Quadratic roots, medium range

Percentage Accurate: 31.5% → 99.7%

Time: 17.4s

Alternatives: 9

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < a \land a < 9007199254740992\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < b \land b < 9007199254740992\right)\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < c \land c < 9007199254740992\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 31.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -4 + \frac{b \cdot b}{a}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (sqrt (* a (+ (* c -4.0) (/ (* b b) a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + sqrt((a * ((c * (-4.0d0)) + ((b * b) / a)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + Math.sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + math.sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + sqrt(Float64(a * Float64(Float64(c * -4.0) + Float64(Float64(b * b) / a))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(N[(c * -4.0), $MachinePrecision] + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-4 \cdot c + \frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-4 \cdot c + \frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-4 \cdot c\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot -4\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({b}^{2}\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 99.8%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(c \cdot -4 + \frac{b \cdot b}{a}\right)}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ -2.0 (+ b (sqrt (+ (* b b) (* -4.0 (* c a))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-2.0d0) / (b + sqrt(((b * b) + ((-4.0d0) * (c * a))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + Math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-2.0 / (b + math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-2.0 / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-4.0 * Float64(c * a)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-2.0 / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-4.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    6. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -4\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-4 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-4 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-4, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 99.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.4% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* -2.0 c)
  (+ (* b 2.0) (* (* -2.0 c) (+ (/ a b) (/ (* c (* a a)) (* b (* b b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / ((b * 2.0d0) + (((-2.0d0) * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(Float64(-2.0 * c) * Float64(Float64(a / b) + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * N[(N[(a / b), $MachinePrecision] + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \color{blue}{\left(2 \cdot b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(c \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(c \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot c\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{\color{blue}{{a}^{2} \cdot c}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    21. *-lowering-*.f64 93.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 93.3%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + \left(c \cdot -2\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}} \]

13. Final simplification 93.3%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.4% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* -2.0 c)
  (+ b (+ b (* (* -2.0 c) (+ (/ a b) (/ (* c (* a a)) (* b (* b b)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + (b + (((-2.0d0) * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + Float64(b + Float64(Float64(-2.0 * c) * Float64(Float64(a / b) + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * N[(N[(a / b), $MachinePrecision] + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\left(c \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot c\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{\color{blue}{{a}^{2} \cdot c}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 93.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \color{blue}{\left(b + \left(c \cdot -2\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

13. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.3% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \frac{\left(-2 \cdot c\right) \cdot a}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ (* b 2.0) (/ (* (* -2.0 c) a) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + (((-2.0 * c) * a) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / ((b * 2.0d0) + ((((-2.0d0) * c) * a) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + (((-2.0 * c) * a) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + (((-2.0 * c) * a) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(Float64(Float64(-2.0 * c) * a) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + (((-2.0 * c) * a) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b} + 2 \cdot b\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \color{blue}{-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \frac{a \cdot c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot -2\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + a \cdot \color{blue}{\left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + a \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{c}{b}}\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

    11. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{a \cdot c}{b} \cdot -2\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot c}{b}}\right)\right)\right) \]

    13. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), b\right)\right)\right) \]

    16. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot c\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot c\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    19. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    20. *-lowering-*.f64 89.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -2\right)\right), b\right)\right)\right) \]

12. Simplified 89.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + \frac{a \cdot \left(c \cdot -2\right)}{b}}} \]

13. Final simplification 89.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \frac{\left(-2 \cdot c\right) \cdot a}{b}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \frac{\left(-2 \cdot c\right) \cdot a}{b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (+ b (/ (* (* -2.0 c) a) b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + (((-2.0 * c) * a) / b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + (b + ((((-2.0d0) * c) * a) / b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + (((-2.0 * c) * a) / b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + (b + (((-2.0 * c) * a) / b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + Float64(b + Float64(Float64(Float64(-2.0 * c) * a) / b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + (b + (((-2.0 * c) * a) / b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(b + \frac{a \cdot c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(b + \left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(b + a \cdot \color{blue}{\left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(b + a \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{c}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\frac{a \cdot c}{b} \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot c}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    10. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    13. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot c\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot c\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 89.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 89.8%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \color{blue}{\left(b + \frac{a \cdot \left(c \cdot -2\right)}{b}\right)}} \]

13. Final simplification 89.8%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \frac{\left(-2 \cdot c\right) \cdot a}{b}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.9% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 94.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

9. Applied egg-rr 94.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + -0.25 \cdot \frac{\left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(a \cdot 20\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot a} - \frac{c}{b} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} - c}{b}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)}{b} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + -1 \cdot c}{b} \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + -1 \cdot c\right), b\right) \]

    6. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)\right), b\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} - c\right), b\right) \]

    8. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), c\right), b\right) \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right), c\right), b\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    11. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    12. neg-lowering-neg.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), c\right), b\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), c\right), b\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 89.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), c\right), b\right) \]

12. Simplified 89.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} - c}{b}} \]

13. Final simplification 89.5%

    \[\leadsto \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (- 0.0 (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0 - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0 - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.0 - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0 - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 31.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 31.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 80.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 80.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 80.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right) \]

10. Simplified 80.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}} \]

11. Final simplification 80.4%

    \[\leadsto 0 - \frac{c}{b} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024148 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, medium range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.1102230246251565e-16 a) (< a 9007199254740992.0)) (and (< 1.1102230246251565e-16 b) (< b 9007199254740992.0))) (and (< 1.1102230246251565e-16 c) (< c 9007199254740992.0)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))