UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.3% → 98.3%

Time: 15.8s

Alternatives: 15

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ maxCos -1.0)))) (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * ((2.0f - ((maxCos + -1.0f) * (ux * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;ux \cdot \left({\left(-1 + \frac{2}{ux}\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
   (*
    uy
    (*
     (+ (* PI (* (* PI PI) (* uy (* uy -1.3333333333333333)))) (* 2.0 PI))
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
      0.5)))
   (* ux (* (pow (+ -1.0 (/ 2.0 ux)) 0.5) (sin (* uy (* 2.0 PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = uy * (((((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f)))) + (2.0f * ((float) M_PI))) * powf((ux * (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))), 0.5f));
	} else {
		tmp = ux * (powf((-1.0f + (2.0f / ux)), 0.5f) * sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) ^ Float32(0.5))));
	else
		tmp = Float32(ux * Float32((Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux)) ^ Float32(0.5)) * sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = uy * (((single(pi) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333))))) + (single(2.0) * single(pi))) * ((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))) ^ single(0.5)));
	else
		tmp = ux * (((single(-1.0) + (single(2.0) / ux)) ^ single(0.5)) * sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 54.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)}^{2}}\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 59.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 92.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto {\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

      3. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \left({\left(ux \cdot ux\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\left(ux \cdot ux\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({\left(ux \cdot ux\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {\left(ux \cdot ux\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\left({\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

      7. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{ux \cdot ux} \cdot \left(\color{blue}{{\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{ux} \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto ux \cdot \left(\color{blue}{{\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left({\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\frac{2}{ux} + -1\right), \frac{1}{2}\right), \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right), \frac{1}{2}\right), \sin \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right), \frac{1}{2}\right), \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right), \frac{1}{2}\right), \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right), \frac{1}{2}\right), \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 93.2%

       \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left({\left(\frac{2}{ux} + -1\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;ux \cdot \left({\left(-1 + \frac{2}{ux}\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (- (* ux (- 2.0 ux)) (* (* ux maxCos) (+ 2.0 (* ux -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) - ((ux * maxCos) * (2.0f + (ux * -2.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) - Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) - ((ux * maxCos) * (single(2.0) + (ux * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 97.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(-\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)}} \]

9. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
   (*
    uy
    (*
     (+ (* PI (* (* PI PI) (* uy (* uy -1.3333333333333333)))) (* 2.0 PI))
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
      0.5)))
   (* (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux))) (* ux (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = uy * (((((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f)))) + (2.0f * ((float) M_PI))) * powf((ux * (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))), 0.5f));
	} else {
		tmp = sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux))) * (ux * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) ^ Float32(0.5))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))) * Float32(ux * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = uy * (((single(pi) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333))))) + (single(2.0) * single(pi))) * ((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))) ^ single(0.5)));
	else
		tmp = sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux))) * (ux * sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 54.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)}^{2}}\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 59.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 92.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right), \left(\color{blue}{ux} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{ux}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{ux}\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), ux\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), ux\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), ux\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 93.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), ux\right)\right) \]

   11. Simplified 93.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{ux} + -1} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot ux\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux - ux \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
   (*
    uy
    (*
     (+ (* PI (* (* PI PI) (* uy (* uy -1.3333333333333333)))) (* 2.0 PI))
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
      0.5)))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- (* 2.0 ux) (* ux ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = uy * (((((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f)))) + (2.0f * ((float) M_PI))) * powf((ux * (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))), 0.5f));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((2.0f * ux) - (ux * ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) ^ Float32(0.5))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) - Float32(ux * ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = uy * (((single(pi) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333))))) + (single(2.0) * single(pi))) * ((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))) ^ single(0.5)));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((single(2.0) * ux) - (ux * ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 54.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)}^{2}}\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 59.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 92.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{2}{ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{2}{ux}, ux \cdot ux, -1 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{2}{ux}, ux \cdot ux, \mathsf{neg}\left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. fmm-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{2}{ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right) - ux \cdot ux\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{2}{ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. inv-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left({ux}^{-1} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left({ux}^{-1} \cdot {ux}^{2}\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot {ux}^{\left(-1 + 2\right)}\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot {ux}^{1}\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 93.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 93.0%

       \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{2 \cdot ux - ux \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux - ux \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
   (*
    uy
    (*
     (+ (* PI (* (* PI PI) (* uy (* uy -1.3333333333333333)))) (* 2.0 PI))
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
      0.5)))
   (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = uy * (((((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f)))) + (2.0f * ((float) M_PI))) * powf((ux * (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))), 0.5f));
	} else {
		tmp = sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) ^ Float32(0.5))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = uy * (((single(pi) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333))))) + (single(2.0) * single(pi))) * ((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))) ^ single(0.5)));
	else
		tmp = sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 54.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 93.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (+ (* PI (* (* PI PI) (* uy (* uy -1.3333333333333333)))) (* 2.0 PI))
   (pow
    (*
     ux
     (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
    0.5))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * (((((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f)))) + (2.0f * ((float) M_PI))) * powf((ux * (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))), 0.5f));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) ^ Float32(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * (((single(pi) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333))))) + (single(2.0) * single(pi))) * ((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))) ^ single(0.5)));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 91.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

