Maksimov and Kolovsky, Equation (32)

Percentage Accurate: 76.6% → 96.9%

Time: 13.7s

Alternatives: 10

Speedup: 3.7×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 76.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(n + m\right)\\ \cos M \cdot e^{\left|n - m\right| + \left(\left(t\_0 - M\right) \cdot \left(M - t\_0\right) - \ell\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (+ n m))))
   (* (cos M) (exp (+ (fabs (- n m)) (- (* (- t_0 M) (- M t_0)) l))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = 0.5 * (n + m);
	return cos(M) * exp((fabs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * (n + m)
    code = cos(m_1) * exp((abs((n - m)) + (((t_0 - m_1) * (m_1 - t_0)) - l)))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = 0.5 * (n + m);
	return Math.cos(M) * Math.exp((Math.abs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = 0.5 * (n + m)
	return math.cos(M) * math.exp((math.fabs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(0.5 * Float64(n + m))
	return Float64(cos(M) * exp(Float64(abs(Float64(n - m)) + Float64(Float64(Float64(t_0 - M) * Float64(M - t_0)) - l))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = 0.5 * (n + m);
	tmp = cos(M) * exp((abs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$0 - M), $MachinePrecision] * N[(M - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.2%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

6. Final simplification 96.4%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\left|n - m\right| + \left(\left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(M - 0.5 \cdot \left(n + m\right)\right) - \ell\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - M \cdot M}\\ t_1 := 0.5 \cdot \left(n + m\right)\\ \mathbf{if}\;M \leq -1 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;M \leq 1.85 \cdot 10^{+33}:\\ \;\;\;\;e^{\left|n - m\right| + \left(\left(t\_1 - M\right) \cdot \left(M - t\_1\right) - \ell\right)} \cdot \left(1 + \left(M \cdot M\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- 0.0 (* M M)))) (t_1 (* 0.5 (+ n m))))
   (if (<= M -1e+116)
     t_0
     (if (<= M 1.85e+33)
       (*
        (exp (+ (fabs (- n m)) (- (* (- t_1 M) (- M t_1)) l)))
        (+ 1.0 (* (* M M) -0.5)))
       t_0))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((0.0 - (M * M)));
	double t_1 = 0.5 * (n + m);
	double tmp;
	if (M <= -1e+116) {
		tmp = t_0;
	} else if (M <= 1.85e+33) {
		tmp = exp((fabs((n - m)) + (((t_1 - M) * (M - t_1)) - l))) * (1.0 + ((M * M) * -0.5));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - (m_1 * m_1)))
    t_1 = 0.5d0 * (n + m)
    if (m_1 <= (-1d+116)) then
        tmp = t_0
    else if (m_1 <= 1.85d+33) then
        tmp = exp((abs((n - m)) + (((t_1 - m_1) * (m_1 - t_1)) - l))) * (1.0d0 + ((m_1 * m_1) * (-0.5d0)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - (M * M)));
	double t_1 = 0.5 * (n + m);
	double tmp;
	if (M <= -1e+116) {
		tmp = t_0;
	} else if (M <= 1.85e+33) {
		tmp = Math.exp((Math.abs((n - m)) + (((t_1 - M) * (M - t_1)) - l))) * (1.0 + ((M * M) * -0.5));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((0.0 - (M * M)))
	t_1 = 0.5 * (n + m)
	tmp = 0
	if M <= -1e+116:
		tmp = t_0
	elif M <= 1.85e+33:
		tmp = math.exp((math.fabs((n - m)) + (((t_1 - M) * (M - t_1)) - l))) * (1.0 + ((M * M) * -0.5))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(0.0 - Float64(M * M)))
	t_1 = Float64(0.5 * Float64(n + m))
	tmp = 0.0
	if (M <= -1e+116)
		tmp = t_0;
	elseif (M <= 1.85e+33)
		tmp = Float64(exp(Float64(abs(Float64(n - m)) + Float64(Float64(Float64(t_1 - M) * Float64(M - t_1)) - l))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(M * M) * -0.5)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((0.0 - (M * M)));
	t_1 = 0.5 * (n + m);
	tmp = 0.0;
	if (M <= -1e+116)
		tmp = t_0;
	elseif (M <= 1.85e+33)
		tmp = exp((abs((n - m)) + (((t_1 - M) * (M - t_1)) - l))) * (1.0 + ((M * M) * -0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(0.0 - N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[M, -1e+116], t$95$0, If[LessEqual[M, 1.85e+33], N[(N[Exp[N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$1 - M), $MachinePrecision] * N[(M - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if M < -1.00000000000000002e116 or 1.8499999999999999e33 < M

