Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.9%

Time: 15.3s

Alternatives: 19

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\\ \frac{\sin t\_1}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* x tau))))
   (* (/ (sin t_1) (* x PI)) (/ (sin (* x PI)) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (x * tau);
	return (sinf(t_1) / (x * ((float) M_PI))) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (x * tau);
	tmp = (sin(t_1) / (x * single(pi))) * (sin((x * single(pi))) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 90.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (/
     (*
      x
      (+
       1.0
       (*
        x
        (*
         x
         (+
          (* -0.16666666666666666 (* PI PI))
          (* (* x x) (* 0.008333333333333333 (* (* PI PI) (* PI PI)))))))))
     x))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * ((x * (1.0f + (x * (x * ((-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((x * x) * (0.008333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))) / x);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(x * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * ((x * (single(1.0) + (x * (x * ((single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))) + ((x * x) * (single(0.008333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi)))))))))) / x);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi}}{x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}, x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right) \]

7. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}{x} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 90.0% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}{x}}{\pi \cdot tau}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (/
    (+
     1.0
     (*
      x
      (*
       x
       (+
        (* -0.16666666666666666 (* PI PI))
        (* (* x x) (* 0.008333333333333333 (* (* PI PI) (* PI PI))))))))
    x)
   (* PI tau))
  (/ 1.0 (sin (* PI (* x tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (((1.0f + (x * (x * ((-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((x * x) * (0.008333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))) / x) / (((float) M_PI) * tau)) / (1.0f / sinf((((float) M_PI) * (x * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))) / x) / Float32(Float32(pi) * tau)) / Float32(Float32(1.0) / sin(Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (((single(1.0) + (x * (x * ((single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))) + ((x * x) * (single(0.008333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi))))))))) / x) / (single(pi) * tau)) / (single(1.0) / sin((single(pi) * (x * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{\frac{\color{blue}{1}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

4. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(x \cdot \pi\right)}}{\pi \cdot tau}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 90.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}{x}}}{\pi \cdot tau}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.0% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{1}{\pi \cdot tau} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{\pi \cdot -0.16666666666666666}{tau} + \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{tau}\right)}{x}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (/ 1.0 (* PI tau))
    (*
     (* x x)
     (+
      (/ (* PI -0.16666666666666666) tau)
      (/ (* (* (* x x) 0.008333333333333333) (* PI (* PI PI))) tau))))
   x)
  (/ 1.0 (sin (* PI (* x tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (((1.0f / (((float) M_PI) * tau)) + ((x * x) * (((((float) M_PI) * -0.16666666666666666f) / tau) + ((((x * x) * 0.008333333333333333f) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) / tau)))) / x) / (1.0f / sinf((((float) M_PI) * (x * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(pi) * tau)) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)) / tau) + Float32(Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(0.008333333333333333)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) / tau)))) / x) / Float32(Float32(1.0) / sin(Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (((single(1.0) / (single(pi) * tau)) + ((x * x) * (((single(pi) * single(-0.16666666666666666)) / tau) + ((((x * x) * single(0.008333333333333333)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) / tau)))) / x) / (single(1.0) / sin((single(pi) * (x * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{\frac{\color{blue}{1}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

4. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(x \cdot \pi\right)}}{\pi \cdot tau}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{tau} + \frac{1}{120} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{tau}\right) + \frac{1}{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{x}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{tau} + \frac{1}{120} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{tau}\right) + \frac{1}{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), x\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 90.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1}{tau \cdot \pi} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-0.16666666666666666 \cdot \pi}{tau} + \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{tau}\right)}{x}}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Final simplification 90.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{\pi \cdot tau} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{\pi \cdot -0.16666666666666666}{tau} + \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{tau}\right)}{x}}{\frac{1}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 84.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\\ \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin t\_1}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* x tau))))
   (*
    (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 (* x (* PI PI)))))
    (/ (sin t_1) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (x * tau);
	return (1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (sinf(t_1) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(sin(t_1) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (x * tau);
	tmp = (single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * (x * (single(pi) * single(pi)))))) * (sin(t_1) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 84.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x}}{\pi \cdot tau}} \]

9. Applied egg-rr 84.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]

10. Final simplification 84.9%

    \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 83.9% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot t\_1\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + t\_1 \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* PI PI) (* PI PI))))
   (+
    1.0
    (*
     (* x x)
     (+
      (*
       (* PI PI)
       (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
      (*
       (* x x)
       (+
        (* (* 0.008333333333333333 t_1) (* (* tau tau) (* tau tau)))
        (*
         t_1
         (+ 0.008333333333333333 (* (* tau tau) 0.027777777777777776))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI));
	return 1.0f + ((x * x) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + ((x * x) * (((0.008333333333333333f * t_1) * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (t_1 * (0.008333333333333333f + ((tau * tau) * 0.027777777777777776f)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * t_1) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * tau))) + Float32(t_1 * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi));
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + ((x * x) * (((single(0.008333333333333333) * t_1) * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (t_1 * (single(0.008333333333333333) + ((tau * tau) * single(0.027777777777777776))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi}}{x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

7. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 83.9%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 83.3% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(t\_1 + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + t\_1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))
   (*
    (+
     1.0
     (*
      (* tau tau)
      (+
       t_1
       (*
        (* 0.008333333333333333 (* (* x x) (* x x)))
        (* (* (* PI PI) (* PI PI)) (* tau tau))))))
    (+ 1.0 t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	return (1.0f + ((tau * tau) * (t_1 + ((0.008333333333333333f * ((x * x) * (x * x))) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (tau * tau)))))) * (1.0f + t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(t_1 + Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(x * x) * Float32(x * x))) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(tau * tau)))))) * Float32(Float32(1.0) + t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))));
	tmp = (single(1.0) + ((tau * tau) * (t_1 + ((single(0.008333333333333333) * ((x * x) * (x * x))) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi))) * (tau * tau)))))) * (single(1.0) + t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({x}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 83.5%

   \[\leadsto \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.3% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))
  (+
   1.0
   (*
    x
    (*
     x
     (+
      (* -0.16666666666666666 (* tau (* tau (* PI PI))))
      (*
       (* x x)
       (*
        (* 0.008333333333333333 (* (* PI PI) (* PI PI)))
        (* (* tau tau) (* tau tau))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (1.0f + (x * (x * ((-0.16666666666666666f * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) + ((x * x) * ((0.008333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * ((tau * tau) * (tau * tau))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * tau)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))) * (single(1.0) + (x * (x * ((single(-0.16666666666666666) * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi))))) + ((x * x) * ((single(0.008333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi)))) * ((tau * tau) * (tau * tau))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 83.5%

   \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.2% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + 0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   x
   (*
    x
    (+
     (*
      (* PI PI)
      (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
     (*
      x
      (*
       x
       (*
        (* (* PI PI) (* PI PI))
        (+
         (* (* tau tau) 0.027777777777777776)
         (* 0.008333333333333333 (* (* tau tau) (* tau tau))))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + (x * (x * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (((tau * tau) * 0.027777777777777776f) + (0.008333333333333333f * ((tau * tau) * (tau * tau))))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776)) + Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * tau)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + (x * (x * (((single(pi) * single(pi)) * (single(pi) * single(pi))) * (((tau * tau) * single(0.027777777777777776)) + (single(0.008333333333333333) * ((tau * tau) * (tau * tau))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \]

8. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 83.1%

   \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + 0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.2% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   -0.16666666666666666
   (+
    (* x (* x (* PI PI)))
    (*
     (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))
     (* (* x x) (* tau (* tau (* PI PI)))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + ((1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * ((x * x) * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(x * x) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * (x * (single(pi) * single(pi)))) + ((single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))) * ((x * x) * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]

8. Simplified 78.7%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 78.9% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))
  (+ 1.0 (* (* x x) (* -0.16666666666666666 (* tau (* tau (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (1.0f + ((x * x) * (-0.16666666666666666f * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))) * (single(1.0) + ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + {tau}^{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 78.4%

   \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 78.2% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (* -0.16666666666666666 (* (* x x) (* (* PI PI) (+ 1.0 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (1.0f + (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(1.0) + (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 78.2% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (* -0.16666666666666666 (* (* PI (+ 1.0 (* tau tau))) (* x (* x PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((((float) M_PI) * (1.0f + (tau * tau))) * (x * (x * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau))) * Float32(x * Float32(x * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((single(pi) * (single(1.0) + (tau * tau))) * (x * (x * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + tau \cdot tau\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 77.8%

   \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.4% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* (* x x) (* tau (* tau (* PI PI)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * x) * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * x) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * x) * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{tau}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{tau}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{tau}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 68.5%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 64.4% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* x (* x PI)) (* PI -0.16666666666666666))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * (x * ((float) M_PI))) * (((float) M_PI) * -0.16666666666666666f));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * (x * single(pi))) * (single(pi) * single(-0.16666666666666666)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 63.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot x\right)}\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot x\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot x\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 63.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 63.3%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)} \]

13. Final simplification 63.3%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 64.4% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* (* x PI) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * ((float) M_PI)) * (x * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * Float32(pi)) * Float32(x * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * single(pi)) * (x * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 63.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 63.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 64.4% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* x (* x (* PI PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * (x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * (x * (x * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\frac{x \cdot \pi}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 77.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 63.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 19: 63.4% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 62.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))