Distance on a great circle

Percentage Accurate: 62.3% → 78.5%

Time: 49.3s

Alternatives: 21

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 62.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 78.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_1 := \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {t\_1}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - t\_0\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (pow
          (-
           (* (cos (* phi2 0.5)) (sin (* 0.5 phi1)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_1 (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1)))))
   (*
    (atan2
     (sqrt (+ t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (pow t_1 2.0))))
     (sqrt
      (+
       1.0
       (-
        (* (cos phi1) (* (* (cos phi2) t_1) (sin (* 0.5 (- lambda2 lambda1)))))
        t_0))))
    (* 2.0 R))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1)));
	return atan2(sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(t_1, 2.0)))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * t_1) * sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * (2.0 * R);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = ((cos((phi2 * 0.5d0)) * sin((0.5d0 * phi1))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_1 = sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1)))
    code = atan2(sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_1 ** 2.0d0)))), sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * t_1) * sin((0.5d0 * (lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * (2.0d0 * r)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.cos((phi2 * 0.5)) * Math.sin((0.5 * phi1))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1)));
	return Math.atan2(Math.sqrt((t_0 + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(t_1, 2.0)))), Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(phi2) * t_1) * Math.sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * (2.0 * R);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.cos((phi2 * 0.5)) * math.sin((0.5 * phi1))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_1 = math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1)))
	return math.atan2(math.sqrt((t_0 + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(t_1, 2.0)))), math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * ((math.cos(phi2) * t_1) * math.sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * (2.0 * R)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(Float64(phi2 * 0.5)) * sin(Float64(0.5 * phi1))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_1 = sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1)))
	return Float64(atan(sqrt(Float64(t_0 + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_1 ^ 2.0)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * t_1) * sin(Float64(0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * Float64(2.0 * R))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_1 = sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1)));
	tmp = atan2(sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_1 ^ 2.0)))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * t_1) * sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))))) - t_0)))) * (2.0 * R);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 64.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

11. Simplified 77.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Final simplification 77.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 77.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_1 := \sqrt{t\_0 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}\\ t_2 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - t\_0\right)}}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -175000000:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - t\_0\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (pow
          (-
           (* (cos (* phi2 0.5)) (sin (* 0.5 phi1)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           t_0
           (*
            (* (cos phi1) (cos phi2))
            (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0)))))
        (t_2
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           t_1
           (sqrt
            (+
             1.0
             (-
              (*
               (cos phi1)
               (* (* (cos phi2) (sin (* -0.5 lambda2))) (sin (* 0.5 lambda2))))
              t_0)))))))
   (if (<= lambda2 -175000000.0)
     t_2
     (if (<= lambda2 3.9e+23)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             (cos phi1)
             (*
              (sin (* 0.5 (- lambda2 lambda1)))
              (* (cos phi2) (sin (* 0.5 lambda1)))))
            t_0)))))
       t_2))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))));
	double t_2 = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda2))) * sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -175000000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))) * (cos(phi2) * sin((0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((cos((phi2 * 0.5d0)) * sin((0.5d0 * phi1))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0))))
    t_2 = (2.0d0 * r) * atan2(t_1, sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin(((-0.5d0) * lambda2))) * sin((0.5d0 * lambda2)))) - t_0))))
    if (lambda2 <= (-175000000.0d0)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda2 <= 3.9d+23) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_1, sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5d0 * (lambda2 - lambda1))) * (cos(phi2) * sin((0.5d0 * lambda1))))) - t_0))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.cos((phi2 * 0.5)) * Math.sin((0.5 * phi1))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = Math.sqrt((t_0 + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))));
	double t_2 = (2.0 * R) * Math.atan2(t_1, Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(phi2) * Math.sin((-0.5 * lambda2))) * Math.sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -175000000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_1, Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * (Math.sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))) * (Math.cos(phi2) * Math.sin((0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.cos((phi2 * 0.5)) * math.sin((0.5 * phi1))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_1 = math.sqrt((t_0 + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))))
	t_2 = (2.0 * R) * math.atan2(t_1, math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * ((math.cos(phi2) * math.sin((-0.5 * lambda2))) * math.sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -175000000.0:
		tmp = t_2
	elif lambda2 <= 3.9e+23:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_1, math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * (math.sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))) * (math.cos(phi2) * math.sin((0.5 * lambda1))))) - t_0))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(Float64(phi2 * 0.5)) * sin(Float64(0.5 * phi1))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_1 = sqrt(Float64(t_0 + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))))
	t_2 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_1, sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(-0.5 * lambda2))) * sin(Float64(0.5 * lambda2)))) - t_0)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -175000000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_1, sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(sin(Float64(0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(0.5 * lambda1))))) - t_0)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))));
	t_2 = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda2))) * sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -175000000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * (lambda2 - lambda1))) * (cos(phi2) * sin((0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$1 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(-0.5 * lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -175000000.0], t$95$2, If[LessEqual[lambda2, 3.9e+23], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$1 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -1.75e8 or 3.9e23 < lambda2

