Bearing on a great circle

Percentage Accurate: 79.2% → 99.7%

Time: 32.0s

Alternatives: 32

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 79.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (fma (sin lambda2) (sin lambda1) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 90.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 90.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (cos lambda2) (cos lambda1)) (* (sin lambda1) (sin lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * ((math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 90.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 90.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 92.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_2 := t\_1 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -11000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.8 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{t\_1 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
          (cos phi2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_2 (- t_1 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (if (<= phi2 -11000.0)
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (fma
        (sin lambda1)
        (cos lambda2)
        (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2)))))
      t_2)
     (if (<= phi2 3.8e-178)
       (atan2
        t_0
        (-
         t_1
         (*
          (sin phi1)
          (+
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))))))
       (atan2 t_0 t_2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	double t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_2 = t_1 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -11000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2))))), t_2);
	} else if (phi2 <= 3.8e-178) {
		tmp = atan2(t_0, (t_1 - (sin(phi1) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
	} else {
		tmp = atan2(t_0, t_2);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_2 = Float64(t_1 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -11000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2))))), t_2);
	elseif (phi2 <= 3.8e-178)
		tmp = atan(t_0, Float64(t_1 - Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
	else
		tmp = atan(t_0, t_2);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -11000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.8e-178], N[ArcTan[t$95$0 / N[(t$95$1 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / t$95$2], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -11000

   1. Initial program 78.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 89.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -11000 < phi2 < 3.80000000000000015e-178

   1. Initial program 82.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 87.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 87.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2} + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right), \left(\sin \color{blue}{\lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \color{blue}{\sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}} \]

   if 3.80000000000000015e-178 < phi2

   1. Initial program 80.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 94.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -11000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.8 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 92.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.6 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.5 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
          (cos phi2)))
        (t_1
         (-
          (* (cos phi1) (sin phi2))
          (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (if (<= phi2 -1.6e-65)
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (fma
        (sin lambda1)
        (cos lambda2)
        (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2)))))
      t_1)
     (if (<= phi2 3.5e-178)
       (atan2
        t_0
        (*
         (sin phi1)
         (-
          (* (cos lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))
          (* (sin lambda1) (sin lambda2)))))
       (atan2 t_0 t_1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	double t_1 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.6e-65) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2))))), t_1);
	} else if (phi2 <= 3.5e-178) {
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi1) * ((cos(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))) - (sin(lambda1) * sin(lambda2)))));
	} else {
		tmp = atan2(t_0, t_1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2))
	t_1 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.6e-65)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2))))), t_1);
	elseif (phi2 <= 3.5e-178)
		tmp = atan(t_0, Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))) - Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)))));
	else
		tmp = atan(t_0, t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.6e-65], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.5e-178], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / t$95$1], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.6e-65

   1. Initial program 79.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 90.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.6e-65 < phi2 < 3.49999999999999983e-178

   1. Initial program 82.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 86.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}} \]

   if 3.49999999999999983e-178 < phi2

   1. Initial program 80.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 94.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.6 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.5 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 92.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.05 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.5 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
          (cos phi2)))
        (t_1
         (atan2
          t_0
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi2 -1.05e-64)
     t_1
     (if (<= phi2 3.5e-178)
       (atan2
        t_0
        (*
         (sin phi1)
         (-
          (* (cos lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))
          (* (sin lambda1) (sin lambda2)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	double t_1 = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.05e-64) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3.5e-178) {
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi1) * ((cos(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))) - (sin(lambda1) * sin(lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)
    t_1 = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    if (phi2 <= (-1.05d-64)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3.5d-178) then
        tmp = atan2(t_0, (sin(phi1) * ((cos(lambda2) * (0.0d0 - cos(lambda1))) - (sin(lambda1) * sin(lambda2)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.05e-64) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3.5e-178) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.sin(phi1) * ((Math.cos(lambda2) * (0.0 - Math.cos(lambda1))) - (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.atan2(t_0, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.05e-64:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3.5e-178:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.sin(phi1) * ((math.cos(lambda2) * (0.0 - math.cos(lambda1))) - (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2))
	t_1 = atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.05e-64)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3.5e-178)
		tmp = atan(t_0, Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))) - Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	t_1 = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.05e-64)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3.5e-178)
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi1) * ((cos(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))) - (sin(lambda1) * sin(lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.05e-64], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3.5e-178], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.05000000000000006e-64 or 3.49999999999999983e-178 < phi2

