Spherical law of cosines

Percentage Accurate: 74.3% → 94.4%

Time: 27.1s

Alternatives: 30

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (acos
   (+
    (* (sin phi1) (sin phi2))
    (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
  R))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * r
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2))))) * R

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))) * R)
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * R), $MachinePrecision]

Initial Program: 74.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (acos
   (+
    (* (sin phi1) (sin phi2))
    (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
  R))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * r
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2))))) * R

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))) * R)
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))))) * R;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * R), $MachinePrecision]

Alternative 1: 94.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (acos
   (+
    (/ (sin phi1) (/ 1.0 (sin phi2)))
    (*
     (* (cos phi1) (cos phi2))
     (fma (sin lambda2) (sin lambda1) (* (cos lambda1) (cos lambda2))))))
  R))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return acos(((sin(phi1) / (1.0 / sin(phi2))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), (cos(lambda1) * cos(lambda2)))))) * R;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(acos(Float64(Float64(sin(phi1) / Float64(1.0 / sin(phi2))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))))) * R)
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * R), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

4. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]
5. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

6. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1} \cdot \frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}{\frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

8. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (acos
   (+
    (*
     (* (cos phi1) (cos phi2))
     (fma (sin lambda2) (sin lambda1) (* (cos lambda1) (cos lambda2))))
    (* (sin phi1) (sin phi2))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos((((cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), (cos(lambda1) * cos(lambda2)))) + (sin(phi1) * sin(phi2))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))) + Float64(sin(phi1) * sin(phi2)))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

4. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

5. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (acos
   (+
    (* (sin phi1) (sin phi2))
    (*
     (* (cos phi1) (cos phi2))
     (fma (cos lambda2) (cos lambda1) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(cos(lambda2), cos(lambda1), (sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * fma(cos(lambda2), cos(lambda1), Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

4. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

5. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 83.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -3.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi2 -3.8e-6)
     (* R (acos (+ (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1))) t_0)))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (+
          (* (sin phi1) (sin phi2))
          (*
           (cos phi1)
           (fma
            (sin lambda2)
            (sin lambda1)
            (* (cos lambda1) (cos lambda2)))))))
       (*
        R
        (acos (+ t_0 (/ 1.0 (/ 1.0 (/ (sin phi2) (/ 1.0 (sin phi1))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -3.8e-6) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi1) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), (cos(lambda1) * cos(lambda2))))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -3.8e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(cos(phi1) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi2) / Float64(1.0 / sin(phi1))))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -3.8e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -3.8e-6

   1. Initial program 75.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 75.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 75.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 75.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 75.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -3.8e-6 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \phi_1}, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 92.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 76.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -3.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (acos
   (+
    (/ (sin phi1) (/ 1.0 (sin phi2)))
    (*
     (* (cos phi1) (cos phi2))
     (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos(((sin(phi1) / (1.0 / sin(phi2))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * acos(((sin(phi1) / (1.0d0 / sin(phi2))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * Math.acos(((Math.sin(phi1) / (1.0 / Math.sin(phi2))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * math.acos(((math.sin(phi1) / (1.0 / math.sin(phi2))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) / Float64(1.0 / sin(phi2))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * acos(((sin(phi1) / (1.0 / sin(phi2))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

4. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]
5. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

6. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1} \cdot \frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}{\frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

8. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

10. Applied egg-rr 95.8%

    \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

11. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sin \phi_1}{\frac{1}{\sin \phi_2}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (acos
   (+
    (* (sin phi1) (sin phi2))
    (*
     (* (cos phi1) (cos phi2))
     (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 95.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

4. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

5. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 83.7% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -6.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \sin \phi_1 \cdot \phi_2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi2 -6.2e-7)
     (* R (acos (+ (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1))) t_0)))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (+
          (*
           (cos phi1)
           (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))
          (* (sin phi1) phi2))))
       (*
        R
        (acos (+ t_0 (/ 1.0 (/ 1.0 (/ (sin phi2) (/ 1.0 (sin phi1))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -6.2e-7) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))) + (sin(phi1) * phi2)));
	} else {
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-6.2d-7)) then
        tmp = r * acos(((1.0d0 / ((1.0d0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos(((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))) + (sin(phi1) * phi2)))
    else
        tmp = r * acos((t_0 + (1.0d0 / (1.0d0 / (sin(phi2) / (1.0d0 / sin(phi1)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -6.2e-7) {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / ((1.0 / Math.sin(phi2)) / Math.sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos(((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))) + (Math.sin(phi1) * phi2)));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (Math.sin(phi2) / (1.0 / Math.sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -6.2e-7:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / ((1.0 / math.sin(phi2)) / math.sin(phi1))) + t_0))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos(((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))) + (math.sin(phi1) * phi2)))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (math.sin(phi2) / (1.0 / math.sin(phi1)))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -6.2e-7)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))) + Float64(sin(phi1) * phi2))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi2) / Float64(1.0 / sin(phi1))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -6.2e-7)
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))) + (sin(phi1) * phi2)));
	else
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -6.2e-7], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -6.1999999999999999e-7

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -6.1999999999999999e-7 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right), R\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 76.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -6.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \sin \phi_1 \cdot \phi_2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 83.7% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -9.5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi2 -9.5e-8)
     (* R (acos (+ (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1))) t_0)))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (+
          (* (cos phi1) (* (sin lambda2) (sin lambda1)))
          (* (cos phi1) (* (cos lambda1) (cos lambda2))))))
       (*
        R
        (acos (+ t_0 (/ 1.0 (/ 1.0 (/ (sin phi2) (/ 1.0 (sin phi1))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -9.5e-8) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * (sin(lambda2) * sin(lambda1))) + (cos(phi1) * (cos(lambda1) * cos(lambda2)))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-9.5d-8)) then
        tmp = r * acos(((1.0d0 / ((1.0d0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos(((cos(phi1) * (sin(lambda2) * sin(lambda1))) + (cos(phi1) * (cos(lambda1) * cos(lambda2)))))
    else
        tmp = r * acos((t_0 + (1.0d0 / (1.0d0 / (sin(phi2) / (1.0d0 / sin(phi1)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -9.5e-8) {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / ((1.0 / Math.sin(phi2)) / Math.sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos(((Math.cos(phi1) * (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (Math.sin(phi2) / (1.0 / Math.sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -9.5e-8:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / ((1.0 / math.sin(phi2)) / math.sin(phi1))) + t_0))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos(((math.cos(phi1) * (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)))))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (math.sin(phi2) / (1.0 / math.sin(phi1)))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -9.5e-8)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi2) / Float64(1.0 / sin(phi1))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -9.5e-8)
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * (sin(lambda2) * sin(lambda1))) + (cos(phi1) * (cos(lambda1) * cos(lambda2)))));
	else
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -9.5e-8], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -9.50000000000000036e-8

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -9.50000000000000036e-8 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      4. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_1 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right), R\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_1\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \cos \phi_1\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \cos \phi_1\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \cos \phi_1\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \cos \phi_1\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \phi_1\right)\right)\right), R\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_1 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 76.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -9.5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -7.2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi2 -7.2e-8)
     (* R (acos (+ (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1))) t_0)))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       (*
        R
        (acos (+ t_0 (/ 1.0 (/ 1.0 (/ (sin phi2) (/ 1.0 (sin phi1))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -7.2e-8) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-7.2d-8)) then
        tmp = r * acos(((1.0d0 / ((1.0d0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos((t_0 + (1.0d0 / (1.0d0 / (sin(phi2) / (1.0d0 / sin(phi1)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -7.2e-8) {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / ((1.0 / Math.sin(phi2)) / Math.sin(phi1))) + t_0));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (Math.sin(phi2) / (1.0 / Math.sin(phi1)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -7.2e-8:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / ((1.0 / math.sin(phi2)) / math.sin(phi1))) + t_0))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (math.sin(phi2) / (1.0 / math.sin(phi1)))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -7.2e-8)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi2) / Float64(1.0 / sin(phi1))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -7.2e-8)
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + t_0));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos((t_0 + (1.0 / (1.0 / (sin(phi2) / (1.0 / sin(phi1)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -7.2e-8], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -7.19999999999999962e-8

