math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 64.9% → 99.6%

Time: 14.8s

Alternatives: 23

Speedup: 2.8×

• 48.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 64.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -50:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -50.0)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-50.0d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -50.0) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -50.0:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -50.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -50.0)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -50.0], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -50

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -50 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 89.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im\_m} - e^{im\_m} \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(1 - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m)) -50.0)
    (* (* 0.5 (sin re)) (- 1.0 (exp im_m)))
    (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -50.0) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (1.0 - exp(im_m));
	} else {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if ((exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)) <= (-50.0d0)) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (1.0d0 - exp(im_m))
    else
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m)) <= -50.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (1.0 - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if (math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)) <= -50.0:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (1.0 - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -50.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(1.0 - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -50.0)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (1.0 - exp(im_m));
	else
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -50.0], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -50

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   if -50 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 89.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot t\_0\\ t_2 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_3 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ t_4 := t\_3 - -2\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot \left(im\_m \cdot \sin re\right)\right) \cdot \left(-8 + t\_1 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)}{4 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.3 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{im\_m} \cdot \frac{\left(im\_m \cdot \left(-2 + t\_3\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot t\_4\right)}{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))
        (t_1 (* im_m t_0))
        (t_2 (* 0.5 (sin re)))
        (t_3
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
        (t_4 (- t_3 -2.0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2e+22)
      (/
       (*
        (* 0.5 (* im_m (sin re)))
        (+ -8.0 (* t_1 (* t_0 (* (* im_m im_m) t_0)))))
       (+ 4.0 (* t_1 (- t_1 -2.0))))
      (if (<= im_m 3.3e+44)
        (* (/ t_2 im_m) (/ (* (* im_m (+ -2.0 t_3)) (* im_m t_4)) t_4))
        (*
         t_2
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              -0.0003968253968253968
              (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double t_2 = 0.5 * sin(re);
	double t_3 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	double t_4 = t_3 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+22) {
		tmp = ((0.5 * (im_m * sin(re))) * (-8.0 + (t_1 * (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0)));
	} else if (im_m <= 3.3e+44) {
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_3)) * (im_m * t_4)) / t_4);
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))
    t_1 = im_m * t_0
    t_2 = 0.5d0 * sin(re)
    t_3 = im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    t_4 = t_3 - (-2.0d0)
    if (im_m <= 2d+22) then
        tmp = ((0.5d0 * (im_m * sin(re))) * ((-8.0d0) + (t_1 * (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0))))) / (4.0d0 + (t_1 * (t_1 - (-2.0d0))))
    else if (im_m <= 3.3d+44) then
        tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * ((-2.0d0) + t_3)) * (im_m * t_4)) / t_4)
    else
        tmp = t_2 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double t_2 = 0.5 * Math.sin(re);
	double t_3 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	double t_4 = t_3 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+22) {
		tmp = ((0.5 * (im_m * Math.sin(re))) * (-8.0 + (t_1 * (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0)));
	} else if (im_m <= 3.3e+44) {
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_3)) * (im_m * t_4)) / t_4);
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))
	t_1 = im_m * t_0
	t_2 = 0.5 * math.sin(re)
	t_3 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))
	t_4 = t_3 - -2.0
	tmp = 0
	if im_m <= 2e+22:
		tmp = ((0.5 * (im_m * math.sin(re))) * (-8.0 + (t_1 * (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0)))
	elif im_m <= 3.3e+44:
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_3)) * (im_m * t_4)) / t_4)
	else:
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))
	t_1 = Float64(im_m * t_0)
	t_2 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_3 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))
	t_4 = Float64(t_3 - -2.0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2e+22)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * Float64(im_m * sin(re))) * Float64(-8.0 + Float64(t_1 * Float64(t_0 * Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0))))) / Float64(4.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - -2.0))));
	elseif (im_m <= 3.3e+44)
		tmp = Float64(Float64(t_2 / im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + t_3)) * Float64(im_m * t_4)) / t_4));
	else
		tmp = Float64(t_2 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))));
	t_1 = im_m * t_0;
	t_2 = 0.5 * sin(re);
	t_3 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	t_4 = t_3 - -2.0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2e+22)
		tmp = ((0.5 * (im_m * sin(re))) * (-8.0 + (t_1 * (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0)));
	elseif (im_m <= 3.3e+44)
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_3)) * (im_m * t_4)) / t_4);
	else
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 - -2.0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2e+22], N[(N[(N[(0.5 * N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-8.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$0 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(4.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.3e+44], N[(N[(t$95$2 / im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2e22