   1. Initial program 79.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 92.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.05000000000000006e-64 < phi2 < 3.49999999999999983e-178

   1. Initial program 82.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 86.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.05 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.5 \cdot 10^{-178}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 89.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot t\_1}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.8 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - t\_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2
         (atan2
          (*
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
           (cos phi2))
          (- t_0 (* (cos lambda1) t_1)))))
   (if (<= lambda1 -1.8e-7)
     t_2
     (if (<= lambda1 5.2e-14)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (-
         t_0
         (*
          t_1
          (+
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.8e-7) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)))
    if (lambda1 <= (-1.8d-7)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda1 <= 5.2d-14) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_2 = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.8e-7) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2))))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_2 = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -1.8e-7:
		tmp = t_2
	elif lambda1 <= 5.2e-14:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * ((math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2))))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -1.8e-7)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -1.8e-7)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -1.8e-7], t$95$2, If[LessEqual[lambda1, 5.2e-14], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -1.79999999999999997e-7 or 5.19999999999999993e-14 < lambda1

   1. Initial program 58.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   if -1.79999999999999997e-7 < lambda1 < 5.19999999999999993e-14

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.8 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 88.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_3 := \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot t\_2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.8 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (*
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
          (cos phi2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_3 (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos lambda1) t_2)))))
   (if (<= lambda1 -2.8e+29)
     t_3
     (if (<= lambda1 5.2e-14) (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos lambda2) t_2))) t_3))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	double t_2 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_3 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * t_2)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.8e+29) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda2) * t_2)));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)
    t_2 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_3 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * t_2)))
    if (lambda1 <= (-2.8d+29)) then
        tmp = t_3
    else if (lambda1 <= 5.2d-14) then
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda2) * t_2)))
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_3 = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(lambda1) * t_2)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.8e+29) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(lambda2) * t_2)));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_3 = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(lambda1) * t_2)))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -2.8e+29:
		tmp = t_3
	elif lambda1 <= 5.2e-14:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(lambda2) * t_2)))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_3 = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * t_2)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -2.8e+29)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * t_2)));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2);
	t_2 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_3 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * t_2)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -2.8e+29)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda2) * t_2)));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -2.8e+29], t$95$3, If[LessEqual[lambda1, 5.2e-14], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -2.8e29 or 5.19999999999999993e-14 < lambda1

   1. Initial program 59.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   if -2.8e29 < lambda1 < 5.19999999999999993e-14

   1. Initial program 97.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.8 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot t\_1}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.6 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2
         (atan2
          (*
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
           (cos phi2))
          (- t_0 (* (cos lambda1) t_1)))))
   (if (<= lambda1 -1.6e-7)
     t_2
     (if (<= lambda1 5.2e-14)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.6e-7) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)))
    if (lambda1 <= (-1.6d-7)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda1 <= 5.2d-14) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_2 = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.6e-7) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_2 = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -1.6e-7:
		tmp = t_2
	elif lambda1 <= 5.2e-14:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -1.6e-7)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_2 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -1.6e-7)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -1.6e-7], t$95$2, If[LessEqual[lambda1, 5.2e-14], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -1.6e-7 or 5.19999999999999993e-14 < lambda1

   1. Initial program 58.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   if -1.6e-7 < lambda1 < 5.19999999999999993e-14

