Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 18.3% → 99.9%

Time: 17.1s

Alternatives: 11

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 18.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{-0.5}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ c -0.5) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* c (* -4.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / -0.5) / (b + sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / (-0.5d0)) / (b + sqrt(((b * b) + (c * ((-4.0d0) * a)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / -0.5) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / -0.5) / (b + math.sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / -0.5) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(-4.0 * a))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / -0.5) / (b + sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / -0.5), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(-4.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    3. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    5. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    6. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{\frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    7. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{{a}^{-1}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    8. pow-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{\left(-1 - -1\right)}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{0}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}}\right), 1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    12. frac-2neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    13. remove-double-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    17. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right) \]

    18. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{-0.5} \cdot 1}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{\frac{-1}{2}} \cdot 1\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)}\right) \]

    2. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{\frac{-1}{2}}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)}\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot -4\right) \cdot a}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -4\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-4, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{-0.5}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ -2.0 (+ b (sqrt (+ (* b b) (* c (* -4.0 a))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-2.0d0) / (b + sqrt(((b * b) + (c * ((-4.0d0) * a))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + Math.sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-2.0 / (b + math.sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-2.0 / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(-4.0 * a)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (c * (-4.0 * a))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-2.0 / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(-4.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    3. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    5. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    6. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{\frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    7. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{{a}^{-1}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    8. pow-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{\left(-1 - -1\right)}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{0}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}}\right), 1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    12. frac-2neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    13. remove-double-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    17. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right) \]

    18. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{-0.5} \cdot 1}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c}{\frac{-1}{2}}}{\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}} \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{1}{\frac{-1}{2}}}{\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}} \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{-1}{2}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\frac{-1}{2}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}\right)}\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{-1}{2}}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)}\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot -4\right) \cdot a}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -4\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-4, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.5% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{\frac{-0.5 \cdot b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{c \cdot 0.5}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  0.5
  (+ (/ (* -0.5 b) c) (* a (+ (* a (/ (* c 0.5) (* b (* b b)))) (/ 0.5 b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / ((((-0.5d0) * b) / c) + (a * ((a * ((c * 0.5d0) / (b * (b * b)))) + (0.5d0 / b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 * b) / c) + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(Float64(c * 0.5) / Float64(b * Float64(b * b)))) + Float64(0.5 / b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 * b), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(a * N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \color{blue}{a}} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{a}} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{a} \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a}} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot a} \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot a}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{0.5 \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)}} \]

10. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto \frac{0.5}{\frac{-0.5 \cdot b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{c \cdot 0.5}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.7% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{a \cdot \left(c \cdot \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{b}\right) - \frac{b}{a}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (* a (- (* c (+ (/ (* c a) (* b (* b b))) (/ 1.0 b))) (/ b a)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (a * ((c * (((c * a) / (b * (b * b))) + (1.0 / b))) - (b / a)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (a * ((c * (((c * a) / (b * (b * b))) + (1.0d0 / b))) - (b / a)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (a * ((c * (((c * a) / (b * (b * b))) + (1.0 / b))) - (b / a)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (a * ((c * (((c * a) / (b * (b * b))) + (1.0 / b))) - (b / a)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(a * Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(c * a) / Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(1.0 / b))) - Float64(b / a))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (a * ((c * (((c * a) / (b * (b * b))) + (1.0 / b))) - (b / a)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(a * N[(N[(c * N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    7. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(0 - a \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    11. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    16. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, b\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    17. /-lowering-/.f64 96.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 96.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right) \cdot a}} \]

    2. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right) \cdot a\right)}} \]

    3. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \frac{c}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right) \cdot a}\right)} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right) \cdot a\right)\right)}\right) \]

    5. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right) \cdot a\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 96.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{-a \cdot \left(c \cdot \left(\frac{c \cdot a}{0 - b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)}} \]

15. Final simplification 96.7%

    \[\leadsto \frac{c}{a \cdot \left(c \cdot \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{b}\right) - \frac{b}{a}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.4% accurate, 5.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} - \frac{b}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ c a) (- (/ (+ c (/ (* a (* c c)) (* b b))) b) (/ b a))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / (((c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / b) - (b / a));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / (((c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / b) - (b / a))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / (((c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / b) - (b / a));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / (((c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / b) - (b / a))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(Float64(c + Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b) - Float64(b / a)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / (((c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / b) - (b / a));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(c + N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    7. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(0 - a \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    11. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{b}\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    16. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, b\right)\right)\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right)\right) \]

    17. /-lowering-/.f64 96.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 96.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{c \cdot \left(\frac{0 - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}}} \]

13. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{b}, a\right)\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c - \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    6. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(0 - c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 96.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right)\right) \]

