Octave 3.8, oct_fill_randg

Percentage Accurate: 99.7% → 99.8%

Time: 17.5s

Alternatives: 12

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t\_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t\_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t\_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t\_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ a -0.3333333333333333) (+ 1.0 (/ rand (sqrt (fma a 9.0 -3.0))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt(fma(a, 9.0, -3.0))));
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(fma(a, 9.0, -3.0)))))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(a * 9.0 + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 91.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.95 \cdot 10^{+95} \lor \neg \left(rand \leq 1.35 \cdot 10^{+109}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -1.95e+95) (not (<= rand 1.35e+109)))
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.95e+95) || !(rand <= 1.35e+109)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-1.95d+95)) .or. (.not. (rand <= 1.35d+109))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.95e+95) || !(rand <= 1.35e+109)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -1.95e+95) or not (rand <= 1.35e+109):
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -1.95e+95) || !(rand <= 1.35e+109))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -1.95e+95) || ~((rand <= 1.35e+109)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -1.95e+95], N[Not[LessEqual[rand, 1.35e+109]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -1.9499999999999999e95 or 1.35000000000000001e109 < rand

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around inf 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   if -1.9499999999999999e95 < rand < 1.35000000000000001e109

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.95 \cdot 10^{+95} \lor \neg \left(rand \leq 1.35 \cdot 10^{+109}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 91.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -9.2 \cdot 10^{+97} \lor \neg \left(rand \leq 1.6 \cdot 10^{+109}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -9.2e+97) (not (<= rand 1.6e+109)))
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt a)))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -9.2e+97) || !(rand <= 1.6e+109)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-9.2d+97)) .or. (.not. (rand <= 1.6d+109))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt(a))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -9.2e+97) || !(rand <= 1.6e+109)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt(a));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -9.2e+97) or not (rand <= 1.6e+109):
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt(a))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -9.2e+97) || !(rand <= 1.6e+109))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(a)));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -9.2e+97) || ~((rand <= 1.6e+109)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -9.2e+97], N[Not[LessEqual[rand, 1.6e+109]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[a], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -9.20000000000000022e97 or 1.6000000000000001e109 < rand

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.7%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.7%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in a around inf 97.9%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]

   9. Taylor expanded in a around 0 94.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]

   if -9.20000000000000022e97 < rand < 1.6000000000000001e109

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -9.2 \cdot 10^{+97} \lor \neg \left(rand \leq 1.6 \cdot 10^{+109}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 700000000000:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot {a}^{0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (<= a 700000000000.0)
   (- a 0.3333333333333333)
   (+ a (* (* rand 0.3333333333333333) (pow a 0.5)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + ((rand * 0.3333333333333333) * pow(a, 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if (a <= 700000000000.0d0) then
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    else
        tmp = a + ((rand * 0.3333333333333333d0) * (a ** 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + ((rand * 0.3333333333333333) * Math.pow(a, 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if a <= 700000000000.0:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	else:
		tmp = a + ((rand * 0.3333333333333333) * math.pow(a, 0.5))
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(a + Float64(Float64(rand * 0.3333333333333333) * (a ^ 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	else
		tmp = a + ((rand * 0.3333333333333333) * (a ^ 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[LessEqual[a, 700000000000.0], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(a + N[(N[(rand * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[a, 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7e11

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 7e11 < a

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around inf 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{a}} \cdot rand\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 \cdot \sqrt{\frac{1}{a}}\right)} \cdot rand\right)\right) \]

      2. inv-pow 99.6%

         \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(1 \cdot \sqrt{\color{blue}{{a}^{-1}}}\right) \cdot rand\right)\right) \]

      3. sqrt-pow1 99.6%

         \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(1 \cdot \color{blue}{{a}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}}\right) \cdot rand\right)\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(1 \cdot {a}^{\color{blue}{-0.5}}\right) \cdot rand\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 \cdot {a}^{-0.5}\right)} \cdot rand\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{a}^{-0.5}} \cdot rand\right)\right) \]

