2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.1% → 99.0%

Time: 11.1s

Alternatives: 11

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ t_1 := \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{if}\;t\_0 - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{-0.1388888888888889 \cdot t\_1 + \left(t\_1 \cdot 0.027777777777777776 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t\_0\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))) (t_1 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 0.0)
     (/
      (+
       (* -0.1388888888888889 t_1)
       (+ (* t_1 0.027777777777777776) (* (cbrt x) 0.3333333333333333)))
      x)
     (/
      (+ 1.0 (- x x))
      (+ (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)) (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = ((-0.1388888888888889 * t_1) + ((t_1 * 0.027777777777777776) + (cbrt(x) * 0.3333333333333333))) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)) + cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	double t_1 = Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = ((-0.1388888888888889 * t_1) + ((t_1 * 0.027777777777777776) + (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333))) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)) + Math.cbrt(Math.pow((1.0 + x), 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	t_1 = cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-0.1388888888888889 * t_1) + Float64(Float64(t_1 * 0.027777777777777776) + Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0)) + cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(N[(-0.1388888888888889 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * 0.027777777777777776), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 62.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 69.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 69.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 66.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 99.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 98.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 98.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 98.5%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. +-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

      2. log1p-undefine 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. exp-to-pow 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      4. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

      5. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}\right)} \]

      6. pow-sqr 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)} \]

      7. +-commutative 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      8. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      9. pow1/3 98.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      10. +-commutative 98.9%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      11. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)} \]

      12. pow1/3 98.6%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

      13. pow2 98.6%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

      14. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

      2. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

      4. unpow-prod-down 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

      5. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

      6. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{2}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 98.1%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1/3 98.7%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right)} \]

       2. unpow1/3 98.5%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}}\right)}^{2}\right)} \]

   12. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 98.6%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}^{2}}} \]

       2. cbrt-unprod 98.6%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}}\right)}}^{2}} \]

       3. add-sqr-sqrt 98.8%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}} \]

       4. pow2 98.8%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \]

       5. cbrt-unprod 99.2%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}} \]

       6. pow2 99.2%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

   14. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.027777777777777776 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) (pow (* t_0 t_0) 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((t_0 * t_0), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(t_0 * t_0) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 12.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 12.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 12.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 12.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 12.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. +-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

6. Simplified 93.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

   2. log1p-undefine 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. exp-to-pow 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   4. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}\right)} \]

   6. pow-sqr 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)} \]

   7. +-commutative 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   8. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   9. pow1/3 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   10. +-commutative 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   11. metadata-eval 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)} \]

   12. pow1/3 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

   13. pow2 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

   14. +-commutative 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

   2. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

   4. unpow-prod-down 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{2}\right)} \]

10. Applied egg-rr 93.1%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right)} \]

    2. unpow1/3 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}}\right)}^{2}\right)} \]

12. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}}^{2}\right)} \]

13. Taylor expanded in x around 0 98.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 12.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 12.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 12.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 12.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 12.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 12.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. +-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

6. Simplified 93.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

   2. log1p-undefine 93.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. exp-to-pow 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   4. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}\right)} \]

   6. pow-sqr 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)} \]

   7. +-commutative 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   8. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   9. pow1/3 94.6%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   10. +-commutative 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

   11. metadata-eval 94.6%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)} \]

   12. pow1/3 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

   13. pow2 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

   14. +-commutative 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.4e+154)
   (/
    (+ 1.0 (- x x))
    (+ (* (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))) (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0))))
   (* (/ 1.0 (cbrt x)) (/ (pow (sqrt 0.3333333333333333) 2.0) (cbrt x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.4e+154) {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x)))) + cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	} else {
		tmp = (1.0 / cbrt(x)) * (pow(sqrt(0.3333333333333333), 2.0) / cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.4e+154) {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + Math.cbrt((1.0 + x)))) + Math.cbrt(Math.pow((1.0 + x), 2.0)));
	} else {
		tmp = (1.0 / Math.cbrt(x)) * (Math.pow(Math.sqrt(0.3333333333333333), 2.0) / Math.cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.4e+154)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x)))) + cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / cbrt(x)) * Float64((sqrt(0.3333333333333333) ^ 2.0) / cbrt(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.4e+154], N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.4e154

   1. Initial program 13.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 14.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 14.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 14.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 20.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 20.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 19.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 19.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 19.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 19.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 19.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 19.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 19.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 19.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 94.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-commutative 94.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. +-commutative 94.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 94.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

      2. log1p-undefine 94.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. exp-to-pow 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      4. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

      5. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}\right)} \]

      6. pow-sqr 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)} \]

      7. +-commutative 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      8. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      9. pow1/3 96.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      10. +-commutative 96.1%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)} \]

      11. metadata-eval 96.1%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)} \]

      12. pow1/3 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]

      13. pow2 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

      14. +-commutative 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

      2. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}\right)}}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

      4. unpow-prod-down 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

      5. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(0.16666666666666666 \cdot 2\right)}\right)}^{2}\right)} \]

