Cubic critical, medium range

Percentage Accurate: 31.5% → 99.4%

Time: 19.3s

Alternatives: 11

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < a \land a < 9007199254740992\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < b \land b < 9007199254740992\right)\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < c \land c < 9007199254740992\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 31.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b - b \cdot b\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -3\right) \cdot c}}}{a \cdot 3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (fma (* a -3.0) c (- (* b b) (* b b)))
   (+ b (sqrt (+ (* b b) (* (* a -3.0) c)))))
  (* a 3.0)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (fma((a * -3.0), c, ((b * b) - (b * b))) / (b + sqrt(((b * b) + ((a * -3.0) * c))))) / (a * 3.0);
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(fma(Float64(a * -3.0), c, Float64(Float64(b * b) - Float64(b * b))) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * -3.0) * c))))) / Float64(a * 3.0))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(a * -3.0), $MachinePrecision] * c + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * -3.0), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 29.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}}{3 \cdot a} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right) + b \cdot b\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   2. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(a \cdot -3\right), c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, -\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}{3 \cdot a} \]

9. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b - b \cdot b\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -3\right) \cdot c}}}{a \cdot 3} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\\ \frac{\frac{t\_0}{a \cdot 3}}{b + \sqrt{b \cdot b + t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* a (* -3.0 c))))
   (/ (/ t_0 (* a 3.0)) (+ b (sqrt (+ (* b b) t_0))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = a * (-3.0 * c);
	return (t_0 / (a * 3.0)) / (b + sqrt(((b * b) + t_0)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = a * ((-3.0d0) * c)
    code = (t_0 / (a * 3.0d0)) / (b + sqrt(((b * b) + t_0)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = a * (-3.0 * c);
	return (t_0 / (a * 3.0)) / (b + Math.sqrt(((b * b) + t_0)));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = a * (-3.0 * c)
	return (t_0 / (a * 3.0)) / (b + math.sqrt(((b * b) + t_0)))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(a * Float64(-3.0 * c))
	return Float64(Float64(t_0 / Float64(a * 3.0)) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = a * (-3.0 * c);
	tmp = (t_0 / (a * 3.0)) / (b + sqrt(((b * b) + t_0)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(a * N[(-3.0 * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 29.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}}{3 \cdot a} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right) + b \cdot b\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   2. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(a \cdot -3\right), c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -3\right), c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, -\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}{3 \cdot a} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)}{\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   3. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + \left(\mathsf{neg}\left(0\right)\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right) + 0}{\left(3 \cdot \color{blue}{a}\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   5. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right)}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right)}{3 \cdot a}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot \left(a \cdot -3\right)}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(3 \cdot a\right)\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c\right), \left(3 \cdot a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right), \left(3 \cdot a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-3 \cdot c\right)\right), \left(3 \cdot a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \left(3 \cdot a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \left(a \cdot 3\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)\right) \]

   15. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot a\right) \cdot -3}\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot c\right) \cdot -3}\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-3, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot \left(-3 \cdot c\right)}{a \cdot 3}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(-3 \cdot c\right)}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot b\right)\\ \left(\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)\right)}{t\_0} + \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot t\_0\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b b))))
   (-
    (+
     (/ (* a (* c (* c -0.375))) t_0)
     (*
      (+
       (/ (* c (* -0.5625 (* c c))) (* b (* b t_0)))
       (/ (* (* a -1.0546875) (* c (* c (* c c)))) (* b (* t_0 t_0))))
      (* a a)))
    (/ (* c 0.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (((a * (c * (c * -0.375))) / t_0) + ((((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0)))) * (a * a))) - ((c * 0.5) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * b)
    code = (((a * (c * (c * (-0.375d0)))) / t_0) + ((((c * ((-0.5625d0) * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * (-1.0546875d0)) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0)))) * (a * a))) - ((c * 0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (((a * (c * (c * -0.375))) / t_0) + ((((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0)))) * (a * a))) - ((c * 0.5) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * b)
	return (((a * (c * (c * -0.375))) / t_0) + ((((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0)))) * (a * a))) - ((c * 0.5) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * b))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(a * Float64(c * Float64(c * -0.375))) / t_0) + Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(-0.5625 * Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(b * t_0))) + Float64(Float64(Float64(a * -1.0546875) * Float64(c * Float64(c * Float64(c * c)))) / Float64(b * Float64(t_0 * t_0)))) * Float64(a * a))) - Float64(Float64(c * 0.5) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * b);
	tmp = (((a * (c * (c * -0.375))) / t_0) + ((((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0)))) * (a * a))) - ((c * 0.5) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(a * N[(c * N[(c * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(c * N[(-0.5625 * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(a * -1.0546875), $MachinePrecision] * N[(c * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{81}{64} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + \frac{81}{16} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot a\right) \cdot \frac{{c}^{4} \cdot 6.328125}{{b}^{6}}}{b}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.5625\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(a \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot 6.328125\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

11. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot b\right)\\ a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{t\_0} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot t\_0\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b b))))
   (-
    (*
     a
     (+
      (/ (* c (* c -0.375)) t_0)
      (*
       a
       (+
        (/ (* c (* -0.5625 (* c c))) (* b (* b t_0)))
        (/ (* (* a -1.0546875) (* c (* c (* c c)))) (* b (* t_0 t_0)))))))
    (/ (* c 0.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - ((c * 0.5) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * b)
    code = (a * (((c * (c * (-0.375d0))) / t_0) + (a * (((c * ((-0.5625d0) * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * (-1.0546875d0)) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - ((c * 0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - ((c * 0.5) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * b)
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - ((c * 0.5) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * b))
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * Float64(c * -0.375)) / t_0) + Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * Float64(-0.5625 * Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(b * t_0))) + Float64(Float64(Float64(a * -1.0546875) * Float64(c * Float64(c * Float64(c * c)))) / Float64(b * Float64(t_0 * t_0))))))) - Float64(Float64(c * 0.5) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * b);
	tmp = (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - ((c * 0.5) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(a * N[(N[(N[(c * N[(c * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(N[(c * N[(-0.5625 * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(a * -1.0546875), $MachinePrecision] * N[(c * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{81}{64} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + \frac{81}{16} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot a\right) \cdot \frac{{c}^{4} \cdot 6.328125}{{b}^{6}}}{b}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.5625\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(a \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot 6.328125\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

11. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) \cdot a} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]

12. Final simplification 96.0%

    \[\leadsto a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot b\right)\\ a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{t\_0} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot t\_0\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}\right)\right) - c \cdot \frac{0.5}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b b))))
   (-
    (*
     a
     (+
      (/ (* c (* c -0.375)) t_0)
      (*
       a
       (+
        (/ (* c (* -0.5625 (* c c))) (* b (* b t_0)))
        (/ (* (* a -1.0546875) (* c (* c (* c c)))) (* b (* t_0 t_0)))))))
    (* c (/ 0.5 b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - (c * (0.5 / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * b)
    code = (a * (((c * (c * (-0.375d0))) / t_0) + (a * (((c * ((-0.5625d0) * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * (-1.0546875d0)) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - (c * (0.5d0 / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - (c * (0.5 / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * b)
	return (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - (c * (0.5 / b))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * b))
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * Float64(c * -0.375)) / t_0) + Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * Float64(-0.5625 * Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(b * t_0))) + Float64(Float64(Float64(a * -1.0546875) * Float64(c * Float64(c * Float64(c * c)))) / Float64(b * Float64(t_0 * t_0))))))) - Float64(c * Float64(0.5 / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * b);
	tmp = (a * (((c * (c * -0.375)) / t_0) + (a * (((c * (-0.5625 * (c * c))) / (b * (b * t_0))) + (((a * -1.0546875) * (c * (c * (c * c)))) / (b * (t_0 * t_0))))))) - (c * (0.5 / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(a * N[(N[(N[(c * N[(c * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(N[(c * N[(-0.5625 * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(a * -1.0546875), $MachinePrecision] * N[(c * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c * N[(0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{81}{64} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + \frac{81}{16} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot a\right) \cdot \frac{{c}^{4} \cdot 6.328125}{{b}^{6}}}{b}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.5625\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(a \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot 6.328125\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

