Bearing on a great circle

Percentage Accurate: 78.7% → 99.7%

Time: 33.5s

Alternatives: 32

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 78.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 92.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \cos \lambda_1, \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (fma (- 0.0 (cos lambda1)) (sin lambda2) (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * fma((0.0 - cos(lambda1)), sin(lambda2), (sin(lambda1) * cos(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * fma(Float64(0.0 - cos(lambda1)), sin(lambda2), Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 92.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0 - \cos \lambda_1, \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \cos \lambda_1\right), \sin \lambda_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right), \sin \lambda_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \sin \lambda_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \cos \lambda_1, \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.7%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-\cos \lambda_1}, \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

11. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0 - \cos \lambda_1, \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 92.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 92.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 89.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -5.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.3 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
          (- t_0 (* (cos lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))
   (if (<= lambda2 -5.7e-9)
     t_1
     (if (<= lambda2 1.3e-6)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -5.7e-9) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda2 <= 1.3e-6) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    if (lambda2 <= (-5.7d-9)) then
        tmp = t_1
    else if (lambda2 <= 1.3d-6) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - (Math.cos(lambda2) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -5.7e-9) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda2 <= 1.3e-6) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda1) * Math.sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (t_0 - (math.cos(lambda2) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -5.7e-9:
		tmp = t_1
	elif lambda2 <= 1.3e-6:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda1) * math.sin(phi1)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -5.7e-9)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda2 <= 1.3e-6)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -5.7e-9)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda2 <= 1.3e-6)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -5.7e-9], t$95$1, If[LessEqual[lambda2, 1.3e-6], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -5.6999999999999998e-9 or 1.30000000000000005e-6 < lambda2

   1. Initial program 67.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 86.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   if -5.6999999999999998e-9 < lambda2 < 1.30000000000000005e-6

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -5.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.3 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot t\_1}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000155:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 6.7 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
          (- t_0 (* (cos lambda1) t_1)))))
   (if (<= lambda1 -0.000155)
     t_2
     (if (<= lambda1 6.7e-15)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000155) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 6.7e-15) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)))
    if (lambda1 <= (-0.000155d0)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda1 <= 6.7d-15) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_2 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000155) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 6.7e-15) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_2 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (t_0 - (math.cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -0.000155:
		tmp = t_2
	elif lambda1 <= 6.7e-15:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * t_1)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -0.000155)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 6.7e-15)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (cos(lambda1) * t_1)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -0.000155)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 6.7e-15)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -0.000155], t$95$2, If[LessEqual[lambda1, 6.7e-15], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -1.55e-4 or 6.70000000000000001e-15 < lambda1

   1. Initial program 67.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 85.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 85.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   if -1.55e-4 < lambda1 < 6.70000000000000001e-15

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000155:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 6.7 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 92.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 92.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 87.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 + t\_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(-1 - -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -40.0)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))
     (if (<= phi1 1.4)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
        (+
         t_0
         (*
          t_1
          (*
           phi1
           (* (cos phi2) (- -1.0 (* -0.16666666666666666 (* phi1 phi1))))))))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -40.0) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 + (t_1 * (phi1 * (cos(phi2) * (-1.0 - (-0.16666666666666666 * (phi1 * phi1))))))));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-40.0d0)) then
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))))
    else if (phi1 <= 1.4d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 + (t_1 * (phi1 * (cos(phi2) * ((-1.0d0) - ((-0.16666666666666666d0) * (phi1 * phi1))))))))
    else
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -40.0) {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (t_0 + (t_1 * (phi1 * (Math.cos(phi2) * (-1.0 - (-0.16666666666666666 * (phi1 * phi1))))))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -40.0:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * t_1))))
	elif phi1 <= 1.4:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (t_0 + (t_1 * (phi1 * (math.cos(phi2) * (-1.0 - (-0.16666666666666666 * (phi1 * phi1))))))))
	else:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -40.0)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(t_0 + Float64(t_1 * Float64(phi1 * Float64(cos(phi2) * Float64(-1.0 - Float64(-0.16666666666666666 * Float64(phi1 * phi1))))))));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -40.0)
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 + (t_1 * (phi1 * (cos(phi2) * (-1.0 - (-0.16666666666666666 * (phi1 * phi1))))))));
	else
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -40.0], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.4], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * N[(phi1 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(-0.16666666666666666 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -40