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.6 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := t\_0 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_3}{t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5800000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{t\_3}}}{t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2 (- t_0 (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_3 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -8.2e-11)
     (atan2 t_3 t_2)
     (if (<= phi1 5800000000000.0)
       (atan2
        (*
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
         (cos phi2))
        (- t_0 t_1))
       (atan2 (/ 1.0 (/ 1.0 t_3)) t_2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_3 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e-11) {
		tmp = atan2(t_3, t_2);
	} else if (phi1 <= 5800000000000.0) {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - t_1));
	} else {
		tmp = atan2((1.0 / (1.0 / t_3)), t_2);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_2 = t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_3 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-8.2d-11)) then
        tmp = atan2(t_3, t_2)
    else if (phi1 <= 5800000000000.0d0) then
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - t_1))
    else
        tmp = atan2((1.0d0 / (1.0d0 / t_3)), t_2)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_2 = t_0 - (t_1 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_3 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e-11) {
		tmp = Math.atan2(t_3, t_2);
	} else if (phi1 <= 5800000000000.0) {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (t_0 - t_1));
	} else {
		tmp = Math.atan2((1.0 / (1.0 / t_3)), t_2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_2 = t_0 - (t_1 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_3 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -8.2e-11:
		tmp = math.atan2(t_3, t_2)
	elif phi1 <= 5800000000000.0:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (t_0 - t_1))
	else:
		tmp = math.atan2((1.0 / (1.0 / t_3)), t_2)
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = Float64(t_0 - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_3 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -8.2e-11)
		tmp = atan(t_3, t_2);
	elseif (phi1 <= 5800000000000.0)
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(t_0 - t_1));
	else
		tmp = atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 / t_3)), t_2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_2 = t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_3 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -8.2e-11)
		tmp = atan2(t_3, t_2);
	elseif (phi1 <= 5800000000000.0)
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (t_0 - t_1));
	else
		tmp = atan2((1.0 / (1.0 / t_3)), t_2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -8.2e-11], N[ArcTan[t$95$3 / t$95$2], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 5800000000000.0], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 / t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -8.2000000000000001e-11

   1. Initial program 78.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -8.2000000000000001e-11 < phi1 < 5.8e12

   1. Initial program 80.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 5.8e12 < phi1

   1. Initial program 82.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 82.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5800000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2 - t\_0 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{t\_2}}}{t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_0)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -2e-7)
     (atan2 t_2 t_1)
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
         (cos phi2))
        (- (sin phi2) (* t_0 (* (cos phi2) phi1))))
       (atan2 (/ 1.0 (/ 1.0 t_2)) t_1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_0);
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2e-7) {
		tmp = atan2(t_2, t_1);
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (sin(phi2) - (t_0 * (cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = atan2((1.0 / (1.0 / t_2)), t_1);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_0)
    t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-2d-7)) then
        tmp = atan2(t_2, t_1)
    else if (phi1 <= 1.55d0) then
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (sin(phi2) - (t_0 * (cos(phi2) * phi1))))
    else
        tmp = atan2((1.0d0 / (1.0d0 / t_2)), t_1)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = (Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * t_0);
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2e-7) {
		tmp = Math.atan2(t_2, t_1);
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.sin(phi2) - (t_0 * (Math.cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((1.0 / (1.0 / t_2)), t_1);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = (math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * t_0)
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -2e-7:
		tmp = math.atan2(t_2, t_1)
	elif phi1 <= 1.55:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.sin(phi2) - (t_0 * (math.cos(phi2) * phi1))))
	else:
		tmp = math.atan2((1.0 / (1.0 / t_2)), t_1)
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_0))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -2e-7)
		tmp = atan(t_2, t_1);
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(sin(phi2) - Float64(t_0 * Float64(cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 / t_2)), t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_0);
	t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -2e-7)
		tmp = atan2(t_2, t_1);
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (sin(phi2) - (t_0 * (cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan2((1.0 / (1.0 / t_2)), t_1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -2e-7], N[ArcTan[t$95$2 / t$95$1], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.9999999999999999e-7

   1. Initial program 77.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -1.9999999999999999e-7 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 81.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\color{blue}{\lambda_1} - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   if 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 81.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{t\_1}}}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (-
          (* (cos phi1) (sin phi2))
          (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -8.2e-16)
     (atan2 t_1 t_0)
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       (atan2 (/ 1.0 (/ 1.0 t_1)) t_0)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e-16) {
		tmp = atan2(t_1, t_0);
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2((1.0 / (1.0 / t_1)), t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -8.2e-16)
		tmp = atan(t_1, t_0);
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 / t_1)), t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -8.2e-16], N[ArcTan[t$95$1 / t$95$0], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -8.20000000000000012e-16

   1. Initial program 78.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -8.20000000000000012e-16 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 81.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 74.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 81.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 71.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.7:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 7.2 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - t\_1 \cdot t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 -7.6e+26)
     (atan2 (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos phi2))) (- t_0 (* (cos lambda2) t_1)))
     (if (<= phi1 3.7)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       (if (<= phi1 7.2e+82)
         (atan2 (* (sin lambda1) (cos phi2)) (- t_0 (* t_1 t_2)))
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (- t_0 (* (sin phi1) t_2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -7.6e+26) {
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_0 - (cos(lambda2) * t_1)));
	} else if (phi1 <= 3.7) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else if (phi1 <= 7.2e+82) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (t_1 * t_2)));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * t_2)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -7.6e+26)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(phi2))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * t_1)));
	elseif (phi1 <= 3.7)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	elseif (phi1 <= 7.2e+82)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(t_1 * t_2)));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * t_2)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -7.6e+26], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 3.7], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 7.2e+82], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if phi1 < -7.6000000000000004e26