   9. Simplified 99.6%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{a}^{-0.5}} \cdot rand\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in 99.7%

          \[\leadsto \color{blue}{a \cdot 1 + a \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left({a}^{-0.5} \cdot rand\right)\right)} \]

       2. *-rgt-identity 99.7%

          \[\leadsto \color{blue}{a} + a \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left({a}^{-0.5} \cdot rand\right)\right) \]

       3. *-commutative 99.7%

          \[\leadsto a + a \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(rand \cdot {a}^{-0.5}\right)}\right) \]

       4. associate-*r* 99.7%

          \[\leadsto a + a \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {a}^{-0.5}\right)} \]

   11. Applied egg-rr 99.7%

       \[\leadsto \color{blue}{a + a \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {a}^{-0.5}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 99.7%

          \[\leadsto a + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {a}^{-0.5}\right) \cdot a} \]

       2. associate-*l* 99.6%

          \[\leadsto a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left({a}^{-0.5} \cdot a\right)} \]

       3. pow-plus 99.7%

          \[\leadsto a + \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \color{blue}{{a}^{\left(-0.5 + 1\right)}} \]

       4. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto a + \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {a}^{\color{blue}{0.5}} \]

   13. Simplified 99.7%

       \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {a}^{0.5}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 700000000000:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot {a}^{0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 700000000000:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (<= a 700000000000.0)
   (- a 0.3333333333333333)
   (+ a (* rand (sqrt (* a 0.1111111111111111))))))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + (rand * sqrt((a * 0.1111111111111111)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if (a <= 700000000000.0d0) then
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    else
        tmp = a + (rand * sqrt((a * 0.1111111111111111d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + (rand * Math.sqrt((a * 0.1111111111111111)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if a <= 700000000000.0:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	else:
		tmp = a + (rand * math.sqrt((a * 0.1111111111111111)))
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(a + Float64(rand * sqrt(Float64(a * 0.1111111111111111))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	else
		tmp = a + (rand * sqrt((a * 0.1111111111111111)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[LessEqual[a, 700000000000.0], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(a + N[(rand * N[Sqrt[N[(a * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7e11

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 7e11 < a

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.9%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in a around inf 99.6%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right) \cdot rand} \]

      2. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto a + \color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)} \]

      3. pow1 99.7%

         \[\leadsto a + \color{blue}{{\left(rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)\right)}^{1}} \]

      4. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}}\right)}\right)}^{1} \]

      5. sqrt-unprod 99.7%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)}}\right)}^{1} \]

      6. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)}\right)}^{1} \]

      7. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{a} \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)}^{1} \]

      8. swap-sqr 99.7%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)}^{1} \]

      9. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)}^{1} \]

      10. metadata-eval 99.7%

          \[\leadsto a + {\left(rand \cdot \sqrt{a \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}}\right)}^{1} \]

   10. Applied egg-rr 99.7%

       \[\leadsto a + \color{blue}{{\left(rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\right)}^{1}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 99.7%

          \[\leadsto a + \color{blue}{rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}} \]

   12. Simplified 99.7%

       \[\leadsto a + \color{blue}{rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 700000000000:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (<= a 700000000000.0)
   (- a 0.3333333333333333)
   (+ a (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt a))))))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if (a <= 700000000000.0d0) then
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    else
        tmp = a + (0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt(a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (a <= 700000000000.0) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = a + (0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt(a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if a <= 700000000000.0:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	else:
		tmp = a + (0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt(a)))
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(a + Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 700000000000.0)
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	else
		tmp = a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[LessEqual[a, 700000000000.0], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(a + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[a], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7e11

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 7e11 < a

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      7. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

      4. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

      5. fma-neg 99.9%

         \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

      6. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

   8. Taylor expanded in a around inf 99.6%

      \[\leadsto a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 700000000000:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a + \left(-0.3333333333333333 + \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (+
   -0.3333333333333333
   (* (* rand 0.3333333333333333) (sqrt (+ a -0.3333333333333333))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return a + (-0.3333333333333333 + ((rand * 0.3333333333333333) * sqrt((a + -0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a + ((-0.3333333333333333d0) + ((rand * 0.3333333333333333d0) * sqrt((a + (-0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a + (-0.3333333333333333 + ((rand * 0.3333333333333333) * Math.sqrt((a + -0.3333333333333333))));
}