   1. Initial program 79.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 79.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -40 < phi1 < 1.3999999999999999

   1. Initial program 82.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 + \frac{-1}{6} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\cos \phi_2 + \frac{-1}{6} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\cos \phi_2 + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_1}^{2}\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_1}^{2} + 1\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_1}^{2} + 1\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_1}^{2}\right), 1\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({\phi_1}^{2}\right)\right), 1\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right), 1\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), 1\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) + 1\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 1.3999999999999999 < phi1

   1. Initial program 89.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 89.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 89.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 89.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(-1 - -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2300000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\sin \phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot -0.5\right) - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -2300000.0)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))
     (if (<= phi1 1.4)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
        (-
         (* (sin phi2) (+ 1.0 (* (* phi1 phi1) -0.5)))
         (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_1)))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2300000.0) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((sin(phi2) * (1.0 + ((phi1 * phi1) * -0.5))) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-2300000.0d0)) then
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))))
    else if (phi1 <= 1.4d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((sin(phi2) * (1.0d0 + ((phi1 * phi1) * (-0.5d0)))) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)))
    else
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2300000.0) {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.sin(phi2) * (1.0 + ((phi1 * phi1) * -0.5))) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * t_1)));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -2300000.0:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * t_1))))
	elif phi1 <= 1.4:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.sin(phi2) * (1.0 + ((phi1 * phi1) * -0.5))) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * t_1)))
	else:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -2300000.0)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(sin(phi2) * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi1 * phi1) * -0.5))) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -2300000.0)
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((sin(phi2) * (1.0 + ((phi1 * phi1) * -0.5))) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	else
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -2300000.0], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.4], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -2.3e6

   1. Initial program 78.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -2.3e6 < phi1 < 1.3999999999999999

   1. Initial program 82.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \phi_2 + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \sin \phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \phi_2 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) \cdot \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + 1\right) \cdot \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + 1\right), \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right), 1\right), \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_1}^{2}\right)\right), 1\right), \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right), 1\right), \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), 1\right), \sin \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), 1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) + 1\right) \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 1.3999999999999999 < phi1

   1. Initial program 89.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 89.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 89.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 89.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2300000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\sin \phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot -0.5\right) - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.3 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - t\_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -5.3e-5)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))
     (if (<= phi1 1.4)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
        (- t_0 (* t_1 (* (cos phi2) phi1))))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.3e-5) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (t_1 * (cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-5.3d-5)) then
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))))
    else if (phi1 <= 1.4d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (t_1 * (cos(phi2) * phi1))))
    else
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.3e-5) {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - (t_1 * (Math.cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -5.3e-5:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * t_1))))
	elif phi1 <= 1.4:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (t_0 - (t_1 * (math.cos(phi2) * phi1))))
	else:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.3e-5)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * Float64(cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -5.3e-5)
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (t_1 * (cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.3e-5], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.4], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -5.3000000000000001e-5

   1. Initial program 77.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 77.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -5.3000000000000001e-5 < phi1 < 1.3999999999999999

   1. Initial program 82.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 1.3999999999999999 < phi1

   1. Initial program 89.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 89.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 89.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 89.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.3 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 87.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -370:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -370.0)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))
     (if (<= phi1 2e-6)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
        (- (sin phi2) (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_1)))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -370.0) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 2e-6) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (sin(phi2) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-370.0d0)) then
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))))
    else if (phi1 <= 2d-6) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (sin(phi2) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)))
    else
        tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -370.0) {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 2e-6) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (Math.sin(phi2) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * t_1)));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_2, (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -370.0:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * t_1))))
	elif phi1 <= 2e-6:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (math.sin(phi2) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * t_1)))
	else:
		tmp = math.atan2(t_2, (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -370.0)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 2e-6)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(sin(phi2) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -370.0)
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 2e-6)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (sin(phi2) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	else
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -370.0], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 2e-6], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -370

