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.3333333333333333) / u1))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = u1 * (u1 * (single(0.5) + (single(0.3333333333333333) / u1)));
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 81.6%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) \cdot \color{blue}{{u1}^{2}} \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) \cdot \left(u1 \cdot \color{blue}{u1}\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right) \cdot u1\right), \color{blue}{u1}\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right), u1\right), u1\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u1}\right)\right), u1\right), u1\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{u1}\right)\right), u1\right), u1\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{3}}{u1}\right)\right), u1\right), u1\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 18.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right)\right), u1\right), u1\right) \]

16. Simplified 18.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 + \frac{0.3333333333333333}{u1}\right) \cdot u1\right) \cdot u1} \]

17. Final simplification 18.3%

    \[\leadsto u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333}{u1}\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 24: 14.2% accurate, 62.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \left(u1 \cdot u1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* 0.5 (* u1 u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return 0.5f * (u1 * u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = 0.5e0 * (u1 * u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(0.5) * Float32(u1 * u1))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.5) * (u1 * u1);
end

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 88.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot {u1}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left({u1}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto {u1}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    7. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(-1 \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    12. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    13. distribute-rgt-neg-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    18. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{neg}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. neg-sub0 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(0 - \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    20. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    21. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    22. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    23. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    24. PI-lowering-PI.f32 14.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 14.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(0 - \pi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]
15. Step-by-step derivation

16. Simplified 14.2%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{0.5} \]

17. Final simplification 14.2%

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(u1 \cdot u1\right) \]
18. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))