   1. Initial program 59.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 91.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-8 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) - -2\right)}} \]

   if 2e22 < im < 3.30000000000000013e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 6.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 6.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0003968253968253968\right) \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sin re}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}} \]

   if 3.30000000000000013e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{-0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)\right) \cdot \left(-8 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) - -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.3 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sin re}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ t_1 := -0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\\ t_2 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_3 := -0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_1\right)\\ t_4 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_3\right)\\ t_5 := t\_4 - -2\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 700:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_1\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.45 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot re\right)\right) \cdot \left(-8 + t\_4 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_3\right)\right)\right)}{4 + t\_4 \cdot t\_5}\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{im\_m} \cdot \frac{\left(im\_m \cdot \left(-2 + t\_4\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot t\_5\right)}{t\_5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))
        (t_1
         (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))
        (t_2 (* 0.5 (sin re)))
        (t_3 (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m t_1))))
        (t_4 (* im_m (* im_m t_3)))
        (t_5 (- t_4 -2.0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 700.0)
      (*
       t_2
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (* (* im_m im_m) (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) t_1))))))
      (if (<= im_m 3.45e+22)
        (/
         (*
          (*
           (+
            0.5
            (*
             (* re re)
             (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667)))))
           (* im_m re))
          (+ -8.0 (* t_4 (* t_0 (* t_3 t_3)))))
         (+ 4.0 (* t_4 t_5)))
        (if (<= im_m 1e+43)
          (* (/ t_2 im_m) (/ (* (* im_m (+ -2.0 t_4)) (* im_m t_5)) t_5))
          (*
           t_2
           (*
            im_m
            (+
             -2.0
             (*
              (* im_m im_m)
              (+ -0.3333333333333333 (* -0.0003968253968253968 t_0))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_1 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_2 = 0.5 * sin(re);
	double t_3 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_1));
	double t_4 = im_m * (im_m * t_3);
	double t_5 = t_4 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 700.0) {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_1)))));
	} else if (im_m <= 3.45e+22) {
		tmp = (((0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))) * (im_m * re)) * (-8.0 + (t_4 * (t_0 * (t_3 * t_3))))) / (4.0 + (t_4 * t_5));
	} else if (im_m <= 1e+43) {
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_4)) * (im_m * t_5)) / t_5);
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * t_0)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
    t_1 = (-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))
    t_2 = 0.5d0 * sin(re)
    t_3 = (-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * t_1))
    t_4 = im_m * (im_m * t_3)
    t_5 = t_4 - (-2.0d0)
    if (im_m <= 700.0d0) then
        tmp = t_2 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * t_1)))))
    else if (im_m <= 3.45d+22) then
        tmp = (((0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0))))) * (im_m * re)) * ((-8.0d0) + (t_4 * (t_0 * (t_3 * t_3))))) / (4.0d0 + (t_4 * t_5))
    else if (im_m <= 1d+43) then
        tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * ((-2.0d0) + t_4)) * (im_m * t_5)) / t_5)
    else
        tmp = t_2 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * t_0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_1 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_2 = 0.5 * Math.sin(re);
	double t_3 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_1));
	double t_4 = im_m * (im_m * t_3);
	double t_5 = t_4 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 700.0) {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_1)))));
	} else if (im_m <= 3.45e+22) {
		tmp = (((0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))) * (im_m * re)) * (-8.0 + (t_4 * (t_0 * (t_3 * t_3))))) / (4.0 + (t_4 * t_5));
	} else if (im_m <= 1e+43) {
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_4)) * (im_m * t_5)) / t_5);
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * t_0)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
	t_1 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))
	t_2 = 0.5 * math.sin(re)
	t_3 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_1))
	t_4 = im_m * (im_m * t_3)
	t_5 = t_4 - -2.0
	tmp = 0
	if im_m <= 700.0:
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_1)))))
	elif im_m <= 3.45e+22:
		tmp = (((0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))) * (im_m * re)) * (-8.0 + (t_4 * (t_0 * (t_3 * t_3))))) / (4.0 + (t_4 * t_5))
	elif im_m <= 1e+43:
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_4)) * (im_m * t_5)) / t_5)
	else:
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * t_0)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))
	t_1 = Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))
	t_2 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_3 = Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * t_1)))
	t_4 = Float64(im_m * Float64(im_m * t_3))
	t_5 = Float64(t_4 - -2.0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 700.0)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_1))))));
	elseif (im_m <= 3.45e+22)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667))))) * Float64(im_m * re)) * Float64(-8.0 + Float64(t_4 * Float64(t_0 * Float64(t_3 * t_3))))) / Float64(4.0 + Float64(t_4 * t_5)));
	elseif (im_m <= 1e+43)
		tmp = Float64(Float64(t_2 / im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + t_4)) * Float64(im_m * t_5)) / t_5));
	else
		tmp = Float64(t_2 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * t_0))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	t_1 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	t_2 = 0.5 * sin(re);
	t_3 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_1));
	t_4 = im_m * (im_m * t_3);
	t_5 = t_4 - -2.0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 700.0)
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_1)))));
	elseif (im_m <= 3.45e+22)
		tmp = (((0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))) * (im_m * re)) * (-8.0 + (t_4 * (t_0 * (t_3 * t_3))))) / (4.0 + (t_4 * t_5));
	elseif (im_m <= 1e+43)
		tmp = (t_2 / im_m) * (((im_m * (-2.0 + t_4)) * (im_m * t_5)) / t_5);
	else
		tmp = t_2 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * t_0)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$4 - -2.0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 700.0], N[(t$95$2 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.45e+22], N[(N[(N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-8.0 + N[(t$95$4 * N[(t$95$0 * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(4.0 + N[(t$95$4 * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+43], N[(N[(t$95$2 / im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 700