10. Simplified 91.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux} \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 91.7%

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

13. Final simplification 91.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ maxCos -1.0)))) (* maxCos -2.0))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* uy uy) (* PI (* PI PI))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((2.0f - ((maxCos + -1.0f) * (ux * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f)))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((uy * uy) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((uy * uy) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 91.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]

9. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 88.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 2.2000000171829015 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot ux\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 2.2000000171829015e-5)
   (*
    uy
    (*
     (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))
     (+
      (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* ux (* uy uy))))
      (* 2.0 (* PI ux)))))
   (*
    2.0
    (*
     (* uy PI)
     (sqrt
      (*
       ux
       (+
        2.0
        (+ (* maxCos -2.0) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos)))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 2.2000000171829015e-5f) {
		tmp = uy * (sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux))) * ((-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (ux * (uy * uy)))) + (2.0f * (((float) M_PI) * ux))));
	} else {
		tmp = 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(2.2000000171829015e-5))
		tmp = Float32(uy * Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))) * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(ux * Float32(uy * uy)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * ux)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(2.2000000171829015e-5))
		tmp = uy * (sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux))) * ((single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (ux * (uy * uy)))) + (single(2.0) * (single(pi) * ux))));
	else
		tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 2.20000002e-5

   1. Initial program 55.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)}^{2}}\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 55.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right) + 2 \cdot \left(\left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right) + 2 \cdot \left(\left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1} + \color{blue}{2} \cdot \left(\left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1} + \left(2 \cdot \left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}}\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(ux \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   11. Simplified 91.9%

       \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{\frac{2}{ux} + -1} \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(ux \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot ux\right)\right)\right)} \]

   if 2.20000002e-5 < maxCos

   1. Initial program 51.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 87.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. --lowering--.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f32 77.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 77.9%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 2.2000000171829015 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot ux\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 88.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 2.2000000171829015 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 2.2000000171829015e-5)
   (*
    (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))
   (*
    2.0
    (*
     (* uy PI)
     (sqrt
      (*
       ux
       (+
        2.0
        (+ (* maxCos -2.0) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos)))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 2.2000000171829015e-5f) {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f - ux))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))));
	} else {
		tmp = 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(2.2000000171829015e-5))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(2.2000000171829015e-5))
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) - ux))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))));
	else
		tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 2.20000002e-5

   1. Initial program 55.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 92.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right)}\right) \]

   13. Simplified 91.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   if 2.20000002e-5 < maxCos

   1. Initial program 51.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      2. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Simplified 87.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. --lowering--.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f32 77.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 77.9%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 2.2000000171829015 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 81.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   2.0
   (*
    PI
    (sqrt
     (*
      ux
      (-
       (+ 2.0 (* maxCos -2.0))
       (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * (2.0f * (((float) M_PI) * sqrtf((ux * ((2.0f + (maxCos * -2.0f)) - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f))))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * (single(2.0) * (single(pi) * sqrt((ux * ((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

8. Simplified 91.7%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. +-lowering-+.f32 83.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 83.7%

    \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)} \]

12. Final simplification 83.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 81.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  2.0
  (*
   (* uy PI)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (+ (* maxCos -2.0) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({ux}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {ux}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\color{blue}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(\color{blue}{2} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 91.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(ux, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

10. Simplified 91.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot {ux}^{0.5}\right) \cdot {\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}^{0.5} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. +-lowering-+.f32 83.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 83.6%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)} \]

14. Final simplification 83.6%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 77.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(2 \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux))) (* 2.0 (* ux (* uy PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux))) * (2.0f * (ux * (uy * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(ux * Float32(uy * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux))) * (single(2.0) * (ux * (uy * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)}^{2}}\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 53.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 92.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(ux \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot ux\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - \color{blue}{1}}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), ux\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - \color{blue}{1}}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), ux\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f32 79.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), ux\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right) \]

11. Simplified 79.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}} \]

12. Final simplification 79.6%

    \[\leadsto \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \cdot \left(2 \cdot \left(ux \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 66.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

3. Simplified 55.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 49.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 69.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 69.3%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

11. Final simplification 69.3%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

3. Simplified 55.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 49.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 7.2%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {0}^{\frac{1}{2}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 0 \]

    4. mul0-rgt 7.2%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 7.2%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))