   1. Initial program 78.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -370 < phi1 < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 83.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 1.99999999999999991e-6 < phi1

   1. Initial program 87.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 87.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 87.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -370:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -4.5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 4.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= lambda2 -4.5e+154)
     (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1)))))
     (if (<= lambda2 -95.0)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       (if (<= lambda2 4.1e-5)
         (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))
         (atan2 t_1 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -4.5e+154) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	} else if (lambda2 <= -95.0) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 4.1e-5) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -4.5e+154)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))));
	elseif (lambda2 <= -95.0)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 4.1e-5)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -4.5e+154], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, -95.0], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 4.1e-5], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if lambda2 < -4.50000000000000009e154

   1. Initial program 74.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 74.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   if -4.50000000000000009e154 < lambda2 < -95

   1. Initial program 49.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 81.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 80.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -95 < lambda2 < 4.10000000000000005e-5

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]

   if 4.10000000000000005e-5 < lambda2

   1. Initial program 71.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 71.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 71.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 71.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \sin \phi_1} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 85.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -4.5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 4.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.6 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00047:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))))
        (t_2 (atan2 t_1 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2)))))))
   (if (<= lambda2 -2.6e+154)
     t_2
     (if (<= lambda2 -95.0)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       (if (<= lambda2 0.00047)
         (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))
         t_2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -2.6e+154) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= -95.0) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 0.00047) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_2 = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -2.6e+154)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= -95.0)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 0.00047)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -2.6e+154], t$95$2, If[LessEqual[lambda2, -95.0], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 0.00047], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -2.59999999999999989e154 or 4.69999999999999986e-4 < lambda2

   1. Initial program 72.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 72.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 72.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if -2.59999999999999989e154 < lambda2 < -95

   1. Initial program 49.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 81.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 80.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 74.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -95 < lambda2 < 4.69999999999999986e-4

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.6 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00047:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 86.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.4 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -5.4e-18)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))
     (if (<= phi1 8.2e-11)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.4e-18) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 8.2e-11) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.4e-18)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 8.2e-11)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.4e-18], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 8.2e-11], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -5.39999999999999977e-18

   1. Initial program 78.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -5.39999999999999977e-18 < phi1 < 8.2000000000000001e-11

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 97.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 97.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if 8.2000000000000001e-11 < phi1

   1. Initial program 87.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 87.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 87.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.4 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 86.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.9 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.6 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))
   (if (<= phi1 -1.9e-17)
     t_0
     (if (<= phi1 3.6e-11)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.9e-17) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 3.6e-11) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.9e-17)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 3.6e-11)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.9e-17], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 3.6e-11], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -1.9000000000000001e-17 or 3.59999999999999985e-11 < phi1

   1. Initial program 83.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 83.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -1.9000000000000001e-17 < phi1 < 3.59999999999999985e-11

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 97.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 97.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.9 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.6 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 78.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.2:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (fma
            (sin lambda1)
            (cos lambda2)
            (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
           (cos phi2))
          (sin phi2))))
   (if (<= lambda2 -95.0)
     t_0
     (if (<= lambda2 0.2)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (-
         (* (cos phi1) (sin phi2))
         (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -95.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (lambda2 <= 0.2) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -95.0)
		tmp = t_0;
	elseif (lambda2 <= 0.2)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -95.0], t$95$0, If[LessEqual[lambda2, 0.2], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -95 or 0.20000000000000001 < lambda2

   1. Initial program 67.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 73.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 63.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 63.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -95 < lambda2 < 0.20000000000000001