15. Simplified 96.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{\frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} + \frac{b}{a}} \]

16. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} - \frac{b}{a}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{-0.5}}{b + \left(b + -2 \cdot \frac{c \cdot a}{b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ c -0.5) (+ b (+ b (* -2.0 (/ (* c a) b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / -0.5) / (b + (b + (-2.0 * ((c * a) / b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / (-0.5d0)) / (b + (b + ((-2.0d0) * ((c * a) / b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / -0.5) / (b + (b + (-2.0 * ((c * a) / b))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / -0.5) / (b + (b + (-2.0 * ((c * a) / b))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / -0.5) / Float64(b + Float64(b + Float64(-2.0 * Float64(Float64(c * a) / b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / -0.5) / (b + (b + (-2.0 * ((c * a) / b))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / -0.5), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(-2.0 * N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    3. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{\frac{1}{2}}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \cdot \frac{1}{a}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    5. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    6. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{\frac{1}{a}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    7. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{a}^{-1}}{{a}^{-1}}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    8. pow-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{\left(-1 - -1\right)}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot {a}^{0}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}} \cdot 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\frac{1}{2}}\right), 1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    12. frac-2neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    13. remove-double-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    17. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right) \]

    18. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{-0.5} \cdot 1}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 94.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), b\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 94.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{-0.5} \cdot 1}{b + \color{blue}{\left(b + -2 \cdot \frac{c \cdot a}{b}\right)}} \]

15. Final simplification 94.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{-0.5}}{b + \left(b + -2 \cdot \frac{c \cdot a}{b}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.0% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\frac{a \cdot \left(\frac{c \cdot a}{b} - b\right)}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (/ (* a (- (/ (* c a) b) b)) a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((a * (((c * a) / b) - b)) / a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / ((a * (((c * a) / b) - b)) / a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((a * (((c * a) / b) - b)) / a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / ((a * (((c * a) / b) - b)) / a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * a) / b) - b)) / a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / ((a * (((c * a) / b) - b)) / a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(a * N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(\frac{b + -1 \cdot \frac{a \cdot c}{b}}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b + -1 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right), a\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b - \frac{a \cdot c}{b}\right), a\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \left(\frac{a \cdot c}{b}\right)\right), a\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 94.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

12. Simplified 94.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{\color{blue}{\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a} \cdot a}} \]

    2. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a} \cdot a\right)}} \]

    3. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \frac{c}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a} \cdot a}\right)} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a} \cdot a\right)\right)}\right) \]

    5. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\left(b - \frac{c \cdot a}{b}\right) \cdot a}{a}\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b - \frac{c \cdot a}{b}\right) \cdot a\right), a\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b - \frac{c \cdot a}{b}\right), a\right), a\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \left(\frac{c \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 94.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 94.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{-\frac{\left(b - \frac{c \cdot a}{b}\right) \cdot a}{a}}} \]

15. Final simplification 94.8%

    \[\leadsto \frac{c}{\frac{a \cdot \left(\frac{c \cdot a}{b} - b\right)}{a}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 8: 94.8% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{\frac{-0.5 \cdot b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ 0.5 (+ (/ (* -0.5 b) c) (/ (* a 0.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + ((a * 0.5) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / ((((-0.5d0) * b) / c) + ((a * 0.5d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + ((a * 0.5) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + ((a * 0.5) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 * b) / c) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / (((-0.5 * b) / c) + ((a * 0.5) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 * b), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \color{blue}{a}} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{a}} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{a} \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a}} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot a} \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot a}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot b\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{a}{b}}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 94.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

9. Simplified 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}} \]

10. Final simplification 94.5%

    \[\leadsto \frac{0.5}{\frac{-0.5 \cdot b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 94.7% accurate, 10.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (/ c a) (- (/ c b) (/ b a))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((c / b) - (b / a))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / ((c / b) - (b / a));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{b} + \frac{b}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}}\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} - \color{blue}{\frac{c}{b}}\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \left(\frac{\color{blue}{c}}{b}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 94.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 94.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{\frac{b}{a} - \frac{c}{b}}} \]

13. Final simplification 94.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.0% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 89.7%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 89.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 89.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right) \]

10. Simplified 89.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}} \]

11. Final simplification 89.7%

    \[\leadsto \frac{c}{0 - b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 1.6% accurate, 38.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.7%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(\frac{b + -1 \cdot \frac{a \cdot c}{b}}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b + -1 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right), a\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b - \frac{a \cdot c}{b}\right), a\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \left(\frac{a \cdot c}{b}\right)\right), a\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 94.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

12. Simplified 94.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{\frac{b - \frac{c \cdot a}{b}}{a}}} \]

13. Taylor expanded in c around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
14. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 1.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right) \]

15. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
16. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))