raw-angle from scale-rotated-ellipse

Percentage Accurate: 14.0% → 56.6%

Time: 51.8s

Alternatives: 16

Speedup: 26.0×

• could not determine a ground truth

  1. a = -3.9008971819767064e+116
  2. b = 2.7150267058114923e+257
  3. angle = -1.0055715802181468e+177
  4. x-scale = -3.7461669939555004e+105
  5. y-scale = -3.6809430444158595e-249

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Initial Program: 14.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Alternative 1: 56.6% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.8 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0 - \frac{y-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 1.8e-77)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (-
       0.0
       (/
        (*
         y-scale
         (cos (* (sqrt PI) (* (* 0.005555555555555556 angle) (sqrt PI)))))
        (* x-scale (sin (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))))))
    PI)
   (*
    (atan
     (*
      (/ y-scale x-scale)
      (tan (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 (* angle (sqrt PI)))))))
    (/ 180.0 PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.8e-77) {
		tmp = (180.0 * atan((0.0 - ((y_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * ((0.005555555555555556 * angle) * sqrt(((double) M_PI)))))) / (x_45_scale * sin((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))))))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(((double) M_PI)))))))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.8e-77) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((0.0 - ((y_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * ((0.005555555555555556 * angle) * Math.sqrt(Math.PI))))) / (x_45_scale * Math.sin((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)))))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan((Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * (angle * Math.sqrt(Math.PI))))))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 1.8e-77:
		tmp = (180.0 * math.atan((0.0 - ((y_45_scale * math.cos((math.sqrt(math.pi) * ((0.005555555555555556 * angle) * math.sqrt(math.pi))))) / (x_45_scale * math.sin((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)))))))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan((math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * (angle * math.sqrt(math.pi))))))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.8e-77)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(0.0 - Float64(Float64(y_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(Float64(0.005555555555555556 * angle) * sqrt(pi))))) / Float64(x_45_scale * sin(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi)))))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * sqrt(pi))))))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.8e-77)
		tmp = (180.0 * atan((0.0 - ((y_45_scale * cos((sqrt(pi) * ((0.005555555555555556 * angle) * sqrt(pi))))) / (x_45_scale * sin((0.005555555555555556 * (angle * pi)))))))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(pi))))))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 1.8e-77], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(0.0 - N[(N[(y$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision] * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Sin[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.8e-77

   1. Initial program 15.9%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 13.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 41.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 41.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 45.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 45.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 1.8e-77 < a

   1. Initial program 6.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 22.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 59.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 60.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 60.1%

       \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right) \cdot \frac{180}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.8 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0 - \frac{y-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 56.5% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 7.8 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 7.8e-25)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (/
       y-scale
       (*
        (sin (* (sqrt PI) (* (* 0.005555555555555556 angle) (sqrt PI))))
        (- 0.0 x-scale)))))
    PI)
   (*
    (atan
     (*
      (/ y-scale x-scale)
      (tan (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 (* angle (sqrt PI)))))))
    (/ 180.0 PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 7.8e-25) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin((sqrt(((double) M_PI)) * ((0.005555555555555556 * angle) * sqrt(((double) M_PI))))) * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(((double) M_PI)))))))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 7.8e-25) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale / (Math.sin((Math.sqrt(Math.PI) * ((0.005555555555555556 * angle) * Math.sqrt(Math.PI)))) * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan((Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * (angle * Math.sqrt(Math.PI))))))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 7.8e-25:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale / (math.sin((math.sqrt(math.pi) * ((0.005555555555555556 * angle) * math.sqrt(math.pi)))) * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan((math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * (angle * math.sqrt(math.pi))))))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 7.8e-25)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale / Float64(sin(Float64(sqrt(pi) * Float64(Float64(0.005555555555555556 * angle) * sqrt(pi)))) * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * sqrt(pi))))))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 7.8e-25)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin((sqrt(pi) * ((0.005555555555555556 * angle) * sqrt(pi)))) * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(pi))))))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 7.8e-25], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale / N[(N[Sin[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision] * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7.8e-25

   1. Initial program 16.3%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 12.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 41.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 41.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 41.1%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 41.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{1}\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 42.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \color{blue}{1}}{x-scale \cdot \sin \left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right)}{\pi} \]

   if 7.8e-25 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 21.0%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 63.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 62.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 62.4%