11. Applied egg-rr 95.6%

    \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \frac{\left(a \cdot -1.0546875\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - c \cdot \frac{0.5}{b}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.7% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \cdot \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(-0.375 + \frac{-0.5625 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (*
   a
   (/ (* (* c c) (+ -0.375 (/ (* -0.5625 (* a c)) (* b b)))) (* b (* b b))))
  (/ (* c 0.5) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((c * c) * (-0.375 + ((-0.5625 * (a * c)) / (b * b)))) / (b * (b * b)))) - ((c * 0.5) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (((c * c) * ((-0.375d0) + (((-0.5625d0) * (a * c)) / (b * b)))) / (b * (b * b)))) - ((c * 0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((c * c) * (-0.375 + ((-0.5625 * (a * c)) / (b * b)))) / (b * (b * b)))) - ((c * 0.5) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * (((c * c) * (-0.375 + ((-0.5625 * (a * c)) / (b * b)))) / (b * (b * b)))) - ((c * 0.5) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * c) * Float64(-0.375 + Float64(Float64(-0.5625 * Float64(a * c)) / Float64(b * b)))) / Float64(b * Float64(b * b)))) - Float64(Float64(c * 0.5) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * (((c * c) * (-0.375 + ((-0.5625 * (a * c)) / (b * b)))) / (b * (b * b)))) - ((c * 0.5) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(-0.375 + N[(N[(-0.5625 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{81}{64} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + \frac{81}{16} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot a\right) \cdot \frac{{c}^{4} \cdot 6.328125}{{b}^{6}}}{b}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.5625\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(a \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot 6.328125\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right), b\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{3}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    7. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    17. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    20. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    21. *-lowering-*.f64 94.7%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

12. Simplified 94.7%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot b} + -0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]

13. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({c}^{2} \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{3}{8}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({c}^{2}\right), \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot c\right), \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 94.7%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \frac{-3}{8}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right) \]

15. Simplified 94.7%

    \[\leadsto a \cdot \frac{\color{blue}{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -0.375\right)}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]

16. Final simplification 94.7%

    \[\leadsto a \cdot \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(-0.375 + \frac{-0.5625 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.6% accurate, 6.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (+ (/ (* c -0.5) b) (/ (* -0.375 (* c (* a c))) (* b (* b b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-0.5d0)) / b) + (((-0.375d0) * (c * (a * c))) / (b * (b * b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -0.5) / b) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(c * Float64(a * c))) / Float64(b * Float64(b * b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(c * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \left(a \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right) \cdot \frac{-3}{8} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \color{blue}{\left(\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \frac{-3}{8}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \color{blue}{\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{b}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\left(a \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}}\right)\right) \]

   12. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \frac{-3}{8}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}}\right)\right) \]

   14. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 92.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} \]

8. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.6% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (* c -0.5) (/ (* -0.375 (* c (* a c))) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-0.5d0)) + (((-0.375d0) * (c * (a * c))) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -0.5) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(c * Float64(a * c))) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(c * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left({c}^{2} \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(\left(c \cdot c\right) \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 92.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

7. Simplified 92.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

8. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot b}}{b} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.5% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot \left(-0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* c (+ -0.5 (/ (* -0.375 (* a c)) (* b b)))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-0.5 + ((-0.375 * (a * c)) / (b * b)))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * ((-0.5d0) + (((-0.375d0) * (a * c)) / (b * b)))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-0.5 + ((-0.375 * (a * c)) / (b * b)))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * (-0.5 + ((-0.375 * (a * c)) / (b * b)))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * Float64(-0.5 + Float64(Float64(-0.375 * Float64(a * c)) / Float64(b * b)))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * (-0.5 + ((-0.375 * (a * c)) / (b * b)))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * N[(-0.5 + N[(N[(-0.375 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{81}{64} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + \frac{81}{16} \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + a \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{\left(-0.5625 \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot a\right) \cdot \frac{{c}^{4} \cdot 6.328125}{{b}^{6}}}{b}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot -0.375\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + a \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot -0.5625\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(a \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot 6.328125\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right)\right) - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot c}{b}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot c}{b} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2} \cdot c}{b} \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2} \cdot c\right), b\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot c\right)\right), b\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 92.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, c\right)\right), b\right) \]

12. Simplified 92.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot b} + -0.5 \cdot c}{b}} \]

13. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)}, b\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right), b\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), b\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 92.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

15. Simplified 92.0%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -0.5\right)}}{b} \]

16. Final simplification 92.0%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 10: 81.2% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (* c -0.5) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-0.5d0)) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -0.5) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -0.5) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -0.5) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 82.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 82.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 81.0% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 28.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 28.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 28.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 82.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 82.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{b}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot \color{blue}{c} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \color{blue}{c}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 82.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), c\right) \]

9. Applied egg-rr 82.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 82.6%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024152 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.1102230246251565e-16 a) (< a 9007199254740992.0)) (and (< 1.1102230246251565e-16 b) (< b 9007199254740992.0))) (and (< 1.1102230246251565e-16 c) (< c 9007199254740992.0)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))