Cubic critical, medium range

Percentage Accurate: 31.6% → 99.1%

Time: 20.7s

Alternatives: 11

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < a \land a < 9007199254740992\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < b \land b < 9007199254740992\right)\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < c \land c < 9007199254740992\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 31.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.1% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\\ \frac{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(a \cdot -6\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(b + \sqrt{t\_0}\right) \cdot \left(b \cdot b + t\_0\right)}}{a \cdot 3} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* b b) (* a (* c -3.0)))))
   (/
    (/
     (+ (* (* (* a a) 9.0) (* c c)) (* (* a -6.0) (* c (* b b))))
     (* (+ b (sqrt t_0)) (+ (* b b) t_0)))
    (* a 3.0))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = (b * b) + (a * (c * -3.0));
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((b + sqrt(t_0)) * ((b * b) + t_0))) / (a * 3.0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = (b * b) + (a * (c * (-3.0d0)))
    code = (((((a * a) * 9.0d0) * (c * c)) + ((a * (-6.0d0)) * (c * (b * b)))) / ((b + sqrt(t_0)) * ((b * b) + t_0))) / (a * 3.0d0)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = (b * b) + (a * (c * -3.0));
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((b + Math.sqrt(t_0)) * ((b * b) + t_0))) / (a * 3.0);
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = (b * b) + (a * (c * -3.0))
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((b + math.sqrt(t_0)) * ((b * b) + t_0))) / (a * 3.0)

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -3.0)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(a * a) * 9.0) * Float64(c * c)) + Float64(Float64(a * -6.0) * Float64(c * Float64(b * b)))) / Float64(Float64(b + sqrt(t_0)) * Float64(Float64(b * b) + t_0))) / Float64(a * 3.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = (b * b) + (a * (c * -3.0));
	tmp = (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((b + sqrt(t_0)) * ((b * b) + t_0))) / (a * 3.0);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * 9.0), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * -6.0), $MachinePrecision] * N[(c * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b + N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   2. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left({b}^{3} \cdot b\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 30.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)}}}{3 \cdot a} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right) + 9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right) + -6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(9 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(9 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(\left(-6 \cdot a\right) \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-6 \cdot a\right), \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \left(c \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(-6 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)}}{3 \cdot a} \]

10. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(a \cdot -6\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)}}{a \cdot 3} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  (* -3.0 (* a c))
  (/ (/ 0.3333333333333333 a) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -3.0))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-3.0 * (a * c)) * ((0.3333333333333333 / a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-3.0d0) * (a * c)) * ((0.3333333333333333d0 / a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-3.0d0)))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-3.0 * (a * c)) * ((0.3333333333333333 / a) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-3.0 * (a * c)) * ((0.3333333333333333 / a) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-3.0 * Float64(a * c)) * Float64(Float64(0.3333333333333333 / a) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -3.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-3.0 * (a * c)) * ((0.3333333333333333 / a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-3.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{3 \cdot a}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{3 \cdot a} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 30.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right) \cdot \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, \left(a \cdot c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{a}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)} \cdot \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(a \cdot -6\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + c \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9 + c \cdot \left(\frac{a \cdot a}{b} \cdot 2.25\right)\right)}}{a \cdot 3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (+ (* (* (* a a) 9.0) (* c c)) (* (* a -6.0) (* c (* b b))))
   (+
    (* 4.0 (* b (* b b)))
    (* c (+ (* (* a b) -9.0) (* c (* (/ (* a a) b) 2.25))))))
  (* a 3.0)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (c * (((a * b) * -9.0) + (c * (((a * a) / b) * 2.25)))))) / (a * 3.0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (((((a * a) * 9.0d0) * (c * c)) + ((a * (-6.0d0)) * (c * (b * b)))) / ((4.0d0 * (b * (b * b))) + (c * (((a * b) * (-9.0d0)) + (c * (((a * a) / b) * 2.25d0)))))) / (a * 3.0d0)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (c * (((a * b) * -9.0) + (c * (((a * a) / b) * 2.25)))))) / (a * 3.0);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (c * (((a * b) * -9.0) + (c * (((a * a) / b) * 2.25)))))) / (a * 3.0)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(a * a) * 9.0) * Float64(c * c)) + Float64(Float64(a * -6.0) * Float64(c * Float64(b * b)))) / Float64(Float64(4.0 * Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(c * Float64(Float64(Float64(a * b) * -9.0) + Float64(c * Float64(Float64(Float64(a * a) / b) * 2.25)))))) / Float64(a * 3.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (((((a * a) * 9.0) * (c * c)) + ((a * -6.0) * (c * (b * b)))) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (c * (((a * b) * -9.0) + (c * (((a * a) / b) * 2.25)))))) / (a * 3.0);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * 9.0), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * -6.0), $MachinePrecision] * N[(c * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(4.0 * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(N[(a * b), $MachinePrecision] * -9.0), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] * 2.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, a\right)\right) \]