   1. Initial program 83.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 81.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   6. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)}\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]

   if -1.00000000000000002e116 < M < 1.8499999999999999e33

   1. Initial program 71.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 94.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)\right)} \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;M \leq -1 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;e^{0 - M \cdot M}\\ \mathbf{elif}\;M \leq 1.85 \cdot 10^{+33}:\\ \;\;\;\;e^{\left|n - m\right| + \left(\left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(M - 0.5 \cdot \left(n + m\right)\right) - \ell\right)} \cdot \left(1 + \left(M \cdot M\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{0 - M \cdot M}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 72.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.5 \cdot 10^{-175}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= n -1.5e-175)
   (* (cos M) (exp (* -0.25 (* m m))))
   (if (<= n 3250.0)
     (* (cos M) (/ (- 0.0 -1.0) (exp (+ l (* M M)))))
     (exp (* -0.25 (* n n))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.5e-175) {
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = cos(M) * ((0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M))));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (n <= (-1.5d-175)) then
        tmp = cos(m_1) * exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (n <= 3250.0d0) then
        tmp = cos(m_1) * ((0.0d0 - (-1.0d0)) / exp((l + (m_1 * m_1))))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.5e-175) {
		tmp = Math.cos(M) * Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = Math.cos(M) * ((0.0 - -1.0) / Math.exp((l + (M * M))));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if n <= -1.5e-175:
		tmp = math.cos(M) * math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif n <= 3250.0:
		tmp = math.cos(M) * ((0.0 - -1.0) / math.exp((l + (M * M))))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (n <= -1.5e-175)
		tmp = Float64(cos(M) * exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m))));
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = Float64(cos(M) * Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(Float64(l + Float64(M * M)))));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (n <= -1.5e-175)
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = cos(M) * ((0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M))));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[n, -1.5e-175], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 3250.0], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(l + N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -1.5e-175

   1. Initial program 75.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in m around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -1.5e-175 < n < 3250

   1. Initial program 82.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{\color{blue}{e^{\ell + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|n - m\right|}}}}\right)\right) \]

      9. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|m - n\right|}}}\right)\right) \]

      10. exp-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{e^{\left(\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{\ell + \left(\left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right) - \left|n - m\right|\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 75.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 75.0%

       \[\leadsto \cos M \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + \color{blue}{M \cdot M}}} \]

   if 3250 < n

   1. Initial program 69.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.8%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 96.8%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.5 \cdot 10^{-175}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 71.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -3.5 \cdot 10^{-181}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= n -3.5e-181)
   (* (cos M) (exp (* -0.25 (* m m))))
   (if (<= n 3250.0)
     (/ (- 0.0 -1.0) (exp (+ l (* M M))))
     (exp (* -0.25 (* n n))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -3.5e-181) {
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M)));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (n <= (-3.5d-181)) then
        tmp = cos(m_1) * exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (n <= 3250.0d0) then
        tmp = (0.0d0 - (-1.0d0)) / exp((l + (m_1 * m_1)))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -3.5e-181) {
		tmp = Math.cos(M) * Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / Math.exp((l + (M * M)));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if n <= -3.5e-181:
		tmp = math.cos(M) * math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif n <= 3250.0:
		tmp = (0.0 - -1.0) / math.exp((l + (M * M)))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (n <= -3.5e-181)
		tmp = Float64(cos(M) * exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m))));
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(Float64(l + Float64(M * M))));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (n <= -3.5e-181)
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M)));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[n, -3.5e-181], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 3250.0], N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(l + N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -3.49999999999999996e-181

   1. Initial program 75.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in m around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -3.49999999999999996e-181 < n < 3250

   1. Initial program 82.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{\color{blue}{e^{\ell + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|n - m\right|}}}}\right)\right) \]

      9. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|m - n\right|}}}\right)\right) \]

      10. exp-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{e^{\left(\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.1%

      \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{\ell + \left(\left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right) - \left|n - m\right|\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 74.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \cos M \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + \color{blue}{M \cdot M}}} \]

   11. Taylor expanded in M around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 74.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + M \cdot M}} \]

   if 3250 < n

   1. Initial program 69.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.8%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 96.8%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -3.5 \cdot 10^{-181}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 86.2% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -2050000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -2050000.0)
     t_0
     (if (<= n 3250.0) (/ (- 0.0 -1.0) (exp (+ l (* M M)))) t_0))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2050000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-2050000.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 3250.0d0) then
        tmp = (0.0d0 - (-1.0d0)) / exp((l + (m_1 * m_1)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2050000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 3250.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / Math.exp((l + (M * M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -2050000.0:
		tmp = t_0
	elif n <= 3250.0:
		tmp = (0.0 - -1.0) / math.exp((l + (M * M)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -2050000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(Float64(l + Float64(M * M))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -2050000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 3250.0)
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp((l + (M * M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -2050000.0], t$95$0, If[LessEqual[n, 3250.0], N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(l + N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n < -2.05e6 or 3250 < n

   1. Initial program 72.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 95.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 95.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 95.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -2.05e6 < n < 3250