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -7.19999999999999962e-8 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\sin \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 76.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -7.2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{\frac{1}{\frac{\sin \phi_2}{\frac{1}{\sin \phi_1}}}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.35 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) + \frac{-1}{\frac{\frac{-1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -1.35e-8)
   (*
    R
    (acos
     (+
      (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1)))
      (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (if (<= phi2 3.55e-16)
     (*
      R
      (acos
       (*
        (cos phi1)
        (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
     (*
      R
      (acos
       (+
        (* (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda2 lambda1))))
        (/ -1.0 (/ (/ -1.0 (sin phi1)) (sin phi2)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.35e-8) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))) + (-1.0 / ((-1.0 / sin(phi1)) / sin(phi2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-1.35d-8)) then
        tmp = r * acos(((1.0d0 / ((1.0d0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos(((cos(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))) + ((-1.0d0) / (((-1.0d0) / sin(phi1)) / sin(phi2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.35e-8) {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / ((1.0 / Math.sin(phi2)) / Math.sin(phi1))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))) + (-1.0 / ((-1.0 / Math.sin(phi1)) / Math.sin(phi2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.35e-8:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / ((1.0 / math.sin(phi2)) / math.sin(phi1))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos((lambda2 - lambda1)))) + (-1.0 / ((-1.0 / math.sin(phi1)) / math.sin(phi2)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.35e-8)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))) + Float64(-1.0 / Float64(Float64(-1.0 / sin(phi1)) / sin(phi2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.35e-8)
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos(((cos(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))) + (-1.0 / ((-1.0 / sin(phi1)) / sin(phi2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -1.35e-8], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 / N[(N[(-1.0 / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.35000000000000001e-8

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -1.35000000000000001e-8 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_1}\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \sin \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   8. Applied egg-rr 76.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) - \frac{1}{\frac{\frac{-1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}\right)} \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.35 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) + \frac{-1}{\frac{\frac{-1}{\sin \phi_1}}{\sin \phi_2}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.45 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -1.45e-6)
     (*
      R
      (acos
       (+
        (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (sin phi2)) (sin phi1)))
        (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       (*
        R
        (acos
         (+ (* (sin phi1) (sin phi2)) (* (cos phi2) (* (cos phi1) t_0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.45e-6) {
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-1.45d-6)) then
        tmp = r * acos(((1.0d0 / ((1.0d0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.45e-6) {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / ((1.0 / Math.sin(phi2)) / Math.sin(phi1))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0)));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + (Math.cos(phi2) * (Math.cos(phi1) * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.45e-6:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / ((1.0 / math.sin(phi2)) / math.sin(phi1))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + (math.cos(phi2) * (math.cos(phi1) * t_0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.45e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0))));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(cos(phi2) * Float64(cos(phi1) * t_0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.45e-6)
		tmp = R * acos(((1.0 / ((1.0 / sin(phi2)) / sin(phi1))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.45e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.4500000000000001e-6