       \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right) \cdot \frac{180}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 7.8 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 57.2% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 9.8 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 9.8e-26)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (/
       (* y-scale (cos (* angle (* 0.005555555555555556 PI))))
       (* (sin (* 0.005555555555555556 (* angle PI))) (- 0.0 x-scale)))))
    PI)
   (*
    (atan
     (*
      (/ y-scale x-scale)
      (tan (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 (* angle (sqrt PI)))))))
    (/ 180.0 PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 9.8e-26) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos((angle * (0.005555555555555556 * ((double) M_PI))))) / (sin((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI)))) * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(((double) M_PI)))))))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 9.8e-26) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * Math.cos((angle * (0.005555555555555556 * Math.PI)))) / (Math.sin((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI))) * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan((Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * (angle * Math.sqrt(Math.PI))))))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 9.8e-26:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * math.cos((angle * (0.005555555555555556 * math.pi)))) / (math.sin((0.005555555555555556 * (angle * math.pi))) * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan((math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * (angle * math.sqrt(math.pi))))))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 9.8e-26)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * cos(Float64(angle * Float64(0.005555555555555556 * pi)))) / Float64(sin(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))) * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * sqrt(pi))))))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 9.8e-26)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos((angle * (0.005555555555555556 * pi)))) / (sin((0.005555555555555556 * (angle * pi))) * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * (angle * sqrt(pi))))))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 9.8e-26], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * N[Cos[N[(angle * N[(0.005555555555555556 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 9.7999999999999998e-26

   1. Initial program 16.3%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 12.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 41.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 41.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot angle\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f64 44.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 44.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right) \cdot angle\right)}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 9.7999999999999998e-26 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 21.0%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 63.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 62.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 62.4%

       \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right) \cdot \frac{180}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 9.8 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \sqrt{\pi}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 57.3% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 4.6 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-1}{\tan t\_0 \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sin t\_0 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}}{\cos t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))
   (if (<= a_m 4.6e-45)
     (/ (* 180.0 (atan (/ -1.0 (* (tan t_0) (/ x-scale y-scale))))) PI)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* (sin t_0) (/ y-scale x-scale)) (cos t_0)))) PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (a_m <= 4.6e-45) {
		tmp = (180.0 * atan((-1.0 / (tan(t_0) * (x_45_scale / y_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((sin(t_0) * (y_45_scale / x_45_scale)) / cos(t_0)))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double tmp;
	if (a_m <= 4.6e-45) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((-1.0 / (Math.tan(t_0) * (x_45_scale / y_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((Math.sin(t_0) * (y_45_scale / x_45_scale)) / Math.cos(t_0)))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	tmp = 0
	if a_m <= 4.6e-45:
		tmp = (180.0 * math.atan((-1.0 / (math.tan(t_0) * (x_45_scale / y_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((math.sin(t_0) * (y_45_scale / x_45_scale)) / math.cos(t_0)))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 4.6e-45)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(-1.0 / Float64(tan(t_0) * Float64(x_45_scale / y_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(sin(t_0) * Float64(y_45_scale / x_45_scale)) / cos(t_0)))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 4.6e-45)
		tmp = (180.0 * atan((-1.0 / (tan(t_0) * (x_45_scale / y_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((sin(t_0) * (y_45_scale / x_45_scale)) / cos(t_0)))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 4.6e-45], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(-1.0 / N[(N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision] * N[(x$45$scale / y$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 4.59999999999999983e-45

   1. Initial program 16.1%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot y-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 47.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x-scale, y-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 47.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}}\right)}{\pi} \]

   if 4.59999999999999983e-45 < a

   1. Initial program 5.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 22.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 63.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 4.6 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{y-scale}{x-scale}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 57.3% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 5.3 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-1}{t\_0 \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))))
   (if (<= a_m 5.3e-45)
     (/ (* 180.0 (atan (/ -1.0 (* t_0 (/ x-scale y-scale))))) PI)
     (* (/ 180.0 PI) (atan (* (/ y-scale x-scale) t_0))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))));
	double tmp;
	if (a_m <= 5.3e-45) {
		tmp = (180.0 * atan((-1.0 / (t_0 * (x_45_scale / y_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)));
	double tmp;
	if (a_m <= 5.3e-45) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((-1.0 / (t_0 * (x_45_scale / y_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)))
	tmp = 0
	if a_m <= 5.3e-45:
		tmp = (180.0 * math.atan((-1.0 / (t_0 * (x_45_scale / y_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi)))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 5.3e-45)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(-1.0 / Float64(t_0 * Float64(x_45_scale / y_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = tan((0.005555555555555556 * (angle * pi)));
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 5.3e-45)
		tmp = (180.0 * atan((-1.0 / (t_0 * (x_45_scale / y_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 5.3e-45], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(-1.0 / N[(t$95$0 * N[(x$45$scale / y$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 5.2999999999999997e-45

