Hyperbolic arcsine

Percentage Accurate: 18.1% → 99.6%

Time: 10.1s

Alternatives: 6

Speedup: 207.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return log((x + sqrt(((x * x) + 1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((x + sqrt(((x * x) + 1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((x + Math.sqrt(((x * x) + 1.0))));
}

Python

def code(x):
	return math.log((x + math.sqrt(((x * x) + 1.0))))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(x + sqrt(Float64(Float64(x * x) + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((x + sqrt(((x * x) + 1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(x + N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 18.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return log((x + sqrt(((x * x) + 1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((x + sqrt(((x * x) + 1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((x + Math.sqrt(((x * x) + 1.0))));
}

Python

def code(x):
	return math.log((x + math.sqrt(((x * x) + 1.0))))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(x + sqrt(Float64(Float64(x * x) + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((x + sqrt(((x * x) + 1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(x + N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -1.25:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\frac{0.125}{x \cdot x} + \left(-0.5 + \frac{-0.0625}{t\_0}\right)}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1 - t\_0 \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x (* x x)))))
   (if (<= x -1.25)
     (log (/ (+ (/ 0.125 (* x x)) (+ -0.5 (/ -0.0625 t_0))) x))
     (if (<= x 1.25)
       (*
        x
        (/
         (- 1.0 (* t_0 (+ 0.027777777777777776 (* (* x x) -0.025))))
         (-
          1.0
          (*
           (* x x)
           (+
            -0.16666666666666666
            (* (* x x) (+ 0.075 (* x (* x -0.044642857142857144)))))))))
       (log (+ (* x 2.0) (/ 0.5 x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (x * x));
	double tmp;
	if (x <= -1.25) {
		tmp = log((((0.125 / (x * x)) + (-0.5 + (-0.0625 / t_0))) / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - (t_0 * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * (x * x))
    if (x <= (-1.25d0)) then
        tmp = log((((0.125d0 / (x * x)) + ((-0.5d0) + ((-0.0625d0) / t_0))) / x))
    else if (x <= 1.25d0) then
        tmp = x * ((1.0d0 - (t_0 * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * (-0.025d0))))) / (1.0d0 - ((x * x) * ((-0.16666666666666666d0) + ((x * x) * (0.075d0 + (x * (x * (-0.044642857142857144d0)))))))))
    else
        tmp = log(((x * 2.0d0) + (0.5d0 / x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (x * x));
	double tmp;
	if (x <= -1.25) {
		tmp = Math.log((((0.125 / (x * x)) + (-0.5 + (-0.0625 / t_0))) / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - (t_0 * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = Math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * (x * x))
	tmp = 0
	if x <= -1.25:
		tmp = math.log((((0.125 / (x * x)) + (-0.5 + (-0.0625 / t_0))) / x))
	elif x <= 1.25:
		tmp = x * ((1.0 - (t_0 * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))))
	else:
		tmp = math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.25)
		tmp = log(Float64(Float64(Float64(0.125 / Float64(x * x)) + Float64(-0.5 + Float64(-0.0625 / t_0))) / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * -0.025)))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.075 + Float64(x * Float64(x * -0.044642857142857144)))))))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.5 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * (x * x));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.25)
		tmp = log((((0.125 / (x * x)) + (-0.5 + (-0.0625 / t_0))) / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = x * ((1.0 - (t_0 * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	else
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1.25], N[Log[N[(N[(N[(0.125 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.5 + N[(-0.0625 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.25], N[(x * N[(N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.025), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.075 + N[(x * N[(x * -0.044642857142857144), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.25

   1. Initial program 3.4%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{4}}\right) - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{4}}\right) - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}{x}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{4}}\right) - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{\frac{0.125}{x \cdot x} + \left(-0.5 + \frac{-0.0625}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}{x}\right)} \]