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_2}\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \sin \phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   if -1.4500000000000001e-6 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{R}\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot R} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.45 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_2}}{\sin \phi_1}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 83.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* (sin phi1) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -4.8e-6)
     (* R (acos (+ t_1 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))))
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       (* R (acos (+ t_1 (* (cos phi2) (* (cos phi1) t_0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.8e-6) {
		tmp = R * acos((t_1 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_1 + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin(phi1) * sin(phi2)
    if (phi2 <= (-4.8d-6)) then
        tmp = r * acos((t_1 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)))
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos((t_1 + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.8e-6) {
		tmp = R * Math.acos((t_1 + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0)));
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_1 + (Math.cos(phi2) * (Math.cos(phi1) * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.8e-6:
		tmp = R * math.acos((t_1 + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)))
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_1 + (math.cos(phi2) * (math.cos(phi1) * t_0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(sin(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.8e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_1 + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0))));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_1 + Float64(cos(phi2) * Float64(cos(phi1) * t_0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.8e-6)
		tmp = R * acos((t_1 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)));
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos((t_1 + (cos(phi2) * (cos(phi1) * t_0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4.8e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$1 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$1 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -4.7999999999999998e-6

   1. Initial program 75.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   if -4.7999999999999998e-6 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{R}\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot R} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 83.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          R
          (acos
           (+
            (* (sin phi1) (sin phi2))
            (* (cos phi2) (* (cos phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))))
   (if (<= phi2 -4.5e-7)
     t_0
     (if (<= phi2 3.55e-16)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       t_0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.5e-7) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = r * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    if (phi2 <= (-4.5d-7)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 3.55d-16) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = R * Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + (Math.cos(phi2) * (Math.cos(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.5e-7) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 3.55e-16) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = R * math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + (math.cos(phi2) * (math.cos(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.5e-7:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 3.55e-16:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(cos(phi2) * Float64(cos(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.5e-7)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi2) * (cos(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.5e-7)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 3.55e-16)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4.5e-7], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 3.55e-16], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -4.4999999999999998e-7 or 3.55e-16 < phi2

   1. Initial program 76.1%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{R}\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot R} \]

   if -4.4999999999999998e-7 < phi2 < 3.55e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.55 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 74.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_1 + t\_0 \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0098:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_1 + t\_0 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2))) (t_1 (* (sin phi1) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -5.2e-6)
     (* R (acos (+ t_1 (* t_0 (cos lambda2)))))
     (if (<= phi2 0.0098)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       (* R (acos (+ t_1 (* t_0 (cos lambda1)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = sin(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.2e-6) {
		tmp = R * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda2))));
	} else if (phi2 <= 0.0098) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = sin(phi1) * sin(phi2)
    if (phi2 <= (-5.2d-6)) then
        tmp = r * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda2))))
    else if (phi2 <= 0.0098d0) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.2e-6) {
		tmp = R * Math.acos((t_1 + (t_0 * Math.cos(lambda2))));
	} else if (phi2 <= 0.0098) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_1 + (t_0 * Math.cos(lambda1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.sin(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if phi2 <= -5.2e-6:
		tmp = R * math.acos((t_1 + (t_0 * math.cos(lambda2))))
	elif phi2 <= 0.0098:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_1 + (t_0 * math.cos(lambda1))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = Float64(sin(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -5.2e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_1 + Float64(t_0 * cos(lambda2)))));
	elseif (phi2 <= 0.0098)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_1 + Float64(t_0 * cos(lambda1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = sin(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -5.2e-6)
		tmp = R * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda2))));
	elseif (phi2 <= 0.0098)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos((t_1 + (t_0 * cos(lambda1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -5.2e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$1 + N[(t$95$0 * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 0.0098], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$1 + N[(t$95$0 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -5.20000000000000019e-6

   1. Initial program 75.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 54.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot R \]

   if -5.20000000000000019e-6 < phi2 < 0.0097999999999999997

   1. Initial program 74.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 91.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 91.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 0.0097999999999999997 < phi2