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 95.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0003968253968253968\right) \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

   if 700 < im < 3.4499999999999999e22

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 3.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 27.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 27.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 63.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-8 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)}} \]

   if 3.4499999999999999e22 < im < 1.00000000000000001e43

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 6.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 6.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0003968253968253968\right) \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sin re}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}} \]

   if 1.00000000000000001e43 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{-0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 95.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 700:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.45 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot re\right)\right) \cdot \left(-8 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sin re}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.4% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ t_2 := t\_1 - -2\\ t_3 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 600:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9.5 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im\_m \cdot \left(-2 + t\_1\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot t\_2\right)}{t\_2} \cdot \frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im\_m}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))
        (t_1 (* im_m (* im_m (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m t_0))))))
        (t_2 (- t_1 -2.0))
        (t_3 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 600.0)
      (*
       t_3
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (* (* im_m im_m) (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) t_0))))))
      (if (<= im_m 9.5e+37)
        (*
         (/ (* (* im_m (+ -2.0 t_1)) (* im_m t_2)) t_2)
         (/
          (*
           re
           (+
            0.5
            (*
             (* re re)
             (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667))))))
          im_m))
        (*
         t_3
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              -0.0003968253968253968
              (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))));
	double t_2 = t_1 - -2.0;
	double t_3 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)))));
	} else if (im_m <= 9.5e+37) {
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	} else {
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))
    t_1 = im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * t_0))))
    t_2 = t_1 - (-2.0d0)
    t_3 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 600.0d0) then
        tmp = t_3 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * t_0)))))
    else if (im_m <= 9.5d+37) then
        tmp = (((im_m * ((-2.0d0) + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))) / im_m)
    else
        tmp = t_3 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))));
	double t_2 = t_1 - -2.0;
	double t_3 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)))));
	} else if (im_m <= 9.5e+37) {
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	} else {
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))
	t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))))
	t_2 = t_1 - -2.0
	t_3 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 600.0:
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)))))
	elif im_m <= 9.5e+37:
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m)
	else:
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * t_0)))))
	t_2 = Float64(t_1 - -2.0)
	t_3 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = Float64(t_3 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0))))));
	elseif (im_m <= 9.5e+37)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + t_1)) * Float64(im_m * t_2)) / t_2) * Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667)))))) / im_m));
	else
		tmp = Float64(t_3 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))));
	t_2 = t_1 - -2.0;
	t_3 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)))));
	elseif (im_m <= 9.5e+37)
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	else
		tmp = t_3 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 - -2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 600.0], N[(t$95$3 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9.5e+37], N[(N[(N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$3 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 600

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 95.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0003968253968253968\right) \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

   if 600 < im < 9.4999999999999995e37

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 4.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 43.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 43.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 42.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}} \]