   1. Initial program 47.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 48.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 55.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 55.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 55.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 55.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\color{blue}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.75e8 < lambda2 < 3.9e23

   1. Initial program 76.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 95.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 95.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 95.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -175000000:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 77.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_1 := \sqrt{t\_0 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}\\ t_2 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - t\_0\right)}}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -0.00011:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - t\_0\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (pow
          (-
           (* (cos (* phi2 0.5)) (sin (* 0.5 phi1)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           t_0
           (*
            (* (cos phi1) (cos phi2))
            (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0)))))
        (t_2
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           t_1
           (sqrt
            (+
             1.0
             (-
              (*
               (cos phi1)
               (* (* (cos phi2) (sin (* -0.5 lambda2))) (sin (* 0.5 lambda2))))
              t_0)))))))
   (if (<= lambda2 -0.00011)
     t_2
     (if (<= lambda2 3.9e+23)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             (cos phi1)
             (* (sin (* 0.5 lambda1)) (* (cos phi2) (sin (* -0.5 lambda1)))))
            t_0)))))
       t_2))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))));
	double t_2 = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda2))) * sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -0.00011) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((cos((phi2 * 0.5d0)) * sin((0.5d0 * phi1))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0))))
    t_2 = (2.0d0 * r) * atan2(t_1, sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin(((-0.5d0) * lambda2))) * sin((0.5d0 * lambda2)))) - t_0))))
    if (lambda2 <= (-0.00011d0)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda2 <= 3.9d+23) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_1, sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5d0 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin(((-0.5d0) * lambda1))))) - t_0))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.cos((phi2 * 0.5)) * Math.sin((0.5 * phi1))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = Math.sqrt((t_0 + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))));
	double t_2 = (2.0 * R) * Math.atan2(t_1, Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(phi2) * Math.sin((-0.5 * lambda2))) * Math.sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -0.00011) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_1, Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * (Math.sin((0.5 * lambda1)) * (Math.cos(phi2) * Math.sin((-0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.cos((phi2 * 0.5)) * math.sin((0.5 * phi1))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_1 = math.sqrt((t_0 + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))))
	t_2 = (2.0 * R) * math.atan2(t_1, math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * ((math.cos(phi2) * math.sin((-0.5 * lambda2))) * math.sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -0.00011:
		tmp = t_2
	elif lambda2 <= 3.9e+23:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_1, math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * (math.sin((0.5 * lambda1)) * (math.cos(phi2) * math.sin((-0.5 * lambda1))))) - t_0))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(Float64(phi2 * 0.5)) * sin(Float64(0.5 * phi1))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_1 = sqrt(Float64(t_0 + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))))
	t_2 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_1, sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(-0.5 * lambda2))) * sin(Float64(0.5 * lambda2)))) - t_0)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -0.00011)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_1, sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(sin(Float64(0.5 * lambda1)) * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(-0.5 * lambda1))))) - t_0)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_1 = sqrt((t_0 + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))));
	t_2 = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda2))) * sin((0.5 * lambda2)))) - t_0))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -0.00011)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_1, sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda1))))) - t_0))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$1 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(-0.5 * lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -0.00011], t$95$2, If[LessEqual[lambda2, 3.9e+23], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$1 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[N[(0.5 * lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(-0.5 * lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -1.10000000000000004e-4 or 3.9e23 < lambda2

   1. Initial program 47.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 48.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 48.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 55.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 55.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 55.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 55.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\color{blue}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.10000000000000004e-4 < lambda2 < 3.9e23