   1. Initial program 75.4%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 57.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 57.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0098:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 74.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.26 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0098:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(t\_0 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin phi1) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -1.26e-5)
     (* R (acos (+ t_0 (* (cos phi1) (* (cos phi2) (cos lambda2))))))
     (if (<= phi2 0.0098)
       (*
        R
        (acos
         (*
          (cos phi1)
          (+
           (* (cos lambda1) (cos lambda2))
           (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
       (* R (acos (+ t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos lambda1)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.26e-5) {
		tmp = R * acos((t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 0.0098) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(lambda1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(phi1) * sin(phi2)
    if (phi2 <= (-1.26d-5)) then
        tmp = r * acos((t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))))
    else if (phi2 <= 0.0098d0) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(lambda1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.26e-5) {
		tmp = R * Math.acos((t_0 + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos(lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 0.0098) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((t_0 + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos(lambda1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(phi1) * math.sin(phi2)
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.26e-5:
		tmp = R * math.acos((t_0 + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos(lambda2)))))
	elif phi2 <= 0.0098:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos((t_0 + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos(lambda1))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.26e-5)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(lambda2))))));
	elseif (phi2 <= 0.0098)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(t_0 + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(lambda1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(phi1) * sin(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.26e-5)
		tmp = R * acos((t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))));
	elseif (phi2 <= 0.0098)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * cos(lambda1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.26e-5], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 0.0098], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(t$95$0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.25999999999999996e-5

   1. Initial program 75.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right) + \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 54.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if -1.25999999999999996e-5 < phi2 < 0.0097999999999999997

   1. Initial program 74.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 91.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 91.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 0.0097999999999999997 < phi2

   1. Initial program 75.4%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 57.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 57.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right) \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.26 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0098:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 74.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1)))))
   (if (<= phi2 -4.2e-7)
     (*
      R
      (acos
       (+
        (* (sin phi1) (sin phi2))
        (* (cos phi1) (* (cos phi2) (cos lambda2))))))
     (if (<= phi2 6.5e-15)
       (* R (acos (* (cos phi1) t_0)))
       (* R (acos (* (cos phi2) t_0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.2e-7) {
		tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 6.5e-15) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))
    if (phi2 <= (-4.2d-7)) then
        tmp = r * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))))
    else if (phi2 <= 6.5d-15) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * t_0))
    else
        tmp = r * acos((cos(phi2) * t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.2e-7) {
		tmp = R * Math.acos(((Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos(lambda2)))));
	} else if (phi2 <= 6.5e-15) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1))
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.2e-7:
		tmp = R * math.acos(((math.sin(phi1) * math.sin(phi2)) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos(lambda2)))))
	elif phi2 <= 6.5e-15:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * t_0))
	else:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi2) * t_0))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.2e-7)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(sin(phi1) * sin(phi2)) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(lambda2))))));
	elseif (phi2 <= 6.5e-15)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * t_0)));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi2) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.2e-7)
		tmp = R * acos(((sin(phi1) * sin(phi2)) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * cos(lambda2)))));
	elseif (phi2 <= 6.5e-15)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	else
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4.2e-7], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 6.5e-15], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -4.2e-7

   1. Initial program 76.0%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right) + \sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if -4.2e-7 < phi2 < 6.49999999999999991e-15

   1. Initial program 73.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 6.49999999999999991e-15 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 64.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 64.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 75.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 63.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -9.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1)))))
   (if (<= phi1 -9.2e-7)
     (* R (acos (* (cos phi1) t_0)))
     (* R (acos (* (cos phi2) t_0))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1));
	double tmp;
	if (phi1 <= -9.2e-7) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1))
    if (phi1 <= (-9.2d-7)) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * t_0))
    else
        tmp = r * acos((cos(phi2) * t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1));
	double tmp;
	if (phi1 <= -9.2e-7) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1))
	tmp = 0
	if phi1 <= -9.2e-7:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * t_0))
	else:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi2) * t_0))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -9.2e-7)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * t_0)));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi2) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -9.2e-7)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	else
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -9.2e-7], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -9.1999999999999998e-7

   1. Initial program 80.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 67.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 67.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if -9.1999999999999998e-7 < phi1

