Cubic critical

Percentage Accurate: 52.5% → 84.3%

Time: 16.2s

Alternatives: 12

Speedup: 11.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 84.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.5 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -4.5e+28)
   (* (/ b a) -0.6666666666666666)
   (if (<= b 9.5e-96)
     (/ (/ (- (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -3.0)))) b) 3.0) a)
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.5e+28) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 9.5e-96) {
		tmp = ((sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / 3.0) / a;
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-4.5d+28)) then
        tmp = (b / a) * (-0.6666666666666666d0)
    else if (b <= 9.5d-96) then
        tmp = ((sqrt(((b * b) + (c * (a * (-3.0d0))))) - b) / 3.0d0) / a
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.5e+28) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 9.5e-96) {
		tmp = ((Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / 3.0) / a;
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -4.5e+28:
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666
	elif b <= 9.5e-96:
		tmp = ((math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / 3.0) / a
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -4.5e+28)
		tmp = Float64(Float64(b / a) * -0.6666666666666666);
	elseif (b <= 9.5e-96)
		tmp = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -3.0)))) - b) / 3.0) / a);
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -4.5e+28)
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	elseif (b <= 9.5e-96)
		tmp = ((sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / 3.0) / a;
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -4.5e+28], N[(N[(b / a), $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 9.5e-96], N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -4.4999999999999997e28

   1. Initial program 56.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 56.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right), 3\right), a\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}} \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{-2}{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\frac{-2}{3}}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 92.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \frac{-2}{3}\right) \]

   9. Simplified 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666} \]

   if -4.4999999999999997e28 < b < 9.4999999999999993e-96

   1. Initial program 85.7%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 85.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right), 3\right), a\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 85.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}} \]

   if 9.4999999999999993e-96 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 84.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.5 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 4.2 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -4.5e+28)
   (* (/ b a) -0.6666666666666666)
   (if (<= b 4.2e-95)
     (/ (- (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -3.0)))) b) (* a 3.0))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.5e+28) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 4.2e-95) {
		tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-4.5d+28)) then
        tmp = (b / a) * (-0.6666666666666666d0)
    else if (b <= 4.2d-95) then
        tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * (-3.0d0))))) - b) / (a * 3.0d0)
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.5e+28) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 4.2e-95) {
		tmp = (Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -4.5e+28:
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666
	elif b <= 4.2e-95:
		tmp = (math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / (a * 3.0)
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -4.5e+28)
		tmp = Float64(Float64(b / a) * -0.6666666666666666);
	elseif (b <= 4.2e-95)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -3.0)))) - b) / Float64(a * 3.0));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -4.5e+28)
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	elseif (b <= 4.2e-95)
		tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) / (a * 3.0);
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -4.5e+28], N[(N[(b / a), $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 4.2e-95], N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -4.4999999999999997e28

   1. Initial program 56.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 56.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right), 3\right), a\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}} \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{-2}{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\frac{-2}{3}}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 92.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \frac{-2}{3}\right) \]

   9. Simplified 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666} \]

   if -4.4999999999999997e28 < b < 4.2e-95

   1. Initial program 85.7%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 85.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 4.2e-95 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.5 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 4.2 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 84.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.8 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 2 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -4.8e+31)
   (* (/ b a) -0.6666666666666666)
   (if (<= b 2e-95)
     (/ 0.3333333333333333 (/ a (- (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -3.0)))) b)))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.8e+31) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 2e-95) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-4.8d+31)) then
        tmp = (b / a) * (-0.6666666666666666d0)
    else if (b <= 2d-95) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (a / (sqrt(((b * b) + (c * (a * (-3.0d0))))) - b))
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.8e+31) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 2e-95) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -4.8e+31:
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666
	elif b <= 2e-95:
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b))
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -4.8e+31)
		tmp = Float64(Float64(b / a) * -0.6666666666666666);
	elseif (b <= 2e-95)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(a / Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -3.0)))) - b)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -4.8e+31)
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	elseif (b <= 2e-95)
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b));
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -4.8e+31], N[(N[(b / a), $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 2e-95], N[(0.3333333333333333 / N[(a / N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -4.79999999999999965e31

   1. Initial program 56.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 56.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right), 3\right), a\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}} \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{-2}{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\frac{-2}{3}}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 92.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \frac{-2}{3}\right) \]