   1. Initial program 80.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{\color{blue}{e^{\ell + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|n - m\right|}}}}\right)\right) \]

      9. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|m - n\right|}}}\right)\right) \]

      10. exp-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{e^{\left(\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.6%

      \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{\ell + \left(\left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right) - \left|n - m\right|\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.6%

       \[\leadsto \cos M \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + \color{blue}{M \cdot M}}} \]

   11. Taylor expanded in M around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 73.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + M \cdot M}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -2050000:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3250:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\ell + M \cdot M}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 76.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -2050000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{0 - M \cdot M}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -2050000.0) t_0 (if (<= n 54.0) (exp (- 0.0 (* M M))) t_0))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2050000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = exp((0.0 - (M * M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-2050000.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = exp((0.0d0 - (m_1 * m_1)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2050000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.exp((0.0 - (M * M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -2050000.0:
		tmp = t_0
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.exp((0.0 - (M * M)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -2050000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp(Float64(0.0 - Float64(M * M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -2050000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp((0.0 - (M * M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -2050000.0], t$95$0, If[LessEqual[n, 54.0], N[Exp[N[(0.0 - N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n < -2.05e6 or 54 < n

   1. Initial program 72.1%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 94.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 94.9%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -2.05e6 < n < 54

   1. Initial program 80.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   6. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)}\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 59.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 59.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 59.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -2050000:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{0 - M \cdot M}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 68.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -2.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 21:\\ \;\;\;\;\frac{1}{e^{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -2.5e-19) t_0 (if (<= n 21.0) (/ 1.0 (exp l)) t_0))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2.5e-19) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 21.0) {
		tmp = 1.0 / exp(l);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-2.5d-19)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 21.0d0) then
        tmp = 1.0d0 / exp(l)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -2.5e-19) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 21.0) {
		tmp = 1.0 / Math.exp(l);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -2.5e-19:
		tmp = t_0
	elif n <= 21.0:
		tmp = 1.0 / math.exp(l)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -2.5e-19)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 21.0)
		tmp = Float64(1.0 / exp(l));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -2.5e-19)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 21.0)
		tmp = 1.0 / exp(l);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -2.5e-19], t$95$0, If[LessEqual[n, 21.0], N[(1.0 / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n < -2.5000000000000002e-19 or 21 < n

   1. Initial program 72.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 93.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.1%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 93.1%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 93.1%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -2.5000000000000002e-19 < n < 21

   1. Initial program 81.0%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{\color{blue}{e^{\ell + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|n - m\right|}}}}\right)\right) \]

      9. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|m - n\right|}}}\right)\right) \]

      10. exp-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{e^{\left(\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{\ell + \left(\left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right) - \left|n - m\right|\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.1%

       \[\leadsto \cos M \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + \color{blue}{M \cdot M}}} \]

   11. Taylor expanded in M around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 43.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   13. Simplified 43.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 35.3% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{e^{\ell}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 (/ 1.0 (exp l)))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / exp(l);
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0 / exp(l)
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / Math.exp(l);
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0 / math.exp(l)

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(1.0 / exp(l))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0 / exp(l);
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(1.0 / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.2%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. exp-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{\color{blue}{e^{\ell + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}}}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\left(m + n\right) \cdot \frac{1}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \ell}}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{e^{\left|n - m\right|}}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|n - m\right|}}}}\right)\right) \]

   9. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{\frac{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}}{e^{\left|m - n\right|}}}\right)\right) \]

   10. exp-diff N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\frac{1}{e^{\left(\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 94.5%

   \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{\ell + \left(\left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right) - \left|n - m\right|\right)}}} \]

8. Taylor expanded in M around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 64.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.6%

    \[\leadsto \cos M \cdot \frac{-1}{0 - e^{\ell + \color{blue}{M \cdot M}}} \]

11. Taylor expanded in M around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

    2. exp-lowering-exp.f64 32.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

13. Simplified 32.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 7.1% accurate, 4.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos M \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 (cos M))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos(M);
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos(m_1)
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos(M);
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos(M)

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return cos(M)
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos(M);
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[Cos[M], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.2%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in n around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 56.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 56.9%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

9. Taylor expanded in n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M} \]
10. Step-by-step derivation

    1. cos-lowering-cos.f64 7.3%

       \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(M\right) \]

11. Simplified 7.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos M} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 7.1% accurate, 425.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 1.0)

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 76.2%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in M around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 43.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 43.5%

   \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

6. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \left(K \cdot \left(m + n\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(K \cdot \left(m + n\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(K \cdot \left(m + n\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(m + n\right) \cdot K\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), K\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n + m\right), K\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 6.8%

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(n, m\right), K\right)\right)\right) \]

8. Simplified 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(0.5 \cdot \left(\left(n + m\right) \cdot K\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 7.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (K m n M l)
  :name "Maksimov and Kolovsky, Equation (32)"
  :precision binary64
  (* (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M)) (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))