      6. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{2}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 94.7%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1/3 96.1%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right)} \]

       2. unpow1/3 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}}\right)}^{2}\right)} \]

   12. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\right)}^{2}}} \]

       2. cbrt-unprod 98.5%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}}\right)}}^{2}} \]

       3. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}} \]

       4. pow2 98.4%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \]

       5. cbrt-unprod 98.8%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}} \]

       6. pow2 98.8%

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

   14. Applied egg-rr 98.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

   if 1.4e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 97.6%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 97.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} \]

      2. associate-*l* 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      3. cbrt-div 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      6. cbrt-div 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)\right) \]

      8. un-div-inv 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. unpow2 98.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2e+14)
   (/
    (+ 1.0 (- x x))
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)))
   (* (/ 1.0 (cbrt x)) (/ (pow (sqrt 0.3333333333333333) 2.0) (cbrt x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2e+14) {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	} else {
		tmp = (1.0 / cbrt(x)) * (pow(sqrt(0.3333333333333333), 2.0) / cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+14)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / cbrt(x)) * Float64((sqrt(0.3333333333333333) ^ 2.0) / cbrt(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2e+14], N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2e14

   1. Initial program 66.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 74.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 74.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 71.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.2%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 99.2%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 98.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 98.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 98.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 98.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

      2. log1p-undefine 98.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. exp-to-pow 98.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \left(x - x\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   if 2e14 < x

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   4. Applied egg-rr 4.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 97.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 97.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} \]

      2. associate-*l* 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      3. cbrt-div 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      6. cbrt-div 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)\right) \]

      8. un-div-inv 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. unpow2 98.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 24000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 24000000.0)
   (- (cbrt (* x (+ 1.0 (/ 1.0 x)))) (cbrt x))
   (* (/ 1.0 (cbrt x)) (/ (pow (sqrt 0.3333333333333333) 2.0) (cbrt x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 24000000.0) {
		tmp = cbrt((x * (1.0 + (1.0 / x)))) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = (1.0 / cbrt(x)) * (pow(sqrt(0.3333333333333333), 2.0) / cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 24000000.0) {
		tmp = Math.cbrt((x * (1.0 + (1.0 / x)))) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = (1.0 / Math.cbrt(x)) * (Math.pow(Math.sqrt(0.3333333333333333), 2.0) / Math.cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 24000000.0)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(1.0 / x)))) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / cbrt(x)) * Float64((sqrt(0.3333333333333333) ^ 2.0) / cbrt(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 24000000.0], N[(N[Power[N[(x * N[(1.0 + N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.4e7

   1. Initial program 82.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 82.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 2.4e7 < x

   1. Initial program 5.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   4. Applied egg-rr 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} \]

      2. associate-*l* 97.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right)} \]

      3. cbrt-div 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      4. metadata-eval 97.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. *-commutative 97.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      6. cbrt-div 97.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval 97.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)\right) \]

      8. un-div-inv 97.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 97.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. unpow2 97.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   9. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 24000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 24000000.0)
   (- (cbrt (* x (+ 1.0 (/ 1.0 x)))) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 24000000.0) {
		tmp = cbrt((x * (1.0 + (1.0 / x)))) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 24000000.0) {
		tmp = Math.cbrt((x * (1.0 + (1.0 / x)))) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 24000000.0)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(1.0 / x)))) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 24000000.0], N[(N[Power[N[(x * N[(1.0 + N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.4e7

   1. Initial program 82.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 82.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   if 2.4e7 < x

   1. Initial program 5.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   4. Applied egg-rr 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 96.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 72.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

      3. pow-prod-up 72.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}} \]

      4. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      5. cbrt-div 72.7%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      6. metadata-eval 72.7%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      7. un-div-inv 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      8. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{4}}} \]

   7. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 72.8%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]

      2. sqrt-pow1 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

      3. metadata-eval 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot {\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{2}} \]

      4. pow2 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      5. frac-times 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      6. rem-square-sqrt 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \]

      7. pow2 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   9. Applied egg-rr 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity 97.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

       2. rem-square-sqrt 97.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

       3. unpow2 97.6%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

       4. times-frac 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

       5. *-rgt-identity 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \]

       6. associate-*l/ 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \]

       7. associate-*r/ 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

       8. *-rgt-identity 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       9. associate-*l/ 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       10. associate-*r/ 97.3%

           \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       11. swap-sqr 97.5%

           \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

       12. rem-square-sqrt 97.5%

           \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       13. unpow-1 97.5%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       14. unpow-1 97.5%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}}\right) \]

       15. pow-sqr 97.6%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}} \]

       16. metadata-eval 97.6%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{-2}} \]

   11. Simplified 97.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 85000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 85000000.0)
   (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))
   (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 85000000.0) {
		tmp = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 85000000.0) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 85000000.0)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 85000000.0], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 8.5e7

   1. Initial program 82.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   if 8.5e7 < x

   1. Initial program 5.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow2 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   4. Applied egg-rr 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 96.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 96.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 72.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