   1. Initial program 72.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 94.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 72.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 72.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -9.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 60.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 6.5e-15)
   (*
    R
    (acos
     (*
      (cos phi1)
      (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (sin lambda1))))))
   (*
    R
    (acos
     (+
      (/ 1.0 (/ 1.0 (* (sin phi1) (sin phi2))))
      (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 6.5e-15) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * acos(((1.0 / (1.0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= 6.5d-15) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))))
    else
        tmp = r * acos(((1.0d0 / (1.0d0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 6.5e-15) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda2) * Math.sin(lambda1)))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / (1.0 / (Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)))) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= 6.5e-15:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda2) * math.sin(lambda1)))))
	else:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / (1.0 / (math.sin(phi1) * math.sin(phi2)))) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 6.5e-15)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda2) * sin(lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi1) * sin(phi2)))) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 6.5e-15)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda2) * sin(lambda1)))));
	else
		tmp = R * acos(((1.0 / (1.0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, 6.5e-15], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 6.49999999999999991e-15

   1. Initial program 74.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 66.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot R \]

   if 6.49999999999999991e-15 < phi2

   1. Initial program 76.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 52.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 51.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2.6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi1 -2.6e-6)
   (* R (acos (* (cos phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
   (*
    R
    (acos
     (+
      (/ 1.0 (/ 1.0 (* (sin phi1) (sin phi2))))
      (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi1 <= -2.6e-6) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))));
	} else {
		tmp = R * acos(((1.0 / (1.0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi1 <= (-2.6d-6)) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))))
    else
        tmp = r * acos(((1.0d0 / (1.0d0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi1 <= -2.6e-6) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1))));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(((1.0 / (1.0 / (Math.sin(phi1) * Math.sin(phi2)))) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi1 <= -2.6e-6:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1))))
	else:
		tmp = R * math.acos(((1.0 / (1.0 / (math.sin(phi1) * math.sin(phi2)))) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -2.6e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(phi1) * sin(phi2)))) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -2.6e-6)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))));
	else
		tmp = R * acos(((1.0 / (1.0 / (sin(phi1) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi1, -2.6e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -2.60000000000000009e-6

   1. Initial program 80.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   if -2.60000000000000009e-6 < phi1

   1. Initial program 72.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \cos \left(\phi_1 + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 72.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}}} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 54.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. Simplified 54.2%

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2.6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2}} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 51.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.15 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda2 lambda1))))
   (if (<= phi1 -4.15e-7)
     (* R (acos (* (cos phi1) t_0)))
     (* R (acos (* (cos phi2) t_0))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.15e-7) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda2 - lambda1))
    if (phi1 <= (-4.15d-7)) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * t_0))
    else
        tmp = r * acos((cos(phi2) * t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.15e-7) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * t_0));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi2) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	tmp = 0
	if phi1 <= -4.15e-7:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * t_0))
	else:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi2) * t_0))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -4.15e-7)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * t_0)));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi2) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -4.15e-7)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * t_0));
	else
		tmp = R * acos((cos(phi2) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -4.15e-7], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -4.14999999999999997e-7

   1. Initial program 80.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   if -4.14999999999999997e-7 < phi1

   1. Initial program 72.8%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 54.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 54.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.15 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 37.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -9.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -9.2e-6)
   (* R (acos (* (cos phi1) (cos lambda1))))
   (* R (acos (* (cos phi1) (cos lambda2))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -9.2e-6) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)));
	} else {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda2)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-9.2d-6)) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)))
    else
        tmp = r * acos((cos(phi1) * cos(lambda2)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -9.2e-6) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * Math.cos(lambda1)));
	} else {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * Math.cos(lambda2)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -9.2e-6:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * math.cos(lambda1)))
	else:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * math.cos(lambda2)))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -9.2e-6)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * cos(lambda1))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * cos(lambda2))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -9.2e-6)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)));
	else
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda2)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -9.2e-6], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -9.2e-6

