Hyperbolic arc-(co)tangent

Percentage Accurate: 8.4% → 100.0%

Time: 13.9s

Alternatives: 9

Speedup: 111.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ 1.0 2.0) (log (/ (+ 1.0 x) (- 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / 2.0) * log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / 2.0d0) * log(((1.0d0 + x) / (1.0d0 - x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / 2.0) * Math.log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / 2.0) * math.log(((1.0 + x) / (1.0 - x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / 2.0) * log(Float64(Float64(1.0 + x) / Float64(1.0 - x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / 2.0) * log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Log[N[(N[(1.0 + x), $MachinePrecision] / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 8.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ 1.0 2.0) (log (/ (+ 1.0 x) (- 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / 2.0) * log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / 2.0d0) * log(((1.0d0 + x) / (1.0d0 - x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / 2.0) * Math.log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / 2.0) * math.log(((1.0 + x) / (1.0 - x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / 2.0) * log(Float64(Float64(1.0 + x) / Float64(1.0 - x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / 2.0) * log(((1.0 + x) / (1.0 - x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Log[N[(N[(1.0 + x), $MachinePrecision] / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) - \mathsf{log1p}\left(0 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.5 (- (log1p x) (log1p (- 0.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 0.5 * (log1p(x) - log1p((0.0 - x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 * (Math.log1p(x) - Math.log1p((0.0 - x)));
}

Python

def code(x):
	return 0.5 * (math.log1p(x) - math.log1p((0.0 - x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 * Float64(log1p(x) - log1p(Float64(0.0 - x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * N[(N[Log[1 + x], $MachinePrecision] - N[Log[1 + N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. log-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\log \left(1 + x\right) - \color{blue}{\log \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\log \left(1 + x\right), \color{blue}{\log \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   3. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   4. log1p-lowering-log1p.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \log \color{blue}{\left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   5. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 21.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 21.2%

   \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) - \log \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. log1p-lowering-log1p.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(x\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) - \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0 - x\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\\ \frac{x \cdot \left(1 + t\_0 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 + t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \frac{x \cdot \left(0.04 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.02040816326530612\right)}{0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285}\right) + -1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+
           0.3333333333333333
           (* x (* x (+ 0.2 (* x (* x 0.14285714285714285)))))))))
   (/
    (*
     x
     (+
      1.0
      (*
       t_0
       (*
        (* (* x x) (* x x))
        (+ 0.1111111111111111 (* (* x x) 0.13333333333333333))))))
    (+
     1.0
     (*
      t_0
      (+
       (*
        (* x x)
        (+
         0.3333333333333333
         (*
          x
          (/
           (* x (- 0.04 (* (* x (* x (* x x))) 0.02040816326530612)))
           (+ 0.2 (* (* x x) 0.14285714285714285))))))
       -1.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * ((x * (0.04 - ((x * (x * (x * x))) * 0.02040816326530612))) / (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))) + -1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + (x * (x * 0.14285714285714285d0))))))
    code = (x * (1.0d0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111d0 + ((x * x) * 0.13333333333333333d0)))))) / (1.0d0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * ((x * (0.04d0 - ((x * (x * (x * x))) * 0.02040816326530612d0))) / (0.2d0 + ((x * x) * 0.14285714285714285d0)))))) + (-1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * ((x * (0.04 - ((x * (x * (x * x))) * 0.02040816326530612))) / (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))) + -1.0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * ((x * (0.04 - ((x * (x * (x * x))) * 0.02040816326530612))) / (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))) + -1.0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(x * Float64(x * 0.14285714285714285)))))))
	return Float64(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(0.1111111111111111 + Float64(Float64(x * x) * 0.13333333333333333)))))) / Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(0.04 - Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * 0.02040816326530612))) / Float64(0.2 + Float64(Float64(x * x) * 0.14285714285714285)))))) + -1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	tmp = (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * ((x * (0.04 - ((x * (x * (x * x))) * 0.02040816326530612))) / (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))) + -1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(x * N[(x * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(x * N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(N[(x * N[(0.04 - N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.02040816326530612), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.2 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot x \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) - 1\right)}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left({x}^{2} \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 100.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)}\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) - 1\right)} \]

14. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.04 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.02040816326530612\right) \cdot x}{0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285}}\right) - 1\right)} \]

15. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \frac{x \cdot \left(0.04 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.02040816326530612\right)}{0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285}\right) + -1\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\\ \frac{x \cdot \left(1 + t\_0 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 + t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.2\right)\right) + -1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+
           0.3333333333333333
           (* x (* x (+ 0.2 (* x (* x 0.14285714285714285)))))))))
   (/
    (*
     x
     (+
      1.0
      (*
       t_0
       (*
        (* (* x x) (* x x))
        (+ 0.1111111111111111 (* (* x x) 0.13333333333333333))))))
    (+
     1.0
     (* t_0 (+ (* (* x x) (+ 0.3333333333333333 (* x (* x 0.2)))) -1.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * 0.2)))) + -1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + (x * (x * 0.14285714285714285d0))))))
    code = (x * (1.0d0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111d0 + ((x * x) * 0.13333333333333333d0)))))) / (1.0d0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * 0.2d0)))) + (-1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * 0.2)))) + -1.0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))
	return (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * 0.2)))) + -1.0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(x * Float64(x * 0.14285714285714285)))))))
	return Float64(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(0.1111111111111111 + Float64(Float64(x * x) * 0.13333333333333333)))))) / Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.2)))) + -1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))));
	tmp = (x * (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (x * x)) * (0.1111111111111111 + ((x * x) * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 + (t_0 * (((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * 0.2)))) + -1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(x * N[(x * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(x * N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot x \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) - 1\right)}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left({x}^{2} \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 100.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)}\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) - 1\right)} \]

13. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.2\right)}\right) - 1\right)} \]

16. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.2\right)\right) + -1\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.8% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     0.3333333333333333
     (* x (* x (+ 0.2 (* (* x x) 0.14285714285714285)))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + ((x * x) * 0.14285714285714285d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(Float64(x * x) * 0.14285714285714285))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.7% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ x (* (* x x) (* x (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.2))))))

C

double code(double x) {
	return x + ((x * x) * (x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x * x) * (x * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.2d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((x * x) * (x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Python

def code(x):
	return x + ((x * x) * (x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x * x) * (x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + \color{blue}{1 \cdot x} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + x \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right) \cdot x\right)\right), x\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

9. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) + x} \]

10. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.7% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.2))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.2d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.6% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (* x x) (* x 0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return x + ((x * x) * (x * 0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x * x) * (x * 0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((x * x) * (x * 0.3333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return x + ((x * x) * (x * 0.3333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64(x * x) * Float64(x * 0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x * x) * (x * 0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + \color{blue}{1 \cdot x} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + x \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right) \cdot x\right)\right), x\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

9. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) + x} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot x\right)}\right), x\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \frac{1}{3}\right)\right), x\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{3}\right)\right), x\right) \]

12. Simplified 99.8%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + x \]

13. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.6% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 99.1% accurate, 111.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 8.7%

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \color{blue}{\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 8.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024152 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic arc-(co)tangent"
  :precision binary64
  (* (/ 1.0 2.0) (log (/ (+ 1.0 x) (- 1.0 x)))))