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -95:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.2:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 72.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -40.0)
     t_0
     (if (<= phi1 1.4)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (- 0.0 (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -40.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -40.0)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -40.0], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.4], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -40 or 1.3999999999999999 < phi1

   1. Initial program 85.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 55.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -40 < phi1 < 1.3999999999999999

   1. Initial program 82.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 97.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 95.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 95.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 55.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - t\_0}\\ t_2 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(t\_2 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{\phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right) + t\_0 \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))
        (t_1
         (atan2
          (* (sin lambda1) (cos phi2))
          (- (* (cos phi1) (sin phi2)) t_0)))
        (t_2 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -5.2e+14)
     t_1
     (if (<= phi2 6.4)
       (atan2
        (+
         t_2
         (*
          (* phi2 phi2)
          (* t_2 (+ -0.5 (* (* phi2 phi2) 0.041666666666666664)))))
        (+
         (* phi2 (* (cos phi1) (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* phi2 phi2)))))
         (* t_0 (- -1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2))))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - t_0));
	double t_2 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.2e+14) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 6.4) {
		tmp = atan2((t_2 + ((phi2 * phi2) * (t_2 * (-0.5 + ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664))))), ((phi2 * (cos(phi1) * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2))))) + (t_0 * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - t_0))
    t_2 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-5.2d+14)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 6.4d0) then
        tmp = atan2((t_2 + ((phi2 * phi2) * (t_2 * ((-0.5d0) + ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664d0))))), ((phi2 * (cos(phi1) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (phi2 * phi2))))) + (t_0 * ((-1.0d0) - ((-0.5d0) * (phi2 * phi2))))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - t_0));
	double t_2 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.2e+14) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 6.4) {
		tmp = Math.atan2((t_2 + ((phi2 * phi2) * (t_2 * (-0.5 + ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664))))), ((phi2 * (Math.cos(phi1) * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2))))) + (t_0 * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - t_0))
	t_2 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -5.2e+14:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 6.4:
		tmp = math.atan2((t_2 + ((phi2 * phi2) * (t_2 * (-0.5 + ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664))))), ((phi2 * (math.cos(phi1) * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2))))) + (t_0 * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_1 = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - t_0))
	t_2 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -5.2e+14)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 6.4)
		tmp = atan(Float64(t_2 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(t_2 * Float64(-0.5 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * 0.041666666666666664))))), Float64(Float64(phi2 * Float64(cos(phi1) * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(phi2 * phi2))))) + Float64(t_0 * Float64(-1.0 - Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - t_0));
	t_2 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -5.2e+14)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 6.4)
		tmp = atan2((t_2 + ((phi2 * phi2) * (t_2 * (-0.5 + ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664))))), ((phi2 * (cos(phi1) * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (phi2 * phi2))))) + (t_0 * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -5.2e+14], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 6.4], N[ArcTan[N[(t$95$2 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(t$95$2 * N[(-0.5 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(-1.0 - N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -5.2e14 or 6.4000000000000004 < phi2

   1. Initial program 81.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 91.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 91.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 64.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 32.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 32.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -5.2e14 < phi2 < 6.4000000000000004

   1. Initial program 85.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 85.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 82.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_2}^{2}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + -1 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \left(\cos \phi_1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \left(\cos \phi_1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right), \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right), 1\right), \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right), 1\right), \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right), 1\right), \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right), 1\right), \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 83.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right), 1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 83.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) + 1\right) \cdot \cos \phi_1\right)} - \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.2 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{\phi_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right) + \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 65.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
  (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 69.3%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 69.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Final simplification 69.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 20: 65.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
  (- (sin phi2) (* (sin phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.sin(phi2) - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.sin(phi2) - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(sin(phi2) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 83.5%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 83.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

7. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 67.2%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 67.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1} \]