   if 9.4999999999999995e37 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 96.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{-0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 600:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.5 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2} \cdot \frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.3% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ t_2 := t\_1 - -2\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 620:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9.5 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im\_m \cdot \left(-2 + t\_1\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot t\_2\right)}{t\_2} \cdot \frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im\_m}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re)))
        (t_1
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
        (t_2 (- t_1 -2.0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 620.0)
      (*
       t_0
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666))))))
      (if (<= im_m 9.5e+37)
        (*
         (/ (* (* im_m (+ -2.0 t_1)) (* im_m t_2)) t_2)
         (/
          (*
           re
           (+
            0.5
            (*
             (* re re)
             (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667))))))
          im_m))
        (*
         t_0
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              -0.0003968253968253968
              (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	double t_2 = t_1 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 620.0) {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	} else if (im_m <= 9.5e+37) {
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    t_1 = im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    t_2 = t_1 - (-2.0d0)
    if (im_m <= 620.0d0) then
        tmp = t_0 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0))))))
    else if (im_m <= 9.5d+37) then
        tmp = (((im_m * ((-2.0d0) + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))) / im_m)
    else
        tmp = t_0 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	double t_2 = t_1 - -2.0;
	double tmp;
	if (im_m <= 620.0) {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	} else if (im_m <= 9.5e+37) {
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))
	t_2 = t_1 - -2.0
	tmp = 0
	if im_m <= 620.0:
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))))
	elif im_m <= 9.5e+37:
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m)
	else:
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))
	t_2 = Float64(t_1 - -2.0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 620.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
	elseif (im_m <= 9.5e+37)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + t_1)) * Float64(im_m * t_2)) / t_2) * Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667)))))) / im_m));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	t_1 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))));
	t_2 = t_1 - -2.0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 620.0)
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	elseif (im_m <= 9.5e+37)
		tmp = (((im_m * (-2.0 + t_1)) * (im_m * t_2)) / t_2) * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))) / im_m);
	else
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 - -2.0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 620.0], N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9.5e+37], N[(N[(N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 620

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 94.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 620 < im < 9.4999999999999995e37

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 4.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 43.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 43.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 42.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im} \cdot \frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2}} \]

   if 9.4999999999999995e37 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 96.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{-0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 620:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.5 \cdot 10^{+37}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) - -2} \cdot \frac{re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_1 := re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 450:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+62}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) + t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + -0.016666666666666666 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re)))
        (t_1
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 450.0)
      (*
       t_0
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666))))))
      (if (<= im_m 1e+62)
        (+
         (*
          t_1
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))
           (* im_m (* im_m im_m))))
         (* t_1 (* im_m -2.0)))
        (*
         t_0
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (* -0.016666666666666666 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double t_1 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	} else if (im_m <= 1e+62) {
		tmp = (t_1 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_1 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    t_1 = re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))
    if (im_m <= 450.0d0) then
        tmp = t_0 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0))))))
    else if (im_m <= 1d+62) then
        tmp = (t_1 * (((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_1 * (im_m * (-2.0d0)))
    else
        tmp = t_0 * (im_m * ((-2.0d0) + ((-0.016666666666666666d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double t_1 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	} else if (im_m <= 1e+62) {
		tmp = (t_1 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_1 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	t_1 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 450.0:
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))))
	elif im_m <= 1e+62:
		tmp = (t_1 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_1 * (im_m * -2.0))
	else:
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_1 = Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
	elseif (im_m <= 1e+62)
		tmp = Float64(Float64(t_1 * Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))) + Float64(t_1 * Float64(im_m * -2.0)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(-0.016666666666666666 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	t_1 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))));
	elseif (im_m <= 1e+62)
		tmp = (t_1 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_1 * (im_m * -2.0));
	else
		tmp = t_0 * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 450.0], N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+62], N[(N[(t$95$1 * N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(-0.016666666666666666 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 450

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 94.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 450 < im < 1.00000000000000004e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 21.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 21.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 48.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) + \left(im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.00000000000000004e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.016666666666666666}\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + -0.016666666666666666 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.6% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 600:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+62}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + -0.016666666666666666 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 600.0)
      (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
      (if (<= im_m 1e+62)
        (+
         (*
          t_0
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))
           (* im_m (* im_m im_m))))
         (* t_0 (* im_m -2.0)))
        (*
         (* 0.5 (sin re))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (* -0.016666666666666666 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 1e+62) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))
    if (im_m <= 600.0d0) then
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    else if (im_m <= 1d+62) then
        tmp = (t_0 * (((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * (-2.0d0)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((-0.016666666666666666d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 1e+62) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 600.0:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	elif im_m <= 1e+62:
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 1e+62)
		tmp = Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))) + Float64(t_0 * Float64(im_m * -2.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(-0.016666666666666666 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	elseif (im_m <= 1e+62)
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.016666666666666666 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 600.0], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+62], N[(N[(t$95$0 * N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(-0.016666666666666666 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 600