      3. pow-prod-up 72.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}} \]

      4. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      5. cbrt-div 72.7%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      6. metadata-eval 72.7%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      7. un-div-inv 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

      8. metadata-eval 72.8%

         \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{4}}} \]

   7. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 72.8%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]

      2. sqrt-pow1 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

      3. metadata-eval 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot {\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{2}} \]

      4. pow2 97.4%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      5. frac-times 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      6. rem-square-sqrt 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \]

      7. pow2 97.6%

         \[\leadsto 1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   9. Applied egg-rr 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity 97.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

       2. rem-square-sqrt 97.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

       3. unpow2 97.6%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

       4. times-frac 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

       5. *-rgt-identity 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \]

       6. associate-*l/ 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \]

       7. associate-*r/ 97.4%

          \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

       8. *-rgt-identity 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       9. associate-*l/ 97.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       10. associate-*r/ 97.3%

           \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       11. swap-sqr 97.5%

           \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

       12. rem-square-sqrt 97.5%

           \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       13. unpow-1 97.5%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

       14. unpow-1 97.5%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}}\right) \]

       15. pow-sqr 97.6%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}} \]

       16. metadata-eval 97.6%

           \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{-2}} \]

   11. Simplified 97.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 85000000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

4. Applied egg-rr 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

5. Taylor expanded in x around inf 94.4%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

   2. sqrt-unprod 71.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

   3. pow-prod-up 70.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}} \]

   4. *-commutative 70.9%

      \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   5. cbrt-div 71.2%

      \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   6. metadata-eval 71.2%

      \[\leadsto \sqrt{{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   7. un-div-inv 71.3%

      \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   8. metadata-eval 71.3%

      \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{4}}} \]

7. Applied egg-rr 71.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 71.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{4}}} \]

   2. sqrt-pow1 94.8%

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

   3. metadata-eval 94.8%

      \[\leadsto 1 \cdot {\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\color{blue}{2}} \]

   4. pow2 94.8%

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   5. frac-times 95.0%

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   6. rem-square-sqrt 95.0%

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \]

   7. pow2 95.0%

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

9. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lft-identity 95.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

    2. rem-square-sqrt 95.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

    3. unpow2 95.0%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

    4. times-frac 94.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}}} \]

    5. *-rgt-identity 94.8%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \]

    6. associate-*l/ 94.8%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \]

    7. associate-*r/ 94.9%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

    8. *-rgt-identity 94.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{0.3333333333333333}}{\sqrt[3]{x}} \cdot 1\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    9. associate-*l/ 94.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot 1}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    10. associate-*r/ 94.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    11. swap-sqr 95.0%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

    12. rem-square-sqrt 95.0%

        \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    13. unpow-1 95.0%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

    14. unpow-1 95.0%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}}\right) \]

    15. pow-sqr 95.0%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}} \]

    16. metadata-eval 95.0%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{-2}} \]

11. Simplified 95.0%

    \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 50.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (cbrt (* (pow x -2.0) 0.037037037037037035)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((Math.pow(x, -2.0) * 0.037037037037037035));
}

Julia

function code(x)
	return cbrt(Float64((x ^ -2.0) * 0.037037037037037035))
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[N[(N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision] * 0.037037037037037035), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow2 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

4. Applied egg-rr 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}\right)}^{2}} \]

5. Taylor expanded in x around inf 94.4%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}}^{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2}} \]

   2. *-commutative 94.4%

      \[\leadsto 1 \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}}^{2} \]

   3. unpow-prod-down 94.7%

      \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}\right)} \]

   4. pow2 94.7%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}\right) \]

   5. rem-square-sqrt 94.7%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^{2}\right) \]

   6. pow2 94.7%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

   7. cbrt-unprod 49.9%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}}\right) \]

   8. inv-pow 49.9%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1}} \cdot \frac{1}{x}}\right) \]

   9. inv-pow 49.9%

      \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-1} \cdot \color{blue}{{x}^{-1}}}\right) \]

   10. pow-prod-up 49.9%

       \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(-1 + -1\right)}}}\right) \]

   11. metadata-eval 49.9%

       \[\leadsto 1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-2}}}\right) \]

7. Applied egg-rr 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]

   2. rem-cbrt-cube 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3}}} \]

   3. *-commutative 49.5%

      \[\leadsto \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot 0.3333333333333333\right)}}^{3}} \]

   4. cube-prod 49.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{x}^{-2}}\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}}} \]

   5. rem-cube-cbrt 49.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}} \cdot {0.3333333333333333}^{3}} \]

   6. metadata-eval 49.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot \color{blue}{0.037037037037037035}} \]

9. Simplified 49.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2} \cdot 0.037037037037037035}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 5.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (cbrt x))

C

double code(double x) {
	return cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return cbrt(x)
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.5%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.5%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.5%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.5%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.5%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.5%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.5%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.5%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.5%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 5.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024152 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (cbrt (+ x 1)) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt x)))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))