   2. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right), \mathsf{neg}\left({b}^{3} \cdot b\right)\right)}{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 30.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)}}}{3 \cdot a} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right) + 9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right) + -6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(9 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(9 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(9 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(-6 \cdot \left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(\left(-6 \cdot a\right) \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-6 \cdot a\right), \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \left({b}^{2} \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \left(c \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(-6 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)}}{3 \cdot a} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{3} + c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{3}\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left({b}^{3}\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    3. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(c \cdot \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(-3 \cdot \left(a \cdot b\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    9. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + -3 \cdot \left(a \cdot b\right)\right) + c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(-6 \cdot \left(a \cdot b\right) + -3 \cdot \left(a \cdot b\right)\right), \left(c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    11. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(-6 + -3\right)\right), \left(c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot b\right), \left(-6 + -3\right)\right), \left(c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, b\right), \left(-6 + -3\right)\right), \left(c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, b\right), -9\right), \left(c \cdot \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), 9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-6, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, b\right), -9\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-9}{4} \cdot \frac{{a}^{2}}{b} + \frac{9}{2} \cdot \frac{{a}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(3, a\right)\right) \]

12. Simplified 97.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(-6 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + c \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9 + c \cdot \left(\frac{a \cdot a}{b} \cdot 2.25\right)\right)}}}{3 \cdot a} \]

13. Final simplification 97.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot 9\right) \cdot \left(c \cdot c\right) + \left(a \cdot -6\right) \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + c \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9 + c \cdot \left(\frac{a \cdot a}{b} \cdot 2.25\right)\right)}}{a \cdot 3} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{c}{\frac{b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.5625\right)}{b \cdot b} + a \cdot -0.375}} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (*
   c
   (/
    c
    (/ (* b (* b b)) (+ (/ (* c (* (* a a) -0.5625)) (* b b)) (* a -0.375)))))
  (/ (* c 0.5) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (c / ((b * (b * b)) / (((c * ((a * a) * -0.5625)) / (b * b)) + (a * -0.375))))) - ((c * 0.5) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (c / ((b * (b * b)) / (((c * ((a * a) * (-0.5625d0))) / (b * b)) + (a * (-0.375d0)))))) - ((c * 0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (c / ((b * (b * b)) / (((c * ((a * a) * -0.5625)) / (b * b)) + (a * -0.375))))) - ((c * 0.5) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * (c / ((b * (b * b)) / (((c * ((a * a) * -0.5625)) / (b * b)) + (a * -0.375))))) - ((c * 0.5) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * Float64(c / Float64(Float64(b * Float64(b * b)) / Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(a * a) * -0.5625)) / Float64(b * b)) + Float64(a * -0.375))))) - Float64(Float64(c * 0.5) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * (c / ((b * (b * b)) / (((c * ((a * a) * -0.5625)) / (b * b)) + (a * -0.375))))) - ((c * 0.5) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * N[(c / N[(N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(c * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -0.5625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} + \frac{a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-0.5}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   13. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + -0.375 \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-0.5}{b}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot c} \]

    2. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)}{\mathsf{neg}\left(b\right)} \cdot c \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \frac{\frac{1}{2}}{\mathsf{neg}\left(b\right)} \cdot c \]

    4. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \frac{\frac{1}{2} \cdot c}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(b\right)}} \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{b}\right)} \]

    6. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right) \]

    7. fma-undefine N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}, \color{blue}{c}, \mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right) \]

    8. fmm-undef N/A

       \[\leadsto \left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c - \color{blue}{\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}} \]

    9. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(c \cdot \frac{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \frac{-3}{8} \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c\right), \color{blue}{\left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 96.5%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \frac{c}{\frac{b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\frac{c \cdot \left(-0.5625 \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + a \cdot -0.375}} - \frac{c \cdot 0.5}{b}} \]

13. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto c \cdot \frac{c}{\frac{b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.5625\right)}{b \cdot b} + a \cdot -0.375}} - \frac{c \cdot 0.5}{b} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.4% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right)}{b \cdot b} + a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-0.5}{b}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (*
    c
    (/ (+ (/ (* -0.5625 (* (* a a) c)) (* b b)) (* a -0.375)) (* b (* b b))))
   (/ -0.5 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-0.5625 * ((a * a) * c)) / (b * b)) + (a * -0.375)) / (b * (b * b)))) + (-0.5 / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((c * (((((-0.5625d0) * ((a * a) * c)) / (b * b)) + (a * (-0.375d0))) / (b * (b * b)))) + ((-0.5d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-0.5625 * ((a * a) * c)) / (b * b)) + (a * -0.375)) / (b * (b * b)))) + (-0.5 / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((c * ((((-0.5625 * ((a * a) * c)) / (b * b)) + (a * -0.375)) / (b * (b * b)))) + (-0.5 / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(-0.5625 * Float64(Float64(a * a) * c)) / Float64(b * b)) + Float64(a * -0.375)) / Float64(b * Float64(b * b)))) + Float64(-0.5 / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((c * ((((-0.5625 * ((a * a) * c)) / (b * b)) + (a * -0.375)) / (b * (b * b)))) + (-0.5 / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(c * N[(N[(N[(N[(-0.5625 * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} + \frac{a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-0.5}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-3}{8} \cdot a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{16} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{16} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   13. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{16}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + -0.375 \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-0.5}{b}\right) \]

11. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right)}{b \cdot b} + a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-0.5}{b}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.6% accurate, 6.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (+ (/ (* c -0.5) b) (/ (* -0.375 (* c (* a c))) (* b (* b b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-0.5d0)) / b) + (((-0.375d0) * (c * (a * c))) / (b * (b * b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -0.5) / b) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(c * Float64(a * c))) / Float64(b * Float64(b * b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -0.5) / b) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * (b * b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(c * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + \left(a \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right) \cdot \frac{-3}{8} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \color{blue}{\left(\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \frac{-3}{8}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \color{blue}{\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{b}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(a \cdot \left(\frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}}\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\left(a \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-3}{8}}\right)\right) \]

   12. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} \cdot \frac{-3}{8}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}}\right)\right) \]

   14. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} \]

8. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \frac{c \cdot -0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.6% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (* c -0.5) (/ (* -0.375 (* c (* a c))) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-0.5d0)) + (((-0.375d0) * (c * (a * c))) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -0.5) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(c * Float64(a * c))) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (a * c))) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(c * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left({c}^{2} \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(\left(c \cdot c\right) \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 93.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

7. Simplified 93.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

8. Final simplification 93.6%

   \[\leadsto \frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b \cdot b}}{b} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.3% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (+ (/ -0.5 b) (/ (* -0.375 (* a c)) (* b (* b b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 / b) + ((-0.375 * (a * c)) / (b * (b * b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-0.5d0) / b) + (((-0.375d0) * (a * c)) / (b * (b * b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 / b) + ((-0.375 * (a * c)) / (b * (b * b))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-0.5 / b) + ((-0.375 * (a * c)) / (b * (b * b))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-0.5 / b) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(a * c)) / Float64(b * Float64(b * b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-0.5 / b) + ((-0.375 * (a * c)) / (b * (b * b))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\left(\frac{-3}{8} \cdot a\right) \cdot c}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right) + \color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-3}{8}} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{b}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-3}{8}} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\left(\frac{-3}{8} \cdot a\right) \cdot c}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right) \]

   17. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 93.4%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]

8. Final simplification 93.4%

   \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.3% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5 + -0.375 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ (+ -0.5 (* -0.375 (* a (/ c (* b b))))) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 + (-0.375 * (a * (c / (b * b))))) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-0.5d0) + ((-0.375d0) * (a * (c / (b * b))))) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 + (-0.375 * (a * (c / (b * b))))) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-0.5 + (-0.375 * (a * (c / (b * b))))) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-0.5 + Float64(-0.375 * Float64(a * Float64(c / Float64(b * b))))) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-0.5 + (-0.375 * (a * (c / (b * b))))) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-0.5 + N[(-0.375 * N[(a * N[(c / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} + \frac{a \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-0.5}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}}{b}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(\frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   6. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 93.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

10. Simplified 93.4%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right) + -0.5}{b}} \]

11. Final simplification 93.4%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5 + -0.375 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 81.1% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (* c -0.5) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-0.5d0)) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -0.5) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -0.5) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -0.5) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 80.9% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 29.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 29.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 29.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{b} \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot \color{blue}{c} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \color{blue}{c}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 82.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), c\right) \]

9. Applied egg-rr 82.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 82.8%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.1102230246251565e-16 a) (< a 9007199254740992.0)) (and (< 1.1102230246251565e-16 b) (< b 9007199254740992.0))) (and (< 1.1102230246251565e-16 c) (< c 9007199254740992.0)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))