10. Final simplification 67.2%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 21: 52.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_3 := \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_2 - \sin \phi_1 \cdot t\_0}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2.5 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.25 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{t\_2 + \phi_1 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.5 + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.7 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda2 lambda1)))
        (t_1 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_3 (atan2 t_1 (- t_2 (* (sin phi1) t_0)))))
   (if (<= phi1 -2.5e-61)
     t_3
     (if (<= phi1 2.25e-250)
       (atan2
        (* (cos phi2) t_1)
        (+ t_2 (* phi1 (* t_0 (+ (* (* phi2 phi2) 0.5) -1.0)))))
       (if (<= phi1 3.7e-11)
         (atan2
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))
          (sin phi2))
         t_3)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_3 = atan2(t_1, (t_2 - (sin(phi1) * t_0)));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2.5e-61) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi1 <= 2.25e-250) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_1), (t_2 + (phi1 * (t_0 * (((phi2 * phi2) * 0.5) + -1.0)))));
	} else if (phi1 <= 3.7e-11) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda2 - lambda1))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_3 = atan2(t_1, (t_2 - (sin(phi1) * t_0)))
    if (phi1 <= (-2.5d-61)) then
        tmp = t_3
    else if (phi1 <= 2.25d-250) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * t_1), (t_2 + (phi1 * (t_0 * (((phi2 * phi2) * 0.5d0) + (-1.0d0))))))
    else if (phi1 <= 3.7d-11) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2))
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_3 = Math.atan2(t_1, (t_2 - (Math.sin(phi1) * t_0)));
	double tmp;
	if (phi1 <= -2.5e-61) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi1 <= 2.25e-250) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_1), (t_2 + (phi1 * (t_0 * (((phi2 * phi2) * 0.5) + -1.0)))));
	} else if (phi1 <= 3.7e-11) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_3 = math.atan2(t_1, (t_2 - (math.sin(phi1) * t_0)))
	tmp = 0
	if phi1 <= -2.5e-61:
		tmp = t_3
	elif phi1 <= 2.25e-250:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * t_1), (t_2 + (phi1 * (t_0 * (((phi2 * phi2) * 0.5) + -1.0)))))
	elif phi1 <= 3.7e-11:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_3 = atan(t_1, Float64(t_2 - Float64(sin(phi1) * t_0)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -2.5e-61)
		tmp = t_3;
	elseif (phi1 <= 2.25e-250)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_1), Float64(t_2 + Float64(phi1 * Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(phi2 * phi2) * 0.5) + -1.0)))));
	elseif (phi1 <= 3.7e-11)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_3 = atan2(t_1, (t_2 - (sin(phi1) * t_0)));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -2.5e-61)
		tmp = t_3;
	elseif (phi1 <= 2.25e-250)
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_1), (t_2 + (phi1 * (t_0 * (((phi2 * phi2) * 0.5) + -1.0)))));
	elseif (phi1 <= 3.7e-11)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$2 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -2.5e-61], t$95$3, If[LessEqual[phi1, 2.25e-250], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 + N[(phi1 * N[(t$95$0 * N[(N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 3.7e-11], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -2.4999999999999999e-61 or 3.7000000000000001e-11 < phi1

   1. Initial program 83.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 83.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 49.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 49.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -2.4999999999999999e-61 < phi1 < 2.24999999999999997e-250

   1. Initial program 88.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 88.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 88.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 59.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 59.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{\phi_2}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(1 - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 59.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(1 - 0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right)}} \]