   1. Initial program 78.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 71.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \lambda_2\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(0 - \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. sin-lowering-sin.f64 59.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(-\sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]

   if -7.6000000000000004e26 < phi1 < 3.7000000000000002

   1. Initial program 80.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 71.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 92.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 3.7000000000000002 < phi1 < 7.20000000000000028e82

   1. Initial program 85.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 7.20000000000000028e82 < phi1

   1. Initial program 80.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 65.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 78.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.7:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 7.2 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{t\_1}}}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (-
          (* (cos phi1) (sin phi2))
          (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 -7.5e-16)
     (atan2 (* (cos phi2) t_1) t_0)
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       (atan2 (/ (cos phi2) (/ 1.0 t_1)) t_0)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -7.5e-16) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_1), t_0);
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / t_1)), t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -7.5e-16)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_1), t_0);
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) / Float64(1.0 / t_1)), t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -7.5e-16], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -7.5e-16

   1. Initial program 78.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -7.5e-16 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 81.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 74.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 81.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 83.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 83.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \cos \phi_2}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.4 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_3}{t\_0 - t\_1 \cdot t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_3}{t\_0 - \frac{t\_2}{\frac{1}{t\_1}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_3 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -1.4e-15)
     (atan2 t_3 (- t_0 (* t_1 t_2)))
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       (atan2 t_3 (- t_0 (/ t_2 (/ 1.0 t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.4e-15) {
		tmp = atan2(t_3, (t_0 - (t_1 * t_2)));
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_3, (t_0 - (t_2 / (1.0 / t_1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_3 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.4e-15)
		tmp = atan(t_3, Float64(t_0 - Float64(t_1 * t_2)));
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_3, Float64(t_0 - Float64(t_2 / Float64(1.0 / t_1))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.4e-15], N[ArcTan[t$95$3 / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$3 / N[(t$95$0 - N[(t$95$2 / N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.40000000000000007e-15

   1. Initial program 78.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -1.40000000000000007e-15 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 81.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 74.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 81.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}}\right)\right)\right) \]

      4. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sin \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.4 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 71.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.4 \cdot 10^{+81}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= phi1 -6e+26)
     (atan2
      (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos phi2)))
      (- t_0 (* (cos lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1)))))
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       (if (<= phi1 3.4e+81)
         (atan2
          (* (sin lambda1) (cos phi2))
          (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (- t_0 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi1 <= -6e+26) {
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else if (phi1 <= 3.4e+81) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -6e+26)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(phi2))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))));
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	elseif (phi1 <= 3.4e+81)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -6e+26], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 3.4e+81], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if phi1 < -5.99999999999999994e26

   1. Initial program 78.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 71.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \lambda_2\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(0 - \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. sin-lowering-sin.f64 59.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(-\sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]

   if -5.99999999999999994e26 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 80.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 71.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 92.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 1.55000000000000004 < phi1 < 3.40000000000000003e81

   1. Initial program 85.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 72.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 59.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   if 3.40000000000000003e81 < phi1

   1. Initial program 80.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 65.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 78.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.4 \cdot 10^{+81}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -1.5e-15)
     t_0
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.5e-15) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.5e-15)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.5e-15], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -1.5e-15 or 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 80.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -1.5e-15 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 81.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 74.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.8 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_1 - t\_0 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_1 - \cos \lambda_2 \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin phi1))) (t_1 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= lambda1 -2.8e+29)
     (atan2
      (* (sin lambda1) (cos phi2))
      (- t_1 (* t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))))
     (if (<= lambda1 5.2e-14)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_1 (* (cos lambda2) t_0)))
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2)))))
        (sin phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.8e+29) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_1 - (t_0 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else if (lambda1 <= 5.2e-14) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (cos(lambda2) * t_0)));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2))))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -2.8e+29)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_1 - Float64(t_0 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	elseif (lambda1 <= 5.2e-14)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_1 - Float64(cos(lambda2) * t_0)));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2))))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -2.8e+29], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(t$95$0 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 5.2e-14], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -2.8e29

