expfmod (used to be hard to sample)

Percentage Accurate: 6.8% → 62.8%

Time: 17.7s

Alternatives: 6

Speedup: 5.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.5218722766483953e+103

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 62.8% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -7.5 \cdot 10^{-155}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{x} + \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x}\right)\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \bmod 1\right)}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666))))))))
   (if (<= x -7.5e-155)
     (/
      (fmod
       (* (* x x) (+ (/ 1.0 x) (+ 0.5 (/ 1.0 (* x x)))))
       (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* x (* x -0.010416666666666666)))))))
      t_0)
     (/ (fmod x 1.0) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666)))));
	double tmp;
	if (x <= -7.5e-155) {
		tmp = fmod(((x * x) * ((1.0 / x) + (0.5 + (1.0 / (x * x))))), (1.0 + (x * (x * (-0.25 + (x * (x * -0.010416666666666666))))))) / t_0;
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0) / t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0)))))
    if (x <= (-7.5d-155)) then
        tmp = mod(((x * x) * ((1.0d0 / x) + (0.5d0 + (1.0d0 / (x * x))))), (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + (x * (x * (-0.010416666666666666d0)))))))) / t_0
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0) / t_0
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666)))))
	tmp = 0
	if x <= -7.5e-155:
		tmp = math.fmod(((x * x) * ((1.0 / x) + (0.5 + (1.0 / (x * x))))), (1.0 + (x * (x * (-0.25 + (x * (x * -0.010416666666666666))))))) / t_0
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0) / t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -7.5e-155)
		tmp = Float64(rem(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(0.5 + Float64(1.0 / Float64(x * x))))), Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(x * Float64(x * -0.010416666666666666))))))) / t_0);
	else
		tmp = Float64(rem(x, 1.0) / t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -7.5e-155], N[(N[With[{TMP1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(x * N[(x * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -7.5000000000000006e-155

   1. Initial program 17.6%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 17.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 17.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 17.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 17.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 15.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 15.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 14.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 14.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{x} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 25.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 25.5%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{x} + \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if -7.5000000000000006e-155 < x

   1. Initial program 4.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 4.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 4.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 3.9%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 3.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 3.9%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 28.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 28.1%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 70.9%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 60.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(t\_0 \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5))))))
   (if (<= x -2e-310)
     (/
      (fmod
       t_0
       (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* x (* x -0.010416666666666666)))))))
      t_0)
     (/
      (fmod x 1.0)
      (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double tmp;
	if (x <= -2e-310) {
		tmp = fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + (x * (x * -0.010416666666666666))))))) / t_0;
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    if (x <= (-2d-310)) then
        tmp = mod(t_0, (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + (x * (x * (-0.010416666666666666d0)))))))) / t_0
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0) / (1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	tmp = 0
	if x <= -2e-310:
		tmp = math.fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + (x * (x * -0.010416666666666666))))))) / t_0
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-310)
		tmp = Float64(rem(t_0, Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(x * Float64(x * -0.010416666666666666))))))) / t_0);
	else
		tmp = Float64(rem(x, 1.0) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666)))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2e-310], N[(N[With[{TMP1 = t$95$0, TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(x * N[(x * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 10.2%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 10.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 10.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 10.3%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 9.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 9.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 8.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 8.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(x \cdot 1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

       2. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(x + \color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + x\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + x\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + x\right) + \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + x\right) + \frac{1}{2} \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

       7. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 + \color{blue}{\left(x + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

       9. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

       14. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

       15. cancel-sign-sub-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 - \frac{-1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

       17. cancel-sign-sub-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 11.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 11.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}} \]

   if -1.999999999999994e-310 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 4.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 4.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 37.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 60.3% accurate, 4.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right)}{x + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2e-310)
   (/ (fmod (+ x 1.0) 1.0) (+ x 1.0))
   (/
    (fmod x 1.0)
    (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666)))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e-310) {
		tmp = fmod((x + 1.0), 1.0) / (x + 1.0);
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2d-310)) then
        tmp = mod((x + 1.0d0), 1.0d0) / (x + 1.0d0)
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0) / (1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2e-310:
		tmp = math.fmod((x + 1.0), 1.0) / (x + 1.0)
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-310)
		tmp = Float64(rem(Float64(x + 1.0), 1.0) / Float64(x + 1.0));
	else
		tmp = Float64(rem(x, 1.0) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666)))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2e-310], N[(N[With[{TMP1 = N[(x + 1.0), $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[(x + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 10.2%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 10.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 10.3%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 9.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 9.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 8.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 8.4%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   16. Simplified 9.6%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(1 + x\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x}} \]

   if -1.999999999999994e-310 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 4.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 4.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 37.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right)}{x + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 24.1% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right)}{x + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (fmod (+ x 1.0) 1.0) (+ x 1.0)))

C

double code(double x) {
	return fmod((x + 1.0), 1.0) / (x + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod((x + 1.0d0), 1.0d0) / (x + 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod((x + 1.0), 1.0) / (x + 1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(Float64(x + 1.0), 1.0) / Float64(x + 1.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[(x + 1.0), $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[(x + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 7.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 6.8%

   \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 6.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 6.4%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 25.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 25.1%

    \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 25.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right)\right) \]

16. Simplified 25.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(1 + x\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x}} \]

17. Final simplification 25.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right)}{x + 1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 5: 23.2% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod (+ x 1.0) 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod((x + 1.0), 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod((x + 1.0d0), 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod((x + 1.0), 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(Float64(x + 1.0), 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = N[(x + 1.0), $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 7.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\cos x}\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\cos x}}\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 5.5%

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 5.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 5.5%

    \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right) \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 24.6%

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

13. Simplified 24.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

14. Final simplification 24.6%

    \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 22.2% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod 1.0 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod(1.0, 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(1.0d0, 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(1.0, 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(1.0, 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 7.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 24.2%

   \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{1} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 23.9%

    \[\leadsto \frac{\left(1 \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \bmod 1\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. fmod-lowering-fmod.f64 24.0%

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right) \]

13. Simplified 24.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \bmod 1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024149 
(FPCore (x)
  :name "expfmod (used to be hard to sample)"
  :precision binary64
  (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))