bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.8% → 97.6%

Time: 17.0s

Alternatives: 10

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.433302296318363e+268

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.6% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \frac{x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + x \cdot \left(x \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (/
   (*
    x
    (+
     0.027777777777777776
     (*
      (* x x)
      (* (* x x) (+ -3.08641975308642e-5 (* x (* x 3.919263178522438e-6)))))))
   (-
    0.16666666666666666
    (*
     x
     (*
      x
      (+
       -0.005555555555555556
       (*
        (* x x)
        (+ 0.0003527336860670194 (* x (* x -2.6455026455026456e-5)))))))))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * ((x * x) * ((-3.08641975308642d-5) + (x * (x * 3.919263178522438d-6))))))) / (0.16666666666666666d0 - (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * (0.0003527336860670194d0 + (x * (x * (-2.6455026455026456d-5))))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(-3.08641975308642e-5 + Float64(x * Float64(x * 3.919263178522438e-6))))))) / Float64(0.16666666666666666 - Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(x * Float64(x * -2.6455026455026456e-5))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-3.08641975308642e-5 + N[(x * N[(x * 3.919263178522438e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 - N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(x * N[(x * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)}} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{32400}\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{32400}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{32400} + \frac{1}{255150} \cdot {x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + \left(x \cdot x\right) \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{x} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{x}\right) \]

12. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + x \cdot \left(x \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \cdot x} \]

13. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto x \cdot \frac{x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + x \cdot \left(x \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + x \cdot \left(x \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (*
   x
   (+
    0.027777777777777776
    (*
     (* x x)
     (* (* x x) (+ -3.08641975308642e-5 (* x (* x 3.919263178522438e-6)))))))
  (/
   x
   (-
    0.16666666666666666
    (*
     x
     (*
      x
      (+
       -0.005555555555555556
       (*
        (* x x)
        (+ 0.0003527336860670194 (* x (* x -2.6455026455026456e-5)))))))))))

C

double code(double x) {
	return (x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) * (x / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (0.027777777777777776d0 + ((x * x) * ((x * x) * ((-3.08641975308642d-5) + (x * (x * 3.919263178522438d-6))))))) * (x / (0.16666666666666666d0 - (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * (0.0003527336860670194d0 + (x * (x * (-2.6455026455026456d-5))))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) * (x / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
}

Python

def code(x):
	return (x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) * (x / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(-3.08641975308642e-5 + Float64(x * Float64(x * 3.919263178522438e-6))))))) * Float64(x / Float64(0.16666666666666666 - Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(x * Float64(x * -2.6455026455026456e-5))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (0.027777777777777776 + ((x * x) * ((x * x) * (-3.08641975308642e-5 + (x * (x * 3.919263178522438e-6))))))) * (x / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * (0.0003527336860670194 + (x * (x * -2.6455026455026456e-5)))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-3.08641975308642e-5 + N[(x * N[(x * 3.919263178522438e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(0.16666666666666666 - N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(x * N[(x * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)}} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{36} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{32400}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{32400}\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{32400}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{32400} + \frac{1}{255150} \cdot {x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \left(\frac{1}{255150} \cdot {x}^{2}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{255150}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + \left(x \cdot x\right) \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{\frac{1}{6}} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{36} + \left(\frac{-1}{32400} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{255150}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)}\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + x \cdot \left(x \cdot 3.919263178522438 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + x \cdot \left(x \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (* x x)
   (*
    x
    (*
     x
     (+
      -0.005555555555555556
      (*
       x
       (* x (+ 0.0003527336860670194 (* (* x x) -2.6455026455026456e-5))))))))
  (* (* x x) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + (x * (x * (0.0003527336860670194d0 + ((x * x) * (-2.6455026455026456d-5))))))))) + ((x * x) * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))) + ((x * x) * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(Float64(x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))) + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(x * N[(x * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{6}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (*
     (* x x)
     (+
      -0.005555555555555556
      (*
       x
       (*
        x
        (+ 0.0003527336860670194 (* (* x x) -2.6455026455026456e-5))))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * ((-0.005555555555555556d0) + (x * (x * (0.0003527336860670194d0 + ((x * x) * (-2.6455026455026456d-5)))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5))))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(Float64(x * x) * -2.6455026455026456e-5)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + (x * (x * (0.0003527336860670194 + ((x * x) * -2.6455026455026456e-5))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.005555555555555556 + N[(x * N[(x * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.3% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* x x) 0.16666666666666666)
  (*
   (* x x)
   (* x (* x (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194)))))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((x * x) * (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{6}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{180} + \frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

11. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.4% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (* (* x x) (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194)))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.0% accurate, 13.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* x x) 0.16666666666666666)
  (* (* x x) (* (* x x) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * ((x * x) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((x * x) * ((x * x) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * ((x * x) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * ((x * x) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((x * x) * ((x * x) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2835}} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} + \frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2835}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{37800} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{6}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2835} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{37800}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{180}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{180}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{180}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 95.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{180}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

11. Final simplification 95.0%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.0% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.005555555555555556d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 95.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 94.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

6. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 10: 49.5% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \log \left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right) \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{-1}\right) \]

   3. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right) \]

   4. log-prod N/A

      \[\leadsto \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right) + \color{blue}{\log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), \color{blue}{\log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \log \color{blue}{\left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{\color{blue}{x}}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   8. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{\color{blue}{x}}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\color{blue}{\sinh x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\color{blue}{\sinh x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   12. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)}\right)\right), \log \left({\color{blue}{\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{-2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\color{blue}{\sinh x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\color{blue}{\sinh x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   17. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\sinh x}{x}\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \log \left({\color{blue}{\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   18. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sinh x, x\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \log \left({\left(\frac{\color{blue}{x}}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   19. sinh-lowering-sinh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sinh.f64}\left(x\right), x\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sinh.f64}\left(x\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right), \log \left({\left(\frac{x}{\color{blue}{\sinh x}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 53.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{0.5}\right) + \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{0.5}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) - \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}{\color{blue}{\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) - \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}} \]

   2. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{0}{\color{blue}{\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} - \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{0 - 0}{\color{blue}{\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} - \log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

   4. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{0 - 0}{0} \]

   5. sub-div N/A

      \[\leadsto \frac{0}{0} - \color{blue}{\frac{0}{0}} \]

6. Applied egg-rr 48.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs x) 17/200) (let ((x2 (* x x))) (* x2 (fma (fma (fma -1/37800 x2 1/2835) x2 -1/180) x2 1/6))) (log (/ (sinh x) x))))

  (log (/ (sinh x) x)))