   9. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666} \]

   if -4.79999999999999965e31 < b < 1.99999999999999998e-95

   1. Initial program 85.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 85.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   if 1.99999999999999998e-95 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 84.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.8 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.6 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -4.8e+31)
   (* (/ b a) -0.6666666666666666)
   (if (<= b 1.6e-95)
     (* (- (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -3.0)))) b) (/ 0.3333333333333333 a))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.8e+31) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 1.6e-95) {
		tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) * (0.3333333333333333 / a);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-4.8d+31)) then
        tmp = (b / a) * (-0.6666666666666666d0)
    else if (b <= 1.6d-95) then
        tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * (-3.0d0))))) - b) * (0.3333333333333333d0 / a)
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -4.8e+31) {
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	} else if (b <= 1.6e-95) {
		tmp = (Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) * (0.3333333333333333 / a);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -4.8e+31:
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666
	elif b <= 1.6e-95:
		tmp = (math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) * (0.3333333333333333 / a)
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -4.8e+31)
		tmp = Float64(Float64(b / a) * -0.6666666666666666);
	elseif (b <= 1.6e-95)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -3.0)))) - b) * Float64(0.3333333333333333 / a));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -4.8e+31)
		tmp = (b / a) * -0.6666666666666666;
	elseif (b <= 1.6e-95)
		tmp = (sqrt(((b * b) + (c * (a * -3.0)))) - b) * (0.3333333333333333 / a);
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -4.8e+31], N[(N[(b / a), $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 1.6e-95], N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -4.79999999999999965e31

   1. Initial program 56.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 56.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right), 3\right), a\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), 3\right), a\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3}}{a}} \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{-2}{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\frac{-2}{3}}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 92.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \frac{-2}{3}\right) \]

   9. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666} \]

   if -4.79999999999999965e31 < b < 1.5999999999999999e-95

   1. Initial program 85.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 85.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   if 1.5999999999999999e-95 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -4.8 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;\frac{b}{a} \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.6 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 80.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.9 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 4.2 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1.9e-97)
   (* b (- (- 0.0 (/ 0.6666666666666666 a)) (* -0.5 (/ (/ c b) b))))
   (if (<= b 4.2e-95)
     (/ (- (sqrt (* a (* c -3.0))) b) (* a 3.0))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.9e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 4.2e-95) {
		tmp = (sqrt((a * (c * -3.0))) - b) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1.9d-97)) then
        tmp = b * ((0.0d0 - (0.6666666666666666d0 / a)) - ((-0.5d0) * ((c / b) / b)))
    else if (b <= 4.2d-95) then
        tmp = (sqrt((a * (c * (-3.0d0)))) - b) / (a * 3.0d0)
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.9e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 4.2e-95) {
		tmp = (Math.sqrt((a * (c * -3.0))) - b) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1.9e-97:
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)))
	elif b <= 4.2e-95:
		tmp = (math.sqrt((a * (c * -3.0))) - b) / (a * 3.0)
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1.9e-97)
		tmp = Float64(b * Float64(Float64(0.0 - Float64(0.6666666666666666 / a)) - Float64(-0.5 * Float64(Float64(c / b) / b))));
	elseif (b <= 4.2e-95)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(a * Float64(c * -3.0))) - b) / Float64(a * 3.0));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1.9e-97)
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	elseif (b <= 4.2e-95)
		tmp = (sqrt((a * (c * -3.0))) - b) / (a * 3.0);
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1.9e-97], N[(b * N[(N[(0.0 - N[(0.6666666666666666 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * N[(N[(c / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 4.2e-95], N[(N[(N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -1.9e-97

   1. Initial program 66.3%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 66.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot b\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b \cdot b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot 1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3}}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(0 - \color{blue}{b}\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 87.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   7. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b} + \frac{0.6666666666666666}{a}\right) \cdot \left(0 - b\right)} \]

   if -1.9e-97 < b < 4.2e-95

   1. Initial program 81.6%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 81.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-3 \cdot c\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -3\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b}{3 \cdot a} \]

   if 4.2e-95 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.9 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 4.2 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 80.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.65 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.8 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1.65e-97)
   (* b (- (- 0.0 (/ 0.6666666666666666 a)) (* -0.5 (/ (/ c b) b))))
   (if (<= b 9.8e-98)
     (/ 0.3333333333333333 (/ a (- (sqrt (* c (* a -3.0))) b)))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.65e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 9.8e-98) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (sqrt((c * (a * -3.0))) - b));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1.65d-97)) then
        tmp = b * ((0.0d0 - (0.6666666666666666d0 / a)) - ((-0.5d0) * ((c / b) / b)))
    else if (b <= 9.8d-98) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (a / (sqrt((c * (a * (-3.0d0)))) - b))
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.65e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 9.8e-98) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (Math.sqrt((c * (a * -3.0))) - b));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1.65e-97:
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)))
	elif b <= 9.8e-98:
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (math.sqrt((c * (a * -3.0))) - b))
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1.65e-97)
		tmp = Float64(b * Float64(Float64(0.0 - Float64(0.6666666666666666 / a)) - Float64(-0.5 * Float64(Float64(c / b) / b))));
	elseif (b <= 9.8e-98)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(a / Float64(sqrt(Float64(c * Float64(a * -3.0))) - b)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1.65e-97)
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	elseif (b <= 9.8e-98)
		tmp = 0.3333333333333333 / (a / (sqrt((c * (a * -3.0))) - b));
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1.65e-97], N[(b * N[(N[(0.0 - N[(0.6666666666666666 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * N[(N[(c / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 9.8e-98], N[(0.3333333333333333 / N[(a / N[(N[Sqrt[N[(c * N[(a * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -1.6500000000000001e-97