   1. Initial program 16.1%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale}{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot y-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x-scale}{y-scale}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 47.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x-scale, y-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 47.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}}\right)}{\pi} \]

   if 5.2999999999999997e-45 < a

   1. Initial program 5.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 22.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 5.3 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{x-scale}{y-scale}}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 57.3% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 5.3 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))))
   (if (<= a_m 5.3e-45)
     (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 t_0)))) PI)
     (* (/ 180.0 PI) (atan (* (/ y-scale x-scale) t_0))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))));
	double tmp;
	if (a_m <= 5.3e-45) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / t_0)))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)));
	double tmp;
	if (a_m <= 5.3e-45) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / t_0)))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)))
	tmp = 0
	if a_m <= 5.3e-45:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / t_0)))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi)))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 5.3e-45)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / t_0)))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = tan((0.005555555555555556 * (angle * pi)));
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 5.3e-45)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / t_0)))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 5.3e-45], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 5.2999999999999997e-45

   1. Initial program 16.1%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 46.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 46.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 5.2999999999999997e-45 < a

   1. Initial program 5.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 22.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 5.3 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 57.1% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.3 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin t\_0 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))
   (if (<= a_m 1.3e-23)
     (/ (* 180.0 (atan (/ y-scale (* (sin t_0) (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (* (/ 180.0 PI) (atan (* (/ y-scale x-scale) (tan t_0)))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (a_m <= 1.3e-23) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0)));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.3e-23) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale / (Math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan(t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	tmp = 0
	if a_m <= 1.3e-23:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale / (math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan(t_0)))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.3e-23)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale / Float64(sin(t_0) * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.3e-23)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 1.3e-23], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale / N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.3e-23

   1. Initial program 16.3%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 12.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 41.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 41.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{y-scale}, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 43.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{\color{blue}{y-scale}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 1.3e-23 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 21.0%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 63.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.3 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 56.0% accurate, 13.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 7.4 \cdot 10^{-51}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{-180 \cdot \left(y-scale \cdot b\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}}{b - a\_m}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 7.4e-51)
   (*
    180.0
    (/
     (atan (/ (/ (* -180.0 (* y-scale b)) (* angle (* PI x-scale))) (- b a_m)))
     PI))
   (*
    (/ 180.0 PI)
    (atan
     (* (/ y-scale x-scale) (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 7.4e-51) {
		tmp = 180.0 * (atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))) / (b - a_m))) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))))));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 7.4e-51) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (Math.PI * x_45_scale))) / (b - a_m))) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)))));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 7.4e-51:
		tmp = 180.0 * (math.atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (math.pi * x_45_scale))) / (b - a_m))) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)))))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 7.4e-51)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale * b)) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))) / Float64(b - a_m))) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 7.4e-51)
		tmp = 180.0 * (atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (pi * x_45_scale))) / (b - a_m))) / pi);
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((0.005555555555555556 * (angle * pi)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 7.4e-51], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(-180.0 * N[(y$45$scale * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b - a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7.39999999999999946e-51

   1. Initial program 15.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 9.2%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(a \cdot a\right)}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(0 - y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 9.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 9.2%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{b \cdot b - a \cdot a}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{a + b}}{b - a}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{a + b}\right), \left(b - a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 19.2%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{\frac{\left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right) \cdot \left(90 \cdot \left(y-scale \cdot x-scale\right)\right)}{angle \cdot \pi}}{a + b}}{b - a}\right)}}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in a around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{b \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot \left(b \cdot y-scale\right)}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot \left(b \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(b \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(y-scale \cdot b\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 42.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 42.9%