   if -1.25 < x < 1.25

   1. Initial program 6.5%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   if 1.25 < x

   1. Initial program 53.0%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(2 \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{1 \cdot x}}{x}\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      13. *-inverses N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.35:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\frac{0.125}{x \cdot x} + -0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.35)
   (log (/ (+ (/ 0.125 (* x x)) -0.5) x))
   (if (<= x 1.25)
     (*
      x
      (/
       (-
        1.0
        (* (* x (* x (* x x))) (+ 0.027777777777777776 (* (* x x) -0.025))))
       (-
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          -0.16666666666666666
          (* (* x x) (+ 0.075 (* x (* x -0.044642857142857144)))))))))
     (log (+ (* x 2.0) (/ 0.5 x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.35) {
		tmp = log((((0.125 / (x * x)) + -0.5) / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.35d0)) then
        tmp = log((((0.125d0 / (x * x)) + (-0.5d0)) / x))
    else if (x <= 1.25d0) then
        tmp = x * ((1.0d0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * (-0.025d0))))) / (1.0d0 - ((x * x) * ((-0.16666666666666666d0) + ((x * x) * (0.075d0 + (x * (x * (-0.044642857142857144d0)))))))))
    else
        tmp = log(((x * 2.0d0) + (0.5d0 / x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.35) {
		tmp = Math.log((((0.125 / (x * x)) + -0.5) / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = Math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.35:
		tmp = math.log((((0.125 / (x * x)) + -0.5) / x))
	elif x <= 1.25:
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))))
	else:
		tmp = math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.35)
		tmp = log(Float64(Float64(Float64(0.125 / Float64(x * x)) + -0.5) / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * -0.025)))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.075 + Float64(x * Float64(x * -0.044642857142857144)))))))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.5 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.35)
		tmp = log((((0.125 / (x * x)) + -0.5) / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	else
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.35], N[Log[N[(N[(N[(0.125 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.5), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.25], N[(x * N[(N[(1.0 - N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.025), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.075 + N[(x * N[(x * -0.044642857142857144), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.3500000000000001

   1. Initial program 3.4%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}{x}\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}{x}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}\right)\right)}{x}\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}{x}\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}{x}\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{1}{2}}{x}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{1}{2}\right), x\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{-1}{2}\right), x\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right) \]

      13. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{-0.5 + \frac{0.125}{x \cdot x}}{x}\right)} \]

   if -1.3500000000000001 < x < 1.25

   1. Initial program 6.5%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   if 1.25 < x

   1. Initial program 53.0%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(2 \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{1 \cdot x}}{x}\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      13. *-inverses N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.35:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\frac{0.125}{x \cdot x} + -0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{-0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.65)
   (log (/ -0.5 x))
   (if (<= x 1.25)
     (*
      x
      (/
       (-
        1.0
        (* (* x (* x (* x x))) (+ 0.027777777777777776 (* (* x x) -0.025))))
       (-
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          -0.16666666666666666
          (* (* x x) (+ 0.075 (* x (* x -0.044642857142857144)))))))))
     (log (+ (* x 2.0) (/ 0.5 x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = log((-0.5 / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.65d0)) then
        tmp = log(((-0.5d0) / x))
    else if (x <= 1.25d0) then
        tmp = x * ((1.0d0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * (-0.025d0))))) / (1.0d0 - ((x * x) * ((-0.16666666666666666d0) + ((x * x) * (0.075d0 + (x * (x * (-0.044642857142857144d0)))))))))
    else
        tmp = log(((x * 2.0d0) + (0.5d0 / x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = Math.log((-0.5 / x));
	} else if (x <= 1.25) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = Math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.65:
		tmp = math.log((-0.5 / x))
	elif x <= 1.25:
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))))
	else:
		tmp = math.log(((x * 2.0) + (0.5 / x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.65)
		tmp = log(Float64(-0.5 / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * -0.025)))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.075 + Float64(x * Float64(x * -0.044642857142857144)))))))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.5 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.65)
		tmp = log((-0.5 / x));
	elseif (x <= 1.25)
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	else
		tmp = log(((x * 2.0) + (0.5 / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.65], N[Log[N[(-0.5 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.25], N[(x * N[(N[(1.0 - N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.025), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.075 + N[(x * N[(x * -0.044642857142857144), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.6499999999999999

   1. Initial program 3.4%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{x}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, x\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{-0.5}{x}\right)} \]

   if -1.6499999999999999 < x < 1.25

   1. Initial program 6.5%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   if 1.25 < x

   1. Initial program 53.0%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(2 \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot x}{1 \cdot x}}{x}\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x}\right)\right)\right) \]