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 88.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 600 < im < 1.00000000000000004e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 21.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 21.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 48.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) + \left(im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.00000000000000004e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.016666666666666666}\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 600:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + -0.016666666666666666 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 91.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 620:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.65 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 620.0)
    (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
    (if (<= im_m 1.65e+95)
      (*
       (* re (+ 0.5 (* re (* re (* (* re re) 0.004166666666666667)))))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.016666666666666666
             (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
      (*
       (* 0.5 (sin re))
       (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 620.0) {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 1.65e+95) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 620.0d0) then
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    else if (im_m <= 1.65d+95) then
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 620.0) {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 1.65e+95) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 620.0:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	elif im_m <= 1.65e+95:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 620.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 1.65e+95)
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 620.0)
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	elseif (im_m <= 1.65e+95)
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 620.0], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.65e+95], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 620

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 88.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 620 < im < 1.6499999999999999e95

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 54.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 59.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{3} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 59.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 59.2%

       \[\leadsto \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.6499999999999999e95 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 620:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.65 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.1% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \sin re\\ t_2 := -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 480:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(-1 + t\_2\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.1 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667)))))))
        (t_1 (* im_m (sin re)))
        (t_2 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 480.0)
      (* t_1 (+ -1.0 t_2))
      (if (<= im_m 2.1e+153)
        (+
         (*
          t_0
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))
           (* im_m (* im_m im_m))))
         (* t_0 (* im_m -2.0)))
        (* t_1 t_2))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double t_1 = im_m * sin(re);
	double t_2 = -0.16666666666666666 * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 480.0) {
		tmp = t_1 * (-1.0 + t_2);
	} else if (im_m <= 2.1e+153) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_1 * t_2;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))
    t_1 = im_m * sin(re)
    t_2 = (-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 480.0d0) then
        tmp = t_1 * ((-1.0d0) + t_2)
    else if (im_m <= 2.1d+153) then
        tmp = (t_0 * (((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * (-2.0d0)))
    else
        tmp = t_1 * t_2
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double t_1 = im_m * Math.sin(re);
	double t_2 = -0.16666666666666666 * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 480.0) {
		tmp = t_1 * (-1.0 + t_2);
	} else if (im_m <= 2.1e+153) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_1 * t_2;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))
	t_1 = im_m * math.sin(re)
	t_2 = -0.16666666666666666 * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 480.0:
		tmp = t_1 * (-1.0 + t_2)
	elif im_m <= 2.1e+153:
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0))
	else:
		tmp = t_1 * t_2
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667))))))
	t_1 = Float64(im_m * sin(re))
	t_2 = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 480.0)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(-1.0 + t_2));
	elseif (im_m <= 2.1e+153)
		tmp = Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))) + Float64(t_0 * Float64(im_m * -2.0)));
	else
		tmp = Float64(t_1 * t_2);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	t_1 = im_m * sin(re);
	t_2 = -0.16666666666666666 * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 480.0)
		tmp = t_1 * (-1.0 + t_2);
	elseif (im_m <= 2.1e+153)
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	else
		tmp = t_1 * t_2;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 480.0], N[(t$95$1 * N[(-1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.1e+153], N[(N[(t$95$0 * N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 480

   1. Initial program 57.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 88.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 480 < im < 2.10000000000000017e153

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 63.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 68.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) + \left(im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \]

   if 2.10000000000000017e153 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 480:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.1 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 89.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.00145:\\ \;\;\;\;0 - t\_1\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667)))))))
        (t_1 (* im_m (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 0.00145)
      (- 0.0 t_1)
      (if (<= im_m 8e+153)
        (+
         (*
          t_0
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.016666666666666666
               (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))
           (* im_m (* im_m im_m))))
         (* t_0 (* im_m -2.0)))
        (* t_1 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double t_1 = im_m * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 0.00145) {
		tmp = 0.0 - t_1;
	} else if (im_m <= 8e+153) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0)))))
    t_1 = im_m * sin(re)
    if (im_m <= 0.00145d0) then
        tmp = 0.0d0 - t_1
    else if (im_m <= 8d+153) then
        tmp = (t_0 * (((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * (-2.0d0)))
    else
        tmp = t_1 * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	double t_1 = im_m * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 0.00145) {
		tmp = 0.0 - t_1;
	} else if (im_m <= 8e+153) {
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	} else {
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))))
	t_1 = im_m * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 0.00145:
		tmp = 0.0 - t_1
	elif im_m <= 8e+153:
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0))
	else:
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667))))))
	t_1 = Float64(im_m * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.00145)
		tmp = Float64(0.0 - t_1);
	elseif (im_m <= 8e+153)
		tmp = Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))) + Float64(t_0 * Float64(im_m * -2.0)));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667)))));
	t_1 = im_m * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.00145)
		tmp = 0.0 - t_1;
	elseif (im_m <= 8e+153)
		tmp = (t_0 * ((-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))) * (im_m * (im_m * im_m)))) + (t_0 * (im_m * -2.0));
	else
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.00145], N[(0.0 - t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 8e+153], N[(N[(t$95$0 * N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.00145