       \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{-180 \cdot \left(y-scale \cdot b\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}}}{b - a}\right)}{\pi} \]

   if 7.39999999999999946e-51 < a

   1. Initial program 7.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 23.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 61.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 61.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 7.4 \cdot 10^{-51}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{-180 \cdot \left(y-scale \cdot b\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}}{b - a}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 54.8% accurate, 23.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.2 \cdot 10^{-29}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{-180 \cdot \left(y-scale \cdot b\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}}{b - a\_m}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 1.2e-29)
   (*
    180.0
    (/
     (atan (/ (/ (* -180.0 (* y-scale b)) (* angle (* PI x-scale))) (- b a_m)))
     PI))
   (/
    (*
     180.0
     (atan (* 0.005555555555555556 (* angle (/ (* y-scale PI) x-scale)))))
    PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.2e-29) {
		tmp = 180.0 * (atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))) / (b - a_m))) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * ((double) M_PI)) / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.2e-29) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (Math.PI * x_45_scale))) / (b - a_m))) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * Math.PI) / x_45_scale))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 1.2e-29:
		tmp = 180.0 * (math.atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (math.pi * x_45_scale))) / (b - a_m))) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * math.pi) / x_45_scale))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.2e-29)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale * b)) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))) / Float64(b - a_m))) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * Float64(Float64(y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.2e-29)
		tmp = 180.0 * (atan((((-180.0 * (y_45_scale * b)) / (angle * (pi * x_45_scale))) / (b - a_m))) / pi);
	else
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 1.2e-29], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(-180.0 * N[(y$45$scale * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b - a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.19999999999999996e-29

   1. Initial program 16.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 9.5%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(a \cdot a\right)}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a}{\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(0 - y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y-scale \cdot y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 9.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(90, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, y-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, x-scale\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 9.6%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{b \cdot b - a \cdot a}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{a + b}}{b - a}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot a}{0 - y-scale \cdot y-scale}\right)\right) - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{a + b}\right), \left(b - a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 19.3%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{\frac{\left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right) \cdot \left(90 \cdot \left(y-scale \cdot x-scale\right)\right)}{angle \cdot \pi}}{a + b}}{b - a}\right)}}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in a around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{b \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot \left(b \cdot y-scale\right)}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot \left(b \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(b \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(y-scale \cdot b\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 43.1%

       \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{-180 \cdot \left(y-scale \cdot b\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}}}{b - a}\right)}{\pi} \]

   if 1.19999999999999996e-29 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(\frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f64 58.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   13. Simplified 58.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 53.3% accurate, 24.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.3 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 3.3e-28)
   (* 180.0 (/ (atan (/ (/ (* y-scale -180.0) (* PI x-scale)) angle)) PI))
   (/
    (*
     180.0
     (atan (* 0.005555555555555556 (* angle (/ (* y-scale PI) x-scale)))))
    PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.3e-28) {
		tmp = 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (((double) M_PI) * x_45_scale)) / angle)) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * ((double) M_PI)) / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.3e-28) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (Math.PI * x_45_scale)) / angle)) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * Math.PI) / x_45_scale))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 3.3e-28:
		tmp = 180.0 * (math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (math.pi * x_45_scale)) / angle)) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * math.pi) / x_45_scale))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.3e-28)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(pi * x_45_scale)) / angle)) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * Float64(Float64(y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.3e-28)
		tmp = 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (pi * x_45_scale)) / angle)) / pi);
	else
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 3.3e-28], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.3000000000000002e-28

   1. Initial program 16.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 9.5%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

   6. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f64 40.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 40.4%

       \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{x-scale \cdot \pi}}{angle}\right)}}{\pi} \]

   if 3.3000000000000002e-28 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(\frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f64 58.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   13. Simplified 58.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.3 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 53.3% accurate, 24.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 9.5 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 9.5e-28)
   (* 180.0 (/ (atan (/ (/ (* y-scale -180.0) (* PI x-scale)) angle)) PI))
   (*
    (/ 180.0 PI)
    (atan (* (* 0.005555555555555556 (* angle PI)) (/ y-scale x-scale))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 9.5e-28) {
		tmp = 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (((double) M_PI) * x_45_scale)) / angle)) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))) * (y_45_scale / x_45_scale)));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 9.5e-28) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (Math.PI * x_45_scale)) / angle)) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)) * (y_45_scale / x_45_scale)));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 9.5e-28:
		tmp = 180.0 * (math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (math.pi * x_45_scale)) / angle)) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)) * (y_45_scale / x_45_scale)))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 9.5e-28)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(pi * x_45_scale)) / angle)) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi)) * Float64(y_45_scale / x_45_scale))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 9.5e-28)
		tmp = 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (pi * x_45_scale)) / angle)) / pi);
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((0.005555555555555556 * (angle * pi)) * (y_45_scale / x_45_scale)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 9.5e-28], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 9.50000000000000001e-28