   1. Initial program 66.3%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 66.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot b\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b \cdot b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot 1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3}}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(0 - \color{blue}{b}\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 87.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   7. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b} + \frac{0.6666666666666666}{a}\right) \cdot \left(0 - b\right)} \]

   if -1.6500000000000001e-97 < b < 9.80000000000000028e-98

   1. Initial program 81.6%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 81.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 81.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 81.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}\right), b\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(c \cdot a\right) \cdot -3\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(c \cdot \left(-3 \cdot a\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-3 \cdot a\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 74.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 74.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{\color{blue}{c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b}} \]

   if 9.80000000000000028e-98 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.65 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.8 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 80.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.7 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.2 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{a} \cdot \left(\sqrt{-3 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1.7e-97)
   (* b (- (- 0.0 (/ 0.6666666666666666 a)) (* -0.5 (/ (/ c b) b))))
   (if (<= b 9.2e-96)
     (* (/ 0.3333333333333333 a) (- (sqrt (* -3.0 (* a c))) b))
     (/
      0.3333333333333333
      (+
       (/ (* b -0.6666666666666666) c)
       (* a (+ (/ 0.5 b) (* a (* (/ c (* b (* b b))) 0.375)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.7e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 9.2e-96) {
		tmp = (0.3333333333333333 / a) * (sqrt((-3.0 * (a * c))) - b);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1.7d-97)) then
        tmp = b * ((0.0d0 - (0.6666666666666666d0 / a)) - ((-0.5d0) * ((c / b) / b)))
    else if (b <= 9.2d-96) then
        tmp = (0.3333333333333333d0 / a) * (sqrt(((-3.0d0) * (a * c))) - b)
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + (a * ((0.5d0 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1.7e-97) {
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	} else if (b <= 9.2e-96) {
		tmp = (0.3333333333333333 / a) * (Math.sqrt((-3.0 * (a * c))) - b);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1.7e-97:
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)))
	elif b <= 9.2e-96:
		tmp = (0.3333333333333333 / a) * (math.sqrt((-3.0 * (a * c))) - b)
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1.7e-97)
		tmp = Float64(b * Float64(Float64(0.0 - Float64(0.6666666666666666 / a)) - Float64(-0.5 * Float64(Float64(c / b) / b))));
	elseif (b <= 9.2e-96)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 / a) * Float64(sqrt(Float64(-3.0 * Float64(a * c))) - b));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(a * Float64(Float64(c / Float64(b * Float64(b * b))) * 0.375))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1.7e-97)
		tmp = b * ((0.0 - (0.6666666666666666 / a)) - (-0.5 * ((c / b) / b)));
	elseif (b <= 9.2e-96)
		tmp = (0.3333333333333333 / a) * (sqrt((-3.0 * (a * c))) - b);
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + (a * ((0.5 / b) + (a * ((c / (b * (b * b))) * 0.375)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1.7e-97], N[(b * N[(N[(0.0 - N[(0.6666666666666666 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * N[(N[(c / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 9.2e-96], N[(N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[N[(-3.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -1.6999999999999999e-97

   1. Initial program 66.3%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 66.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(b \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot b\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b \cdot b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot 1}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3}}{a}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \left(0 - \color{blue}{b}\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 87.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{2}{3}, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   7. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b} + \frac{0.6666666666666666}{a}\right) \cdot \left(0 - b\right)} \]

   if -1.6999999999999999e-97 < b < 9.2e-96

   1. Initial program 81.6%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 81.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} - b\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 81.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 81.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   7. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}\right), b\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, \left(a \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 73.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   9. Simplified 73.9%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{a} \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{-3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} - b\right) \]

   if 9.2e-96 < b

   1. Initial program 16.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{{b}^{3}} \cdot \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1.7 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(\left(0 - \frac{0.6666666666666666}{a}\right) - -0.5 \cdot \frac{\frac{c}{b}}{b}\right)\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.2 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{a} \cdot \left(\sqrt{-3 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot 0.375\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 67.0% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -2}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1e-310)
   (/ (* b -2.0) (* a 3.0))
   (/ 0.3333333333333333 (+ (/ (* b -0.6666666666666666) c) (/ (* a 0.5) b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + ((a * 0.5) / b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1d-310)) then
        tmp = (b * (-2.0d0)) / (a * 3.0d0)
    else
        tmp = 0.3333333333333333d0 / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / c) + ((a * 0.5d0) / b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + ((a * 0.5) / b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1e-310:
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0)
	else:
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + ((a * 0.5) / b))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1e-310)
		tmp = Float64(Float64(b * -2.0) / Float64(a * 3.0));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / c) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1e-310)
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	else
		tmp = 0.3333333333333333 / (((b * -0.6666666666666666) / c) + ((a * 0.5) / b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1e-310], N[(N[(b * -2.0), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -9.999999999999969e-311