   if 2.24999999999999997e-250 < phi1 < 3.7000000000000001e-11

   1. Initial program 76.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 76.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 56.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 69.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 69.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 56.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -2.5 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.25 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.5 + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.7 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 50.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.62 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 + \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.6 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 -1.62e-260)
     (atan2
      (* (cos phi2) t_0)
      (+
       (* phi2 (cos phi1))
       (*
        (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))
        (- -1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2))))))
     (if (<= phi1 3.6e-11)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))
        (sin phi2))
       (atan2
        t_0
        (-
         (* (cos phi1) (sin phi2))
         (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.62e-260) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi2 * cos(phi1)) + ((sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))) * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else if (phi1 <= 3.6e-11) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-1.62d-260)) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi2 * cos(phi1)) + ((sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))) * ((-1.0d0) - ((-0.5d0) * (phi2 * phi2))))))
    else if (phi1 <= 3.6d-11) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.62e-260) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), ((phi2 * Math.cos(phi1)) + ((Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))) * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else if (phi1 <= 3.6e-11) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -1.62e-260:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), ((phi2 * math.cos(phi1)) + ((math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))) * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))))
	elif phi1 <= 3.6e-11:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(t_0, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.62e-260)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) + Float64(Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * Float64(-1.0 - Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2))))));
	elseif (phi1 <= 3.6e-11)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -1.62e-260)
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi2 * cos(phi1)) + ((sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))) * (-1.0 - (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	elseif (phi1 <= 3.6e-11)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.62e-260], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 3.6e-11], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.61999999999999993e-260

   1. Initial program 83.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 83.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 52.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\phi_2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 50.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_2} - \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)} \]

   if -1.61999999999999993e-260 < phi1 < 3.59999999999999985e-11

   1. Initial program 78.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 54.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 54.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 54.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 63.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]

   if 3.59999999999999985e-11 < phi1

   1. Initial program 87.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 50.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 50.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 50.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 54.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.62 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 + \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.6 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 50.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.85 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (sin (- lambda1 lambda2))
          (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -40.0)
     t_0
     (if (<= phi1 1.85e-5)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -40.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.85e-5) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-40.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (phi1 <= 1.85d-5) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -40.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.85e-5) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -40.0:
		tmp = t_0
	elif phi1 <= 1.85e-5:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -40.0)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.85e-5)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -40.0)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.85e-5)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -40.0], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.85e-5], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -40 or 1.84999999999999991e-5 < phi1

   1. Initial program 83.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 83.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 48.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      16. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(-\sin \phi_1\right)}} \]

   if -40 < phi1 < 1.84999999999999991e-5

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 83.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 50.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 50.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 58.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 58.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -40:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.85 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 49.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (sin (- lambda1 lambda2))
  (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   3. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   5. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   7. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   10. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 51.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 51.1%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

11. Final simplification 51.1%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 25: 48.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{t\_1 \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.3 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (cos (- lambda2 lambda1)))
        (t_2 (atan2 t_0 (* t_1 (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -3.3e-10)
     t_2
     (if (<= phi1 1.4)
       (atan2 t_0 (- (sin phi2) (* (* (cos phi2) phi1) t_1)))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_2 = atan2(t_0, (t_1 * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3.3e-10) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - ((cos(phi2) * phi1) * t_1)));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos((lambda2 - lambda1))
    t_2 = atan2(t_0, (t_1 * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-3.3d-10)) then
        tmp = t_2
    else if (phi1 <= 1.4d0) then
        tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - ((cos(phi2) * phi1) * t_1)))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double t_2 = Math.atan2(t_0, (t_1 * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3.3e-10) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi1 <= 1.4) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.sin(phi2) - ((Math.cos(phi2) * phi1) * t_1)));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	t_2 = math.atan2(t_0, (t_1 * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -3.3e-10:
		tmp = t_2
	elif phi1 <= 1.4:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.sin(phi2) - ((math.cos(phi2) * phi1) * t_1)))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_2 = atan(t_0, Float64(t_1 * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -3.3e-10)
		tmp = t_2;
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan(t_0, Float64(sin(phi2) - Float64(Float64(cos(phi2) * phi1) * t_1)));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos((lambda2 - lambda1));
	t_2 = atan2(t_0, (t_1 * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -3.3e-10)
		tmp = t_2;
	elseif (phi1 <= 1.4)
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - ((cos(phi2) * phi1) * t_1)));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[t$95$0 / N[(t$95$1 * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -3.3e-10], t$95$2, If[LessEqual[phi1, 1.4], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -3.3e-10 or 1.3999999999999999 < phi1