   1. Initial program 16.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 9.5%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

   6. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f64 40.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 40.4%

       \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{x-scale \cdot \pi}}{angle}\right)}}{\pi} \]

   if 9.50000000000000001e-28 < a

   1. Initial program 4.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \frac{\left(a + b\right) \cdot \left(2 \cdot \left(b - a\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

       3. PI-lowering-PI.f64 58.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(180, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 58.3%

       \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \color{blue}{\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \frac{180}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 9.5 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 40.1% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (/ (/ (* y-scale -180.0) (* PI x-scale)) angle)) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (((double) M_PI) * x_45_scale)) / angle)) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (Math.PI * x_45_scale)) / angle)) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((((y_45_scale * -180.0) / (math.pi * x_45_scale)) / angle)) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(pi * x_45_scale)) / angle)) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((((y_45_scale * -180.0) / (pi * x_45_scale)) / angle)) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 13.1%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.9%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 32.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 37.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, -180\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), angle\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 37.3%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{x-scale \cdot \pi}}{angle}\right)}}{\pi} \]

11. Final simplification 37.3%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\frac{y-scale \cdot -180}{\pi \cdot x-scale}}{angle}\right)}{\pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 38.3% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{\pi}}{x-scale}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* -180.0 (/ (/ (/ y-scale angle) PI) x-scale))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / ((double) M_PI)) / x_45_scale))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / Math.PI) / x_45_scale))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / math.pi) / x_45_scale))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(-180.0 * Float64(Float64(Float64(y_45_scale / angle) / pi) / x_45_scale))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / pi) / x_45_scale))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(-180.0 * N[(N[(N[(y$45$scale / angle), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 13.1%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.9%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 32.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{\frac{y-scale}{angle}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{y-scale}{angle}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{angle}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, angle\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, angle\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 32.5%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{\pi}}{x-scale}}\right)}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 38.3% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale}}{\pi}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* -180.0 (/ (/ (/ y-scale angle) x-scale) PI))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / x_45_scale) / ((double) M_PI)))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / x_45_scale) / Math.PI))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / x_45_scale) / math.pi))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(-180.0 * Float64(Float64(Float64(y_45_scale / angle) / x_45_scale) / pi))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((-180.0 * (((y_45_scale / angle) / x_45_scale) / pi))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(-180.0 * N[(N[(N[(y$45$scale / angle), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 13.1%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.9%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 32.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{angle}\right), x-scale\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, angle\right), x-scale\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, angle\right), x-scale\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 32.5%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{y-scale}{angle}}{x-scale}}{\pi}}\right)}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 38.3% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* -180.0 (/ y-scale (* angle (* PI x-scale))))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (Math.PI * x_45_scale))))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (math.pi * x_45_scale))))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (pi * x_45_scale))))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(-180.0 * N[(y$45$scale / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 13.1%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.9%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 32.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 32.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

9. Final simplification 32.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 16: 12.2% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* -180.0 (/ x-scale (* angle (* y-scale PI))))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((-180.0 * (x_45_scale / (angle * (y_45_scale * ((double) M_PI)))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((-180.0 * (x_45_scale / (angle * (y_45_scale * Math.PI))))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((-180.0 * (x_45_scale / (angle * (y_45_scale * math.pi))))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(-180.0 * Float64(x_45_scale / Float64(angle * Float64(y_45_scale * pi))))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((-180.0 * (x_45_scale / (angle * (y_45_scale * pi))))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(-180.0 * N[(x$45$scale / N[(angle * N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 13.1%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.9%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(x-scale, \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 10.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 10.2%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
  :name "raw-angle from scale-rotated-ellipse"
  :precision binary64
  (* 180.0 (/ (atan (/ (- (- (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale)) (sqrt (+ (pow (- (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale)) 2.0) (pow (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale) 2.0)))) (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale))) PI)))