Python

def code(a, rand):
	return a + (-0.3333333333333333 + ((rand * 0.3333333333333333) * math.sqrt((a + -0.3333333333333333))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(rand * 0.3333333333333333) * sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a + (-0.3333333333333333 + ((rand * 0.3333333333333333) * sqrt((a + -0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a + N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(rand * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   7. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

   2. associate-*r* 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

   5. fma-neg 99.9%

      \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

   6. +-commutative 99.9%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

   7. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.9%

      \[\leadsto a + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a} + -0.3333333333333333\right)} \]

   2. +-commutative 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} + -0.3333333333333333\right) \]

9. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto a + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333} + -0.3333333333333333\right)} \]

10. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ a -0.3333333333333333) (+ 1.0 (/ rand (sqrt (* a 9.0))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + (rand / sqrt((a * 9.0d0))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / Math.sqrt((a * 9.0))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / math.sqrt((a * 9.0))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(Float64(a * 9.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(a * 9.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around inf 99.0%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}}\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 63.2% accurate, 39.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 (- a 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return a - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   7. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

   2. associate-*r* 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} - 0.3333333333333333\right) \]

   5. fma-neg 99.9%

      \[\leadsto a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

   6. +-commutative 99.9%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]

   7. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot rand, \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]

8. Taylor expanded in rand around 0 63.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 10: 62.2% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 a)

C

double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Python

def code(a, rand):
	return a

Julia

function code(a, rand)
	return a
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := a

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   7. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 63.7%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in a around inf 61.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 11: 4.1% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 0.3333333333333333)

C

double code(double a, double rand) {
	return 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return 0.3333333333333333
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := 0.3333333333333333

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   7. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 63.7%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in a around inf 63.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(1 - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{a}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 63.7%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot 1}{a}}\right) \]

   2. metadata-eval 63.7%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 - \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{a}\right) \]

8. Simplified 63.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(1 - \frac{0.3333333333333333}{a}\right)} \]

9. Taylor expanded in a around 0 1.5%

   \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. add-sqr-sqrt 0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} \cdot \sqrt{a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}}} \]

    2. sqrt-unprod 4.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}\right)}} \]

    3. pow2 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}\right)}^{2}}} \]

    4. clear-num 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{{\left(a \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{a}{-0.3333333333333333}}}\right)}^{2}} \]

    5. un-div-inv 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(\frac{a}{\frac{a}{-0.3333333333333333}}\right)}}^{2}} \]

    6. div-inv 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{a}{\color{blue}{a \cdot \frac{1}{-0.3333333333333333}}}\right)}^{2}} \]

    7. metadata-eval 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{a}{a \cdot \color{blue}{-3}}\right)}^{2}} \]

11. Applied egg-rr 4.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(\frac{a}{a \cdot -3}\right)}^{2}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow2 4.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{a}{a \cdot -3} \cdot \frac{a}{a \cdot -3}}} \]

    2. rem-sqrt-square 4.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{a}{a \cdot -3}\right|} \]

    3. associate-/r* 4.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{\frac{a}{a}}{-3}}\right| \]

    4. *-inverses 4.4%

       \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{1}}{-3}\right| \]

    5. metadata-eval 4.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{-0.3333333333333333}\right| \]

    6. metadata-eval 4.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333} \]

13. Simplified 4.4%

    \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 1.5% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 -0.3333333333333333)

C

double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = -0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return -0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return -0.3333333333333333
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = -0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := -0.3333333333333333

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   7. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 63.7%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in a around inf 63.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(1 - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{a}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 63.7%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot 1}{a}}\right) \]

   2. metadata-eval 63.7%

      \[\leadsto a \cdot \left(1 - \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{a}\right) \]

8. Simplified 63.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(1 - \frac{0.3333333333333333}{a}\right)} \]

9. Taylor expanded in a around 0 1.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))