   1. Initial program 69.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -2.8e29 < lambda1 < 5.19999999999999993e-14

   1. Initial program 97.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 97.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   if 5.19999999999999993e-14 < lambda1

   1. Initial program 51.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 51.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 42.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 42.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\cos \lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(-\cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.8 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 78.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -3400000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 61000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_1 - \cos \lambda_1 \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{t\_1 - \cos \lambda_2 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin phi1))) (t_1 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= lambda2 -3400000000.0)
     (atan2
      (*
       (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
       (cos phi2))
      (sin phi2))
     (if (<= lambda2 61000000000.0)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_1 (* (cos lambda1) t_0)))
       (atan2
        (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos phi2)))
        (- t_1 (* (cos lambda2) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3400000000.0) {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 61000000000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (cos(lambda1) * t_0)));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_1 - (cos(lambda2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_1 = cos(phi1) * sin(phi2)
    if (lambda2 <= (-3400000000.0d0)) then
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
    else if (lambda2 <= 61000000000.0d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (cos(lambda1) * t_0)))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0d0 - cos(phi2))), (t_1 - (cos(lambda2) * t_0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3400000000.0) {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 61000000000.0) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (Math.cos(lambda1) * t_0)));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda2) * (0.0 - Math.cos(phi2))), (t_1 - (Math.cos(lambda2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_1 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if lambda2 <= -3400000000.0:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	elif lambda2 <= 61000000000.0:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (math.cos(lambda1) * t_0)))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda2) * (0.0 - math.cos(phi2))), (t_1 - (math.cos(lambda2) * t_0)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -3400000000.0)
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 61000000000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_1 - Float64(cos(lambda1) * t_0)));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(phi2))), Float64(t_1 - Float64(cos(lambda2) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -3400000000.0)
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 61000000000.0)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_1 - (cos(lambda1) * t_0)));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_1 - (cos(lambda2) * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -3400000000.0], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 61000000000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -3.4e9

   1. Initial program 56.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 82.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 63.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -3.4e9 < lambda2 < 6.1e10

   1. Initial program 98.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \lambda_1}} \]

   if 6.1e10 < lambda2

   1. Initial program 67.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \lambda_2\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 66.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(0 - \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. sin-lowering-sin.f64 66.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 66.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(-\sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -3400000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 61000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 78.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -3400000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 61000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= lambda2 -3400000000.0)
     (atan2
      (*
       (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
       (cos phi2))
      (sin phi2))
     (if (<= lambda2 61000000000.0)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
       (atan2
        (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos phi2)))
        (- t_0 (* (cos lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3400000000.0) {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 61000000000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    if (lambda2 <= (-3400000000.0d0)) then
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
    else if (lambda2 <= 61000000000.0d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0d0 - cos(phi2))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3400000000.0) {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 61000000000.0) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(lambda1) * Math.cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda2) * (0.0 - Math.cos(phi2))), (t_0 - (Math.cos(lambda2) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if lambda2 <= -3400000000.0:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	elif lambda2 <= 61000000000.0:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(lambda1) * math.cos(phi2)))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda2) * (0.0 - math.cos(phi2))), (t_0 - (math.cos(lambda2) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -3400000000.0)
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 61000000000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(phi2))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -3400000000.0)
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 61000000000.0)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda2) * (0.0 - cos(phi2))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -3400000000.0], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 61000000000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -3.4e9

   1. Initial program 56.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 82.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 63.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -3.4e9 < lambda2 < 6.1e10

   1. Initial program 98.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   if 6.1e10 < lambda2

   1. Initial program 67.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 80.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \lambda_2\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 66.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(0 - \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. sin-lowering-sin.f64 66.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 66.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(-\sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -3400000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 61000000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 73.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -8.2e+16)
     t_0
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (- 0.0 (sin lambda2))
          (cos lambda1)
          (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e+16) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -8.2e+16)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - sin(lambda2)), cos(lambda1), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -8.2e+16], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -8.2e16 or 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 80.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 55.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -8.2e16 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 80.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 73.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. fma-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      21. cos-lowering-cos.f64 94.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 94.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \sin \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 70.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.8 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.75 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= lambda1 -1.8e+32)
     (atan2
      (* (sin lambda1) (cos phi2))
      (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
     (if (<= lambda1 2.75e+14)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       (atan2
        (*
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
         (cos phi2))
        (sin phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.8e+32) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	} else if (lambda1 <= 2.75e+14) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    if (lambda1 <= (-1.8d+32)) then
        tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))))
    else if (lambda1 <= 2.75d+14) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.8e+32) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(lambda1) * Math.cos(phi2)))));
	} else if (lambda1 <= 2.75e+14) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if lambda1 <= -1.8e+32:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(lambda1) * math.cos(phi2)))))
	elif lambda1 <= 2.75e+14:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -1.8e+32)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	elseif (lambda1 <= 2.75e+14)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -1.8e+32)
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	elseif (lambda1 <= 2.75e+14)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -1.8e+32], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2.75e+14], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -1.7999999999999998e32