   1. Initial program 57.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} \]

   if 0.00145 < im < 8e153

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 61.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 65.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 65.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) + \left(im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \]

   if 8e153 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 68.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.00145:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 84.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.0024:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.0024)
    (- 0.0 (* im_m (sin re)))
    (*
     (* re (+ 0.5 (* re (* re (* (* re re) 0.004166666666666667)))))
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.016666666666666666
           (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0024) {
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	} else {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.0024d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * sin(re))
    else
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0024) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.0024:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.sin(re))
	else:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.0024)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.0024)
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	else
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.0024], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.00239999999999999979

   1. Initial program 57.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} \]

   if 0.00239999999999999979 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 76.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{3} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 67.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 67.4%

       \[\leadsto \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0024:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 59.1% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* re (+ 0.5 (* re (* re (* (* re re) 0.004166666666666667)))))
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       -0.3333333333333333
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.016666666666666666
         (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((re * (0.5d0 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((re * (0.5 + (re * (re * ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 91.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 60.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in re around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{3} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 60.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 60.1%

    \[\leadsto \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 58.9% accurate, 10.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im\_m}{re \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4.5e+24)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
     (* 0.5 re))
    (if (<= re 1.12e+150)
      (*
       (* im_m im_m)
       (*
        im_m
        (*
         -0.16666666666666666
         (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))
      (/ 1.0 (* (/ re -1.0) (/ im_m (* re (* re (* im_m im_m))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4.5d+24) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))) * (0.5d0 * re)
    else if (re <= 1.12d+150) then
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((re / (-1.0d0)) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4.5e+24:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * re)
	elif re <= 1.12e+150:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	else:
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * Float64(0.5 * re));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(re / -1.0) * Float64(im_m / Float64(re * Float64(re * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * re);
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	else
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.5e+24], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.12e+150], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(re / -1.0), $MachinePrecision] * N[(im$95$m / N[(re * N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 4.50000000000000019e24

   1. Initial program 71.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 91.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   10. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(re \cdot \left(-2 \cdot im + {im}^{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot im + {im}^{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(-2 \cdot im + {im}^{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot im + {im}^{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}\right) \]

   12. Simplified 68.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666\right)\right) + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 4.50000000000000019e24 < re < 1.12e150

   1. Initial program 55.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       4. unpow3 N/A

          \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 37.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.12e150 < re

   1. Initial program 52.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}{\color{blue}{0 + re \cdot im}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)}\right) \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(re \cdot im\right), \color{blue}{\left(0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im + \color{blue}{0}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 + \color{blue}{\left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 \cdot 0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(0 \cdot 0 + \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot im + 0\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 23.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{re \cdot im}{0 - re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\mathsf{neg}\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{-1 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re}{-1} \cdot \color{blue}{\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{re}{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \left(\frac{\color{blue}{im}}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 36.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 58.4% accurate, 10.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im\_m}{re \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4.5e+24)
    (*
     0.5
     (*
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))
      (* im_m re)))
    (if (<= re 1.12e+150)
      (*
       (* im_m im_m)
       (*
        im_m
        (*
         -0.16666666666666666
         (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))
      (/ 1.0 (* (/ re -1.0) (/ im_m (* re (* re (* im_m im_m))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = 0.5 * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))) * (im_m * re));
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4.5d+24) then
        tmp = 0.5d0 * (((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))) * (im_m * re))
    else if (re <= 1.12d+150) then
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((re / (-1.0d0)) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = 0.5 * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))) * (im_m * re));
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4.5e+24:
		tmp = 0.5 * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))) * (im_m * re))
	elif re <= 1.12e+150:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	else:
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))) * Float64(im_m * re)));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(re / -1.0) * Float64(im_m / Float64(re * Float64(re * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = 0.5 * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))) * (im_m * re));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	else
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.5e+24], N[(0.5 * N[(N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.12e+150], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(re / -1.0), $MachinePrecision] * N[(im$95$m / N[(re * N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 4.50000000000000019e24

   1. Initial program 71.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 91.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0003968253968253968\right) \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)\right)} \]

   10. Simplified 68.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666\right)\right) + -0.3333333333333333\right) + -2\right) \cdot \left(im \cdot re\right)\right)} \]

   if 4.50000000000000019e24 < re < 1.12e150

   1. Initial program 55.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       4. unpow3 N/A

          \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 37.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.12e150 < re