   1. Initial program 84.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 84.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 48.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      16. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(-\sin \phi_1\right)}} \]

   if -3.3e-10 < phi1 < 1.3999999999999999

   1. Initial program 82.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\color{blue}{\lambda_1} - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 52.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.3 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 46.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 1750000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \lambda_1 \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 1750000000.0)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
   (atan2
    (* (cos lambda1) (* 0.16666666666666666 (* lambda2 (* lambda2 lambda2))))
    (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 1750000000.0) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(lambda1) * (0.16666666666666666 * (lambda2 * (lambda2 * lambda2)))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= 1750000000.0d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = atan2((cos(lambda1) * (0.16666666666666666d0 * (lambda2 * (lambda2 * lambda2)))), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 1750000000.0) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(lambda1) * (0.16666666666666666 * (lambda2 * (lambda2 * lambda2)))), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= 1750000000.0:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(lambda1) * (0.16666666666666666 * (lambda2 * (lambda2 * lambda2)))), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 1750000000.0)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(lambda1) * Float64(0.16666666666666666 * Float64(lambda2 * Float64(lambda2 * lambda2)))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 1750000000.0)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = atan2((cos(lambda1) * (0.16666666666666666 * (lambda2 * (lambda2 * lambda2)))), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, 1750000000.0], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(lambda2 * N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 1.75e9

   1. Initial program 84.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 84.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 60.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 1.75e9 < phi2

   1. Initial program 81.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 10.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 10.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 10.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 10.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right) + -1 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right) - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \lambda_1 + \frac{1}{6} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   13. Simplified 10.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot -0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \lambda_2\right)\right) - \cos \lambda_1\right)}}{\sin \phi_2} \]

   14. Taylor expanded in lambda2 around inf

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left({\lambda_2}^{3} \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\lambda_2}^{3}\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\lambda_2}^{3}\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\lambda_2}^{3}\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\lambda_2 \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left({\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 13.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   16. Simplified 13.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 1750000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \lambda_1 \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 27: 45.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (sin (- lambda1 lambda2))
  (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   6. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   8. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   10. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   13. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   15. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 46.3%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 46.3%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(-\sin \phi_1\right)}} \]

11. Final simplification 46.3%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 28: 31.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -6 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -6e-61)
   (atan2 (- (sin lambda1) (* lambda2 (cos lambda1))) phi2)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -6e-61) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-6d-61)) then
        tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -6e-61) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) - (lambda2 * Math.cos(lambda1))), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -6e-61:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) - (lambda2 * math.cos(lambda1))), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -6e-61)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) - Float64(lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -6e-61)
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -6e-61], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -6.00000000000000024e-61

   1. Initial program 66.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 66.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 41.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 41.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 24.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 24.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 26.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   14. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 31.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

   16. Simplified 31.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \lambda_2}}{\phi_2} \]

   if -6.00000000000000024e-61 < lambda1

   1. Initial program 89.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 89.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 37.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 37.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -6 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 29: 31.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 450:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 450.0)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2)
   (atan2 (sin lambda1) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 450.0) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= 450.0d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 450.0) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin(lambda1), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= 450.0:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin(lambda1), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 450.0)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(lambda1), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 450.0)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, 450.0], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 450

   1. Initial program 84.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 63.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 41.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 41.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 42.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   if 450 < phi2

   1. Initial program 81.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 81.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 11.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 11.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 10.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 11.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

   13. Simplified 11.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 30: 31.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 34.4%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 34.4%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 31: 29.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 34.4%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 34.4%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 33.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 32: 22.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin lambda1) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin(lambda1), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin(lambda1), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(lambda1), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 83.5%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 83.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 34.4%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 34.4%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 33.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

14. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 22.5%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

16. Simplified 22.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024147 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Bearing on a great circle"
  :precision binary64
  (atan2 (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2)) (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))