   1. Initial program 68.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 70.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   if -1.7999999999999998e32 < lambda1 < 2.75e14

   1. Initial program 97.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 82.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 82.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 2.75e14 < lambda1

   1. Initial program 47.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 74.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.8 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.75 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 73.1% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -8.2e+16)
     t_0
     (if (<= phi1 1.55)
       (atan2
        (*
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e+16) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    if (phi1 <= (-8.2d+16)) then
        tmp = t_0
    else if (phi1 <= 1.55d0) then
        tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -8.2e+16) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.55) {
		tmp = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -8.2e+16:
		tmp = t_0
	elif phi1 <= 1.55:
		tmp = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -8.2e+16)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -8.2e+16)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.55)
		tmp = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -8.2e+16], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.55], N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -8.2e16 or 1.55000000000000004 < phi1

   1. Initial program 80.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 55.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -8.2e16 < phi1 < 1.55000000000000004

   1. Initial program 80.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 94.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -8.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 71.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 8.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
           (cos phi2))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -1.6e-5)
     t_0
     (if (<= phi2 8.6e-5)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.6e-5) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 8.6e-5) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-1.6d-5)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 8.6d-5) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.6e-5) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 8.6e-5) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.6e-5:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 8.6e-5:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.6e-5)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 8.6e-5)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.6e-5)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 8.6e-5)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.6e-5], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 8.6e-5], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.59999999999999993e-5 or 8.6000000000000003e-5 < phi2

   1. Initial program 74.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 91.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 91.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 64.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -1.59999999999999993e-5 < phi2 < 8.6000000000000003e-5

   1. Initial program 87.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 8.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 64.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0072:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.9 \cdot 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* (cos phi2) t_0)))
   (if (<= phi2 -0.0072)
     (atan2 t_1 (sin phi2))
     (if (<= phi2 2.9e-27)
       (atan2
        t_0
        (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       (atan2 t_1 (- (sin phi2) (* (cos phi2) (* (cos lambda1) phi1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * t_0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0072) {
		tmp = atan2(t_1, sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 2.9e-27) {
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * phi1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi2) * t_0
    if (phi2 <= (-0.0072d0)) then
        tmp = atan2(t_1, sin(phi2))
    else if (phi2 <= 2.9d-27) then
        tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * phi1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi2) * t_0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0072) {
		tmp = Math.atan2(t_1, Math.sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 2.9e-27) {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_1, (Math.sin(phi2) - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda1) * phi1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi2) * t_0
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.0072:
		tmp = math.atan2(t_1, math.sin(phi2))
	elif phi2 <= 2.9e-27:
		tmp = math.atan2(t_0, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = math.atan2(t_1, (math.sin(phi2) - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda1) * phi1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.0072)
		tmp = atan(t_1, sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 2.9e-27)
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(sin(phi2) - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi2) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.0072)
		tmp = atan2(t_1, sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 2.9e-27)
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * phi1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.0072], N[ArcTan[t$95$1 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2.9e-27], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.0071999999999999998

   1. Initial program 78.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 68.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 48.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 48.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -0.0071999999999999998 < phi2 < 2.90000000000000004e-27

   1. Initial program 86.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 2.90000000000000004e-27 < phi2

   1. Initial program 73.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right), \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \cos \lambda_1\right), \cos \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 50.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \left(\phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 66.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0072:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.9 \cdot 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 65.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0031:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0086:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{t\_0}}}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -0.0031)
     (atan2 (* (cos phi2) t_0) (sin phi2))
     (if (<= phi2 0.0086)
       (atan2
        t_0
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       (atan2 (/ (cos phi2) (/ 1.0 t_0)) (sin phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0031) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 0.0086) {
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / t_0)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-0.0031d0)) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
    else if (phi2 <= 0.0086d0) then
        tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0d0 / t_0)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0031) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), Math.sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 0.0086) {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) / (1.0 / t_0)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.0031:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), math.sin(phi2))
	elif phi2 <= 0.0086:
		tmp = math.atan2(t_0, ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) / (1.0 / t_0)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.0031)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 0.0086)
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) / Float64(1.0 / t_0)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.0031)
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 0.0086)
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / t_0)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.0031], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 0.0086], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.00309999999999999989