   1. Initial program 57.1%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 39.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 39.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 38.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 38.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot R \]

   if -9.2e-6 < lambda1

   1. Initial program 80.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_1\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 42.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 42.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -9.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 34.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq 2 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda2 2e+20)
   (* R (acos (* (cos phi1) (cos lambda1))))
   (* R (acos (cos lambda2)))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= 2e+20) {
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)));
	} else {
		tmp = R * acos(cos(lambda2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda2 <= 2d+20) then
        tmp = r * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)))
    else
        tmp = r * acos(cos(lambda2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= 2e+20) {
		tmp = R * Math.acos((Math.cos(phi1) * Math.cos(lambda1)));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(Math.cos(lambda2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda2 <= 2e+20:
		tmp = R * math.acos((math.cos(phi1) * math.cos(lambda1)))
	else:
		tmp = R * math.acos(math.cos(lambda2))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= 2e+20)
		tmp = Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * cos(lambda1))));
	else
		tmp = Float64(R * acos(cos(lambda2)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= 2e+20)
		tmp = R * acos((cos(phi1) * cos(lambda1)));
	else
		tmp = R * acos(cos(lambda2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda2, 2e+20], N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < 2e20

   1. Initial program 78.9%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 46.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_1\right)\right), R\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 36.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 36.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot R \]

   if 2e20 < lambda2

   1. Initial program 60.3%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 43.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 43.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      10. --lowering--.f64 36.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \lambda_2\right), R\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), R\right) \]

   11. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \lambda_2} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq 2 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_2\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 44.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (* R (acos (* (cos phi1) (cos (- lambda2 lambda1))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * Math.acos((Math.cos(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * math.acos((math.cos(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(Float64(cos(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * acos((cos(phi1) * cos((lambda2 - lambda1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Final simplification 46.1%

   \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 24: 21.7% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000245:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -0.000245)
   (* R (acos (cos lambda1)))
   (* R (acos (cos lambda2)))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000245) {
		tmp = R * acos(cos(lambda1));
	} else {
		tmp = R * acos(cos(lambda2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-0.000245d0)) then
        tmp = r * acos(cos(lambda1))
    else
        tmp = r * acos(cos(lambda2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000245) {
		tmp = R * Math.acos(Math.cos(lambda1));
	} else {
		tmp = R * Math.acos(Math.cos(lambda2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -0.000245:
		tmp = R * math.acos(math.cos(lambda1))
	else:
		tmp = R * math.acos(math.cos(lambda2))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -0.000245)
		tmp = Float64(R * acos(cos(lambda1)));
	else
		tmp = Float64(R * acos(cos(lambda2)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -0.000245)
		tmp = R * acos(cos(lambda1));
	else
		tmp = R * acos(cos(lambda2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -0.000245], N[(R * N[ArcCos[N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[ArcCos[N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -2.4499999999999999e-4

   1. Initial program 57.1%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 39.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 39.0%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      10. --lowering--.f64 33.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 33.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \lambda_1}\right), R\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-lowering-cos.f64 33.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), R\right) \]

   11. Simplified 33.2%

       \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot R \]

   if -2.4499999999999999e-4 < lambda1

   1. Initial program 80.6%

      \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      12. --lowering--.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      2. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      3. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

      10. --lowering--.f64 26.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. Simplified 26.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \lambda_2\right), R\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 23.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), R\right) \]

   11. Simplified 23.0%

       \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \lambda_2} \cdot R \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 25.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000245:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_2\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 26.5% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (* R (acos (cos (- lambda1 lambda2)))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos(cos((lambda1 - lambda2)));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * acos(cos((lambda1 - lambda2)))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * Math.acos(Math.cos((lambda1 - lambda2)));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * math.acos(math.cos((lambda1 - lambda2)))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * acos(cos((lambda1 - lambda2)));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

9. Final simplification 28.6%

   \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 26: 17.6% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (* R (acos (cos lambda1))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * acos(cos(lambda1));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * acos(cos(lambda1))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * Math.acos(Math.cos(lambda1));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * math.acos(math.cos(lambda1))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * acos(cos(lambda1)))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * acos(cos(lambda1));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[ArcCos[N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

9. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \lambda_1}\right), R\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. cos-lowering-cos.f64 16.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), R\right) \]

11. Simplified 16.8%

    \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot R \]

12. Final simplification 16.8%

    \[\leadsto R \cdot \cos^{-1} \cos \lambda_1 \]
13. Add Preprocessing

Alternative 27: 5.9% accurate, 40.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{R}{\frac{1}{\left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (/ R (/ 1.0 (+ (- lambda2 lambda1) (- (/ PI 2.0) (/ PI 2.0))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R / (1.0 / ((lambda2 - lambda1) + ((((double) M_PI) / 2.0) - (((double) M_PI) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R / (1.0 / ((lambda2 - lambda1) + ((Math.PI / 2.0) - (Math.PI / 2.0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R / (1.0 / ((lambda2 - lambda1) + ((math.pi / 2.0) - (math.pi / 2.0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R / Float64(1.0 / Float64(Float64(lambda2 - lambda1) + Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(pi / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R / (1.0 / ((lambda2 - lambda1) + ((pi / 2.0) - (pi / 2.0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R / N[(1.0 / N[(N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision] + N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]
9. Step-by-step derivation

   1. acos-cos-s N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\cos^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

10. Applied egg-rr 12.0%

    \[\leadsto \cos^{-1} \cos \color{blue}{\left(\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4} - \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}\right)} \cdot R \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto R \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \cos \left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}\right)} \]

    2. acos-cos-s N/A

       \[\leadsto R \cdot \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}} \]

    3. clear-num N/A

       \[\leadsto R \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}}} \]

    4. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{R}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}}} \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(R, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 4.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{R}{\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right) + \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}}} \]

13. Final simplification 4.5%

    \[\leadsto \frac{R}{\frac{1}{\left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 28: 5.9% accurate, 122.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (* R (- lambda2 lambda1)))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (lambda2 - lambda1);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * (lambda2 - lambda1)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (lambda2 - lambda1);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * (lambda2 - lambda1)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * Float64(lambda2 - lambda1))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * (lambda2 - lambda1);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{R}\right) \]

   2. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), R\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), R\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), R\right) \]

   5. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right), R\right) \]

   6. acos-cos-s N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right), R\right) \]

   7. --lowering--.f64 4.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right), R\right) \]

10. Applied egg-rr 4.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot R} \]

11. Final simplification 4.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 29: 5.5% accurate, 204.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_2 \cdot R \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2) :precision binary64 (* lambda2 R))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda2 * R;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda2 * r
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda2 * R;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda2 * R

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda2 * R)
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda2 * R;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda2 * R), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]
9. Step-by-step derivation

   1. acos-cos-s N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\cos^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right), R\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

10. Applied egg-rr 12.0%

    \[\leadsto \cos^{-1} \cos \color{blue}{\left(\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4} - \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}{\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2} - \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}\right)} \cdot R \]

11. Taylor expanded in lambda2 around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\lambda_2}, R\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 4.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\lambda_2} \cdot R \]
14. Add Preprocessing

Alternative 30: 5.4% accurate, 204.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 \cdot R \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2) :precision binary64 (* lambda1 R))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 * R;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 * r
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 * R;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 * R

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 * R)
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 * R;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 * R), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 74.7%

   \[\cos^{-1} \left(\sin \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot R \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), R\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), R\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   12. --lowering--.f64 46.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

5. Simplified 46.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)} \cdot R \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\right), R\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   2. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   6. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), R\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), R\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

   10. --lowering--.f64 28.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), R\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot R \]

9. Taylor expanded in lambda1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}, R\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 5.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \cdot R \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Spherical law of cosines"
  :precision binary64
  (* (acos (+ (* (sin phi1) (sin phi2)) (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))) R))