Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.5% → 99.0%

Time: 13.1s

Alternatives: 19

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot t\_0 - \left(0.5 + t\_0 \cdot -0.5\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* 2.0 (* PI u2)))))
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 0.5 (- (* 0.5 t_0) (+ 0.5 (* t_0 -0.5)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + ((0.5f * t_0) - (0.5f + (t_0 * -0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)))
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(Float32(0.5) * t_0) - Float32(Float32(0.5) + Float32(t_0 * Float32(-0.5))))))
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 0.5 (- (cos (* u2 (* 2.0 PI))) 0.5))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI)))) - 0.5f));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) - Float32(0.5))))
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right) + 0.5\right)} \]

9. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.014000000432133675)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (*
    (cos (* 2.0 (* PI u2)))
    (sqrt
     (*
      u1
      (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.014000000432133675f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.014000000432133675))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0140000004

   1. Initial program 57.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0140000004 < u2

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 90.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.08333333333333333\right)}{u1}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.014000000432133675)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (*
    (cos (* 2.0 (* PI u2)))
    (sqrt
     (/ 1.0 (/ (+ 1.0 (* u1 (+ -0.5 (* u1 -0.08333333333333333)))) u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.014000000432133675f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((1.0f / ((1.0f + (u1 * (-0.5f + (u1 * -0.08333333333333333f)))) / u1)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.014000000432133675))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u1 * Float32(-0.08333333333333333))))) / u1))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0140000004

   1. Initial program 57.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0140000004 < u2

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0 \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}{-{\left(\mathsf{log1p}\left(-u1\right)\right)}^{2}}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 + u1 \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right)}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{12} \cdot u1 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{12} \cdot u1\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \frac{-1}{12}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 89.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{12}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.08333333333333333 + -0.5\right)}{u1}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.08333333333333333\right)}{u1}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.041666666666666664 + -0.08333333333333333\right)\right)}{u1}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* 2.0 (* PI u2)))
  (sqrt
   (/
    1.0
    (/
     (+
      1.0
      (*
       u1
       (+ -0.5 (* u1 (+ (* u1 -0.041666666666666664) -0.08333333333333333)))))
     u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((1.0f / ((1.0f + (u1 * (-0.5f + (u1 * ((u1 * -0.041666666666666664f) + -0.08333333333333333f))))) / u1)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(-0.041666666666666664)) + Float32(-0.08333333333333333)))))) / u1))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = cos((single(2.0) * (single(pi) * u2))) * sqrt((single(1.0) / ((single(1.0) + (u1 * (single(-0.5) + (u1 * ((u1 * single(-0.041666666666666664)) + single(-0.08333333333333333)))))) / u1)));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0 \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}{-{\left(\mathsf{log1p}\left(-u1\right)\right)}^{2}}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{2}\right)}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{2}\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 - \frac{1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{24} \cdot u1 + \frac{-1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot u1\right), \frac{-1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \frac{-1}{24}\right), \frac{-1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 94.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{24}\right), \frac{-1}{12}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 94.7%

   \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.041666666666666664 + -0.08333333333333333\right) + -0.5\right)}{u1}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

10. Final simplification 94.7%

    \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.041666666666666664 + -0.08333333333333333\right)\right)}{u1}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.014000000432133675)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (*
    (cos (* 2.0 (* PI u2)))
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333)))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.014000000432133675f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.014000000432133675))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0140000004

   1. Initial program 57.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0140000004 < u2

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 88.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.014000000432133675:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.026000000536441803:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot -0.5}{u1}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.026000000536441803)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (* (cos (* 2.0 (* PI u2))) (sqrt (/ 1.0 (/ (+ 1.0 (* u1 -0.5)) u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.026000000536441803f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((1.0f / ((1.0f + (u1 * -0.5f)) / u1)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.026000000536441803))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(-0.5))) / u1))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0260000005

   1. Initial program 58.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0260000005 < u2

   1. Initial program 55.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}{0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 \cdot 0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(0 - \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(0 + \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right) + 0 \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}{-{\left(\mathsf{log1p}\left(-u1\right)\right)}^{2}}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 + \frac{-1}{2} \cdot u1}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot u1\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot u1\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 86.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{2}\right)\right), u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + u1 \cdot -0.5}{u1}}}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.026000000536441803:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{1 + u1 \cdot -0.5}{u1}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.026000000536441803:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.026000000536441803)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (* (cos (* 2.0 (* PI u2))) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.026000000536441803f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.026000000536441803))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0260000005

   1. Initial program 58.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0260000005 < u2

   1. Initial program 55.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 85.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.026000000536441803:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 94.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0002500000118743628:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0002500000118743628)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (* (cos (* 2.0 (* PI u2))) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0002500000118743628f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0002500000118743628))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 2.50000012e-4

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   if 2.50000012e-4 < u2

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 86.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0002500000118743628:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 90.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0020000000949949026)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (* (+ 0.5 (- (cos (* u2 (* 2.0 PI))) 0.5)) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0020000000949949026f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = (0.5f + (cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI)))) - 0.5f)) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0020000000949949026))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) - Float32(0.5))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00200000009

   1. Initial program 57.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   if 0.00200000009 < u2

   1. Initial program 58.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. sqr-cos-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right) + 0.5\right)} \]

   9. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 74.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(\left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right) + 0.5\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) - 0.5\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 90.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0020000000949949026)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (* (cos (* 2.0 (* PI u2))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0020000000949949026f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0020000000949949026))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00200000009

   1. Initial program 57.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   if 0.00200000009 < u2

   1. Initial program 58.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 74.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 82.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
  (/ 1.0 (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* 2.0 (* PI PI)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f / (1.0f + ((u2 * u2) * (2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) / (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(2.0) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{1}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}}}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + 2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(2 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 82.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 82.0%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 81.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0001900000061141327:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0001900000061141327)
   (sqrt
    (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
   (*
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
    (/ 1.0 (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* 2.0 (* PI PI))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0001900000061141327f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f)))) * (1.0f / (1.0f + ((u2 * u2) * (2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0001900000061141327))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))) * Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0001900000061141327))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5))))) * (single(1.0) / (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(2.0) * (single(pi) * single(pi))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 1.90000006e-4

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 94.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 1.90000006e-4 < u2

   1. Initial program 58.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{1}\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + 2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(2 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f32 61.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 56.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 56.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0001900000061141327:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 80.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
  (/ 1.0 (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* 2.0 (* PI PI)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f)))))) * (1.0f / (1.0f + ((u2 * u2) * (2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))) * Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333))))))) * (single(1.0) / (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(2.0) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{1}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}}}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + 2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(2 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 80.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 80.6%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \frac{1}{1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 76.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt
  (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * (0.5e0 + (u1 * (0.3333333333333333e0 + (u1 * 0.25e0))))))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 77.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 77.2%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]

11. Final simplification 77.2%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 17: 75.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * (0.5e0 + (u1 * 0.3333333333333333e0))))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 76.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot 1 \]

11. Final simplification 76.1%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 18: 72.7% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 73.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 73.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

11. Final simplification 73.4%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 19: 64.9% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 57.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 65.4%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot 1 \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \sqrt{u1} \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f32 65.4%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right) \]

12. Applied egg-rr 65.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))