   1. Initial program 78.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 68.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 48.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 48.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -0.00309999999999999989 < phi2 < 0.0086

   1. Initial program 87.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 86.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 86.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 0.0086 < phi2

   1. Initial program 71.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 70.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 45.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 45.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 46.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 46.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 66.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0031:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0086:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 63.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.45 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.9 \cdot 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{t\_0}}}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -1.45e-10)
     (atan2 (* (cos phi2) t_0) (sin phi2))
     (if (<= phi2 2.9e-27)
       (atan2 t_0 (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))
       (atan2 (/ (cos phi2) (/ 1.0 t_0)) (sin phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.45e-10) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 2.9e-27) {
		tmp = atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / t_0)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-1.45d-10)) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
    else if (phi2 <= 2.9d-27) then
        tmp = atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    else
        tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0d0 / t_0)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.45e-10) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), Math.sin(phi2));
	} else if (phi2 <= 2.9e-27) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) / (1.0 / t_0)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.45e-10:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), math.sin(phi2))
	elif phi2 <= 2.9e-27:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) / (1.0 / t_0)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.45e-10)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 2.9e-27)
		tmp = atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) / Float64(1.0 / t_0)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.45e-10)
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	elseif (phi2 <= 2.9e-27)
		tmp = atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / t_0)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.45e-10], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2.9e-27], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.4499999999999999e-10

   1. Initial program 77.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 68.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -1.4499999999999999e-10 < phi2 < 2.90000000000000004e-27

   1. Initial program 86.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 86.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 85.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 85.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{0 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 2.90000000000000004e-27 < phi2

   1. Initial program 73.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 72.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 47.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 47.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 48.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 48.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.45 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.9 \cdot 10^{-27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 27: 39.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -6 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.5 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (atan2 (* (sin lambda1) (cos phi2)) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -6e+59)
     t_0
     (if (<= phi2 1.5e+34) (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)) t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -6e+59) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 1.5e+34) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-6d+59)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 1.5d+34) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -6e+59) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 1.5e+34) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -6e+59:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 1.5e+34:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -6e+59)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 1.5e+34)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -6e+59)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 1.5e+34)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -6e+59], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 1.5e+34], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -6.0000000000000001e59 or 1.50000000000000009e34 < phi2

   1. Initial program 72.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 70.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 30.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 30.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -6.0000000000000001e59 < phi2 < 1.50000000000000009e34

   1. Initial program 87.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 47.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 47.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 28: 49.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (sin phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), Math.sin(phi2));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), math.sin(phi2))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), sin(phi2))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 70.3%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 70.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 49.1%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 49.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Final simplification 49.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 29: 32.6% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.1%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.5%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 30: 32.4% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.6:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{0 - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -1.6)
   (atan2 (- 0.0 (sin lambda2)) phi2)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (* phi2 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* phi2 phi2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.6) {
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-1.6d0)) then
        tmp = atan2((0.0d0 - sin(lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (phi2 * phi2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.6) {
		tmp = Math.atan2((0.0 - Math.sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.6:
		tmp = math.atan2((0.0 - math.sin(lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.6)
		tmp = atan(Float64(0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(phi2 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(phi2 * phi2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.6)
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -1.6], N[ArcTan[N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(phi2 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.6000000000000001

   1. Initial program 78.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 14.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 14.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 11.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 11.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 13.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 16.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

   14. Simplified 16.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{0 - \sin \lambda_2}}{\phi_2} \]

   if -1.6000000000000001 < phi2

   1. Initial program 81.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 61.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 37.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 37.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 31: 29.8% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.1%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.5%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 28.7%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 32: 22.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin lambda1) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin(lambda1), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin(lambda1), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(lambda1), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 80.6%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.1%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.5%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 28.7%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

12. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 20.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

14. Simplified 20.2%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Bearing on a great circle"
  :precision binary64
  (atan2 (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2)) (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))