   1. Initial program 70.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 70.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot b\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 72.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot -2}}{3 \cdot a} \]

   if -9.999999999999969e-311 < b

   1. Initial program 33.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{a}{b}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 62.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 62.7%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -2}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 67.4% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -2}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1e-310) (/ (* b -2.0) (* a 3.0)) (/ (* c -0.5) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = (c * -0.5) / b;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1d-310)) then
        tmp = (b * (-2.0d0)) / (a * 3.0d0)
    else
        tmp = (c * (-0.5d0)) / b
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	} else {
		tmp = (c * -0.5) / b;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1e-310:
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0)
	else:
		tmp = (c * -0.5) / b
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1e-310)
		tmp = Float64(Float64(b * -2.0) / Float64(a * 3.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(c * -0.5) / b);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1e-310)
		tmp = (b * -2.0) / (a * 3.0);
	else
		tmp = (c * -0.5) / b;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1e-310], N[(N[(b * -2.0), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -9.999999999999969e-311

   1. Initial program 70.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 70.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot b\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 72.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   7. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot -2}}{3 \cdot a} \]

   if -9.999999999999969e-311 < b

   1. Initial program 33.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 62.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   7. Simplified 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot -2}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 67.4% accurate, 11.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;b \cdot \frac{-0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1e-310) (* b (/ -0.6666666666666666 a)) (/ (* c -0.5) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	} else {
		tmp = (c * -0.5) / b;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1d-310)) then
        tmp = b * ((-0.6666666666666666d0) / a)
    else
        tmp = (c * (-0.5d0)) / b
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	} else {
		tmp = (c * -0.5) / b;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1e-310:
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a)
	else:
		tmp = (c * -0.5) / b
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1e-310)
		tmp = Float64(b * Float64(-0.6666666666666666 / a));
	else
		tmp = Float64(Float64(c * -0.5) / b);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1e-310)
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	else
		tmp = (c * -0.5) / b;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1e-310], N[(b * N[(-0.6666666666666666 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -9.999999999999969e-311

   1. Initial program 70.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 70.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), a\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 72.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right) \]

   7. Simplified 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2}{3}}{a}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-2}{3}}{a} \cdot \color{blue}{b} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3}}{a}\right), \color{blue}{b}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 72.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-2}{3}, a\right), b\right) \]

   9. Applied egg-rr 72.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.6666666666666666}{a} \cdot b} \]

   if -9.999999999999969e-311 < b

   1. Initial program 33.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 62.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   7. Simplified 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;b \cdot \frac{-0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 67.3% accurate, 11.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;b \cdot \frac{-0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;c \cdot \frac{-0.5}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1e-310) (* b (/ -0.6666666666666666 a)) (* c (/ -0.5 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	} else {
		tmp = c * (-0.5 / b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1d-310)) then
        tmp = b * ((-0.6666666666666666d0) / a)
    else
        tmp = c * ((-0.5d0) / b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-310) {
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	} else {
		tmp = c * (-0.5 / b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1e-310:
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a)
	else:
		tmp = c * (-0.5 / b)
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1e-310)
		tmp = Float64(b * Float64(-0.6666666666666666 / a));
	else
		tmp = Float64(c * Float64(-0.5 / b));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1e-310)
		tmp = b * (-0.6666666666666666 / a);
	else
		tmp = c * (-0.5 / b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1e-310], N[(b * N[(-0.6666666666666666 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -9.999999999999969e-311

   1. Initial program 70.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 70.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{\color{blue}{a}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), \color{blue}{a}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), a\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 72.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right) \]

   7. Simplified 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2}{3}}{a}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-2}{3}}{a} \cdot \color{blue}{b} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3}}{a}\right), \color{blue}{b}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 72.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-2}{3}, a\right), b\right) \]

   9. Applied egg-rr 72.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.6666666666666666}{a} \cdot b} \]

   if -9.999999999999969e-311 < b

   1. Initial program 33.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   3. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in c around 0

      \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 46.3%

      \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-0.5}{b}\right)} \]

   8. Taylor expanded in c around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 62.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   10. Simplified 62.4%

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-0.5}{b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;b \cdot \frac{-0.6666666666666666}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;c \cdot \frac{-0.5}{b}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 35.0% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 21.6%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-0.5}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 29.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{b}\right)\right) \]

10. Simplified 29.5%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-0.5}{b}} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024152 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical"
  :precision binary64
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))