bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.8% → 98.1%

Time: 16.4s

Alternatives: 6

Speedup: 40.6×

• Could not converge on a ground truth

  1. reg0 = (bf "-1.433302296318362954045720542399746092682e268")

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 0.094:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x\_m}{x\_m}\right)\right) + -1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 0.094)
   (*
    (pow x_m 2.0)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      (* x_m x_m)
      (-
       (*
        (* x_m x_m)
        (+ 0.0003527336860670194 (* (* x_m x_m) -2.6455026455026456e-5)))
       0.005555555555555556))))
   (+ (+ 1.0 (log (/ (sinh x_m) x_m))) -1.0)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.094) {
		tmp = pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = (1.0 + log((sinh(x_m) / x_m))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 0.094d0) then
        tmp = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194d0 + ((x_m * x_m) * (-2.6455026455026456d-5)))) - 0.005555555555555556d0)))
    else
        tmp = (1.0d0 + log((sinh(x_m) / x_m))) + (-1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.094) {
		tmp = Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = (1.0 + Math.log((Math.sinh(x_m) / x_m))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 0.094:
		tmp = math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = (1.0 + math.log((math.sinh(x_m) / x_m))) + -1.0
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.094)
		tmp = Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + log(Float64(sinh(x_m) / x_m))) + -1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 0.094)
		tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	else
		tmp = (1.0 + log((sinh(x_m) / x_m))) + -1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 0.094], N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[Log[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.094

   1. Initial program 53.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   if 0.094 < x

   1. Initial program 49.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-undefine 48.9%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

      3. log1p-undefine 48.9%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

      4. rem-exp-log 48.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

   4. Applied egg-rr 48.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.094:\\ \;\;\;\;{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) + -1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 0.09:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x\_m}{x\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= x_m 0.09)
   (*
    (pow x_m 2.0)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      (* x_m x_m)
      (-
       (*
        (* x_m x_m)
        (+ 0.0003527336860670194 (* (* x_m x_m) -2.6455026455026456e-5)))
       0.005555555555555556))))
   (log (/ (sinh x_m) x_m))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.09) {
		tmp = pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = log((sinh(x_m) / x_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 0.09d0) then
        tmp = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194d0 + ((x_m * x_m) * (-2.6455026455026456d-5)))) - 0.005555555555555556d0)))
    else
        tmp = log((sinh(x_m) / x_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.09) {
		tmp = Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = Math.log((Math.sinh(x_m) / x_m));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 0.09:
		tmp = math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = math.log((math.sinh(x_m) / x_m))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.09)
		tmp = Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556))));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x_m) / x_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 0.09)
		tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
	else
		tmp = log((sinh(x_m) / x_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[x$95$m, 0.09], N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.089999999999999997

   1. Initial program 53.3%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.9%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   if 0.089999999999999997 < x

   1. Initial program 49.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.09:\\ \;\;\;\;{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ {x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (*
  (pow x_m 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (* x_m x_m)
    (-
     (*
      (* x_m x_m)
      (+ 0.0003527336860670194 (* (* x_m x_m) -2.6455026455026456e-5)))
     0.005555555555555556)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194d0 + ((x_m * x_m) * (-2.6455026455026456d-5)))) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0003527336860670194 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * (((x_m * x_m) * (0.0003527336860670194 + ((x_m * x_m) * -2.6455026455026456e-5))) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.8%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.8%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.8%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

10. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0.3333333333333333 \cdot \left({x\_m}^{2} \cdot \left(0.5 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (*
  0.3333333333333333
  (* (pow x_m 2.0) (+ 0.5 (* (* x_m x_m) -0.016666666666666666)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.3333333333333333 * (pow(x_m, 2.0) * (0.5 + ((x_m * x_m) * -0.016666666666666666)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.3333333333333333d0 * ((x_m ** 2.0d0) * (0.5d0 + ((x_m * x_m) * (-0.016666666666666666d0))))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.3333333333333333 * (Math.pow(x_m, 2.0) * (0.5 + ((x_m * x_m) * -0.016666666666666666)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.3333333333333333 * (math.pow(x_m, 2.0) * (0.5 + ((x_m * x_m) * -0.016666666666666666)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(0.3333333333333333 * Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -0.016666666666666666))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.3333333333333333 * ((x_m ^ 2.0) * (0.5 + ((x_m * x_m) * -0.016666666666666666)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 52.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   2. pow1/3 52.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   3. log-pow 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}\right)} \]

   4. pow3 52.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)} \]

   5. log-pow 53.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 95.0%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.5 + -0.016666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right) \]

7. Simplified 95.0%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.5 + {x}^{2} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.8%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x_m x_m)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.16666666666666666d0 * (x_m * x_m)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.16666666666666666 * (x_m * x_m)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x_m * x_m))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x_m * x_m);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 52.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   2. pow1/3 52.8%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   3. log-pow 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(\left(\frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \frac{\sinh x}{x}\right)} \]

   4. pow3 52.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)} \]

   5. log-pow 53.2%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

7. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.8%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

10. Final simplification 94.3%

    \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 49.5% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0 \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 0.0)

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.0d0
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.0

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return 0.0
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 48.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

5. Applied egg-rr 48.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024150 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs x) 17/200) (let ((x2 (* x x))) (* x2 (fma (fma (fma -1/37800 x2 1/2835) x2 -1/180) x2 1/6))) (log (/ (sinh x) x))))

  (log (/ (sinh x) x)))