   1. Initial program 52.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}{\color{blue}{0 + re \cdot im}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)}\right) \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(re \cdot im\right), \color{blue}{\left(0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im + \color{blue}{0}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 + \color{blue}{\left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 \cdot 0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(0 \cdot 0 + \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot im + 0\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 23.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{re \cdot im}{0 - re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\mathsf{neg}\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{-1 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re}{-1} \cdot \color{blue}{\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{re}{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \left(\frac{\color{blue}{im}}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 36.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.5% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im\_m}{re \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 4.5e+24)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666)))))
     (* 0.5 re))
    (if (<= re 1.12e+150)
      (*
       (* im_m im_m)
       (*
        im_m
        (*
         -0.16666666666666666
         (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))
      (/ 1.0 (* (/ re -1.0) (/ im_m (* re (* re (* im_m im_m))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4.5d+24) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)))))) * (0.5d0 * re)
    else if (re <= 1.12d+150) then
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((re / (-1.0d0)) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 4.5e+24:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))) * (0.5 * re)
	elif re <= 1.12e+150:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	else:
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))) * Float64(0.5 * re));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(re / -1.0) * Float64(im_m / Float64(re * Float64(re * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))) * (0.5 * re);
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	else
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.5e+24], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.12e+150], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(re / -1.0), $MachinePrecision] * N[(im$95$m / N[(re * N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 4.50000000000000019e24

   1. Initial program 71.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 90.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 67.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

   if 4.50000000000000019e24 < re < 1.12e150

   1. Initial program 55.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       4. unpow3 N/A

          \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 37.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.12e150 < re

   1. Initial program 52.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}{\color{blue}{0 + re \cdot im}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)}\right) \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(re \cdot im\right), \color{blue}{\left(0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im + \color{blue}{0}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 + \color{blue}{\left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 \cdot 0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(0 \cdot 0 + \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot im + 0\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 23.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{re \cdot im}{0 - re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\mathsf{neg}\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{-1 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re}{-1} \cdot \color{blue}{\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{re}{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \left(\frac{\color{blue}{im}}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 36.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 55.3% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im\_m}{re \cdot t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* re (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.5e+24)
      (*
       im_m
       (-
        (*
         t_0
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))
        re))
      (if (<= re 1.12e+150)
        (*
         (* im_m im_m)
         (*
          im_m
          (*
           -0.16666666666666666
           (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))
        (/ 1.0 (* (/ re -1.0) (/ im_m (* re t_0)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = im_m * ((t_0 * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * t_0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = re * (im_m * im_m)
    if (re <= 4.5d+24) then
        tmp = im_m * ((t_0 * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))) - re)
    else if (re <= 1.12d+150) then
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((re / (-1.0d0)) * (im_m / (re * t_0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = re * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (re <= 4.5e+24) {
		tmp = im_m * ((t_0 * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * t_0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = re * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if re <= 4.5e+24:
		tmp = im_m * ((t_0 * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re)
	elif re <= 1.12e+150:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	else:
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * t_0)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(re * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(t_0 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(re / -1.0) * Float64(im_m / Float64(re * t_0))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = re * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.5e+24)
		tmp = im_m * ((t_0 * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re);
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	else
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * t_0)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.5e+24], N[(im$95$m * N[(N[(t$95$0 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.12e+150], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(re / -1.0), $MachinePrecision] * N[(im$95$m / N[(re * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 4.50000000000000019e24

   1. Initial program 71.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 68.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   11. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot re}\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right)\right)\right) \]

       4. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) - \color{blue}{re}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{\_.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right), \color{blue}{re}\right)\right) \]

   13. Simplified 65.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - re\right)} \]

   if 4.50000000000000019e24 < re < 1.12e150

   1. Initial program 55.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       4. unpow3 N/A

          \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 37.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.12e150 < re

   1. Initial program 52.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}{\color{blue}{0 + re \cdot im}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)}\right) \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(re \cdot im\right), \color{blue}{\left(0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im + \color{blue}{0}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 + \color{blue}{\left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 \cdot 0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(0 \cdot 0 + \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot im + 0\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 23.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{re \cdot im}{0 - re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\mathsf{neg}\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{-1 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re}{-1} \cdot \color{blue}{\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{re}{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \left(\frac{\color{blue}{im}}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 36.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 53.9% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im\_m}{re \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 1.35e+110)
    (* (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))) (* 0.5 re))
    (if (<= re 1.12e+150)
      (* re (* im_m (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
      (/ 1.0 (* (/ re -1.0) (/ im_m (* re (* re (* im_m im_m))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.35d+110) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0)))) * (0.5d0 * re)
    else if (re <= 1.12d+150) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((re / (-1.0d0)) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.12e+150) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 1.35e+110:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re)
	elif re <= 1.12e+150:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * Float64(0.5 * re));
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(re / -1.0) * Float64(im_m / Float64(re * Float64(re * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	elseif (re <= 1.12e+150)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = 1.0 / ((re / -1.0) * (im_m / (re * (re * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 1.35e+110], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.12e+150], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(re / -1.0), $MachinePrecision] * N[(im$95$m / N[(re * N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 1.35000000000000005e110