      13. *-inverses N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(x \cdot 2 + \frac{0.5}{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{-0.5}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.65:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.65)
   (log (/ -0.5 x))
   (if (<= x 1.65)
     (*
      x
      (/
       (-
        1.0
        (* (* x (* x (* x x))) (+ 0.027777777777777776 (* (* x x) -0.025))))
       (-
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          -0.16666666666666666
          (* (* x x) (+ 0.075 (* x (* x -0.044642857142857144)))))))))
     (log (+ x x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = log((-0.5 / x));
	} else if (x <= 1.65) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = log((x + x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.65d0)) then
        tmp = log(((-0.5d0) / x))
    else if (x <= 1.65d0) then
        tmp = x * ((1.0d0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * (-0.025d0))))) / (1.0d0 - ((x * x) * ((-0.16666666666666666d0) + ((x * x) * (0.075d0 + (x * (x * (-0.044642857142857144d0)))))))))
    else
        tmp = log((x + x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = Math.log((-0.5 / x));
	} else if (x <= 1.65) {
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	} else {
		tmp = Math.log((x + x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.65:
		tmp = math.log((-0.5 / x))
	elif x <= 1.65:
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))))
	else:
		tmp = math.log((x + x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.65)
		tmp = log(Float64(-0.5 / x));
	elseif (x <= 1.65)
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * -0.025)))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.075 + Float64(x * Float64(x * -0.044642857142857144)))))))));
	else
		tmp = log(Float64(x + x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.65)
		tmp = log((-0.5 / x));
	elseif (x <= 1.65)
		tmp = x * ((1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.027777777777777776 + ((x * x) * -0.025)))) / (1.0 - ((x * x) * (-0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.075 + (x * (x * -0.044642857142857144))))))));
	else
		tmp = log((x + x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.65], N[Log[N[(-0.5 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.65], N[(x * N[(N[(1.0 - N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.025), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.075 + N[(x * N[(x * -0.044642857142857144), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(x + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.6499999999999999

   1. Initial program 3.4%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{x}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, x\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{-0.5}{x}\right)} \]

   if -1.6499999999999999 < x < 1.6499999999999999

   1. Initial program 6.5%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{3}{40} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{3}{40}} + \frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{112} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-5}{112}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{3}{40} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-5}{112}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{40} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{40}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{40}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 99.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.025\right)}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.075 + x \cdot \left(x \cdot -0.044642857142857144\right)\right)\right)} \]

   if 1.6499999999999999 < x

   1. Initial program 53.0%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \log \left(x + \color{blue}{x}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 75.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.26:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 1.26) x (log (+ x x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.26) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = log((x + x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.26d0) then
        tmp = x
    else
        tmp = log((x + x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.26) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = Math.log((x + x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.26:
		tmp = x
	else:
		tmp = math.log((x + x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.26)
		tmp = x;
	else
		tmp = log(Float64(x + x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.26)
		tmp = x;
	else
		tmp = log((x + x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.26], x, N[Log[N[(x + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.26000000000000001

   1. Initial program 5.4%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 5.8%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 1.26000000000000001 < x

   1. Initial program 53.0%

      \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

      4. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \log \left(x + \color{blue}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 52.3% accurate, 207.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\log \left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\left(x + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. hypot-1-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. hypot-lowering-hypot.f64 30.1%

      \[\leadsto \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(x + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 49.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
8. Add Preprocessing

Developer Target 1: 30.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{x \cdot x + 1}\\ \mathbf{if}\;x < 0:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{-1}{x - t\_0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x + t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (+ (* x x) 1.0))))
   (if (< x 0.0) (log (/ -1.0 (- x t_0))) (log (+ x t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt(((x * x) + 1.0));
	double tmp;
	if (x < 0.0) {
		tmp = log((-1.0 / (x - t_0)));
	} else {
		tmp = log((x + t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(((x * x) + 1.0d0))
    if (x < 0.0d0) then
        tmp = log(((-1.0d0) / (x - t_0)))
    else
        tmp = log((x + t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sqrt(((x * x) + 1.0));
	double tmp;
	if (x < 0.0) {
		tmp = Math.log((-1.0 / (x - t_0)));
	} else {
		tmp = Math.log((x + t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sqrt(((x * x) + 1.0))
	tmp = 0
	if x < 0.0:
		tmp = math.log((-1.0 / (x - t_0)))
	else:
		tmp = math.log((x + t_0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(Float64(Float64(x * x) + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (x < 0.0)
		tmp = log(Float64(-1.0 / Float64(x - t_0)));
	else
		tmp = log(Float64(x + t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sqrt(((x * x) + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (x < 0.0)
		tmp = log((-1.0 / (x - t_0)));
	else
		tmp = log((x + t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Less[x, 0.0], N[Log[N[(-1.0 / N[(x - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Log[N[(x + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024152 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic arcsine"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< x 0) (log (/ -1 (- x (sqrt (+ (* x x) 1))))) (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1))))))

  (log (+ x (sqrt (+ (* x x) 1.0)))))