   1. Initial program 70.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 85.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   if 1.35000000000000005e110 < re < 1.12e150

   1. Initial program 64.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 39.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 39.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666 + -1\right)\right)} \]

   if 1.12e150 < re

   1. Initial program 52.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}{\color{blue}{0 + re \cdot im}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{0 + re \cdot im}{0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)}\right) \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(re \cdot im\right), \color{blue}{\left(0 \cdot 0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(\color{blue}{0 \cdot 0} - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \color{blue}{\left(re \cdot im\right)} \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im + \color{blue}{0}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 + \color{blue}{\left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \left(0 - \left(0 \cdot 0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(0 \cdot 0 + \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(0 + \left(\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)} + 0 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right) + \color{blue}{0 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot im + 0\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(0 + \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, im\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 23.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{re \cdot im}{0 - re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{\mathsf{neg}\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re \cdot im}{-1 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{re}{-1} \cdot \color{blue}{\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{re}{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{im}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \left(\frac{\color{blue}{im}}{re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 36.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(re, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 56.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.12 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{re}{-1} \cdot \frac{im}{re \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 53.6% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.8 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 1.35e+110)
    (* (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))) (* 0.5 re))
    (if (<= re 2.8e+227)
      (* re (* im_m (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
      (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 2.8e+227) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.35d+110) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0)))) * (0.5d0 * re)
    else if (re <= 2.8d+227) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 2.8e+227) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 1.35e+110:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re)
	elif re <= 2.8e+227:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * Float64(0.5 * re));
	elseif (re <= 2.8e+227)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333))) * (0.5 * re);
	elseif (re <= 2.8e+227)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 1.35e+110], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 2.8e+227], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 1.35000000000000005e110

   1. Initial program 70.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 85.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   if 1.35000000000000005e110 < re < 2.79999999999999984e227

   1. Initial program 61.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 43.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 36.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666 + -1\right)\right)} \]

   if 2.79999999999999984e227 < re

   1. Initial program 47.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 78.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 34.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 34.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 55.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.8 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 50.7% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.8 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 1.35e+110)
      t_0
      (if (<= re 2.8e+227)
        (* re (* im_m (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.8e+227) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    if (re <= 1.35d+110) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.8d+227) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (re <= 1.35e+110) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.8e+227) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	tmp = 0
	if re <= 1.35e+110:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.8e+227:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))))
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.8e+227)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.35e+110)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.8e+227)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 1.35e+110], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.8e+227], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.35000000000000005e110 or 2.79999999999999984e227 < re

   1. Initial program 68.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 53.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.35000000000000005e110 < re < 2.79999999999999984e227

   1. Initial program 61.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 43.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   5. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(im \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 36.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{6}\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666 + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.35 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.8 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 55.3% accurate, 18.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(re \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (-
    (*
     (* re (* im_m im_m))
     (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))
    re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (((re * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (((re * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))) - re))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (((re * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (((re * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(re * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (((re * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))) - re));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(N[(N[(re * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 91.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 91.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

8. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 58.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

10. Simplified 58.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

11. Taylor expanded in im around 0

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot re}\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) - \color{blue}{re}\right)\right) \]

    5. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{\_.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right), \color{blue}{re}\right)\right) \]

13. Simplified 56.1%

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - re\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 22: 50.7% accurate, 28.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (* re (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (re * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right) \]

   11. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   15. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 78.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 78.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 50.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

9. Final simplification 50.2%

   \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 23: 33.5% accurate, 61.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m \cdot re\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 (* im_m re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - (im_m * re));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - (im_m * re))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - (im_m * re));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - (im_m * re))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - Float64(im_m * re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - (im_m * re));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{im}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 49.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \sin re \cdot im} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, im\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 32.8%

   \[\leadsto 0 - \color{blue}{re} \cdot im \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(re \cdot im\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f64 32.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right), re\right) \]

10. Applied egg-rr 32.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

11. Final simplification 32.8%

    \[\leadsto 0 - im \cdot re \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024154 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))