   1. Initial program 76.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 77.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 96.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 96.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 96.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 96.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\color{blue}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -0.00011:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 72.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_3 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(t\_0 \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin t\_2}^{2}\right)}}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -175000000:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 + t\_0 \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - t\_1\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1
         (pow
          (-
           (* (cos (* phi2 0.5)) (sin (* 0.5 phi1)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_3
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           (sqrt
            (/
             (+
              (* (- (cos (/ 0.0 (/ 2.0 (- phi1 phi2)))) (cos (* 2.0 t_2))) 4.0)
              (*
               2.0
               (*
                (-
                 1.0
                 (+
                  (* (cos lambda1) (cos lambda2))
                  (* (sin lambda1) (sin lambda2))))
                (+ (cos (+ phi2 phi1)) (cos (- phi1 phi2))))))
             8.0))
           (sqrt
            (+
             1.0
             (-
              (*
               t_0
               (*
                (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
                (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
              (pow (sin t_2) 2.0))))))))
   (if (<= lambda2 -175000000.0)
     t_3
     (if (<= lambda2 3.9e+23)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ t_1 (* t_0 (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0))))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             (cos phi1)
             (* (sin (* 0.5 lambda1)) (* (cos phi2) (sin (* -0.5 lambda1)))))
            t_1)))))
       t_3))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = pow(((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((((cos((0.0 / (2.0 / (phi1 - phi2)))) - cos((2.0 * t_2))) * 4.0) + (2.0 * ((1.0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) * (cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2)))))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_0 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(sin(t_2), 2.0)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -175000000.0) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_1 + (t_0 * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0)))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda1))))) - t_1))));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = ((cos((phi2 * 0.5d0)) * sin((0.5d0 * phi1))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_3 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((((cos((0.0d0 / (2.0d0 / (phi1 - phi2)))) - cos((2.0d0 * t_2))) * 4.0d0) + (2.0d0 * ((1.0d0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) * (cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2)))))) / 8.0d0)), sqrt((1.0d0 + ((t_0 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))))) - (sin(t_2) ** 2.0d0)))))
    if (lambda2 <= (-175000000.0d0)) then
        tmp = t_3
    else if (lambda2 <= 3.9d+23) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((t_1 + (t_0 * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0)))), sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5d0 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin(((-0.5d0) * lambda1))))) - t_1))))
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.pow(((Math.cos((phi2 * 0.5)) * Math.sin((0.5 * phi1))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_3 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((((Math.cos((0.0 / (2.0 / (phi1 - phi2)))) - Math.cos((2.0 * t_2))) * 4.0) + (2.0 * ((1.0 - ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)))) * (Math.cos((phi2 + phi1)) + Math.cos((phi1 - phi2)))))) / 8.0)), Math.sqrt((1.0 + ((t_0 * (Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -175000000.0) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda2 <= 3.9e+23) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((t_1 + (t_0 * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0)))), Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * (Math.sin((0.5 * lambda1)) * (Math.cos(phi2) * Math.sin((-0.5 * lambda1))))) - t_1))));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.pow(((math.cos((phi2 * 0.5)) * math.sin((0.5 * phi1))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_3 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((((math.cos((0.0 / (2.0 / (phi1 - phi2)))) - math.cos((2.0 * t_2))) * 4.0) + (2.0 * ((1.0 - ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)))) * (math.cos((phi2 + phi1)) + math.cos((phi1 - phi2)))))) / 8.0)), math.sqrt((1.0 + ((t_0 * (math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - math.pow(math.sin(t_2), 2.0)))))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -175000000.0:
		tmp = t_3
	elif lambda2 <= 3.9e+23:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((t_1 + (t_0 * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0)))), math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * (math.sin((0.5 * lambda1)) * (math.cos(phi2) * math.sin((-0.5 * lambda1))))) - t_1))))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = Float64(Float64(cos(Float64(phi2 * 0.5)) * sin(Float64(0.5 * phi1))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_3 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(cos(Float64(0.0 / Float64(2.0 / Float64(phi1 - phi2)))) - cos(Float64(2.0 * t_2))) * 4.0) + Float64(2.0 * Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)))) * Float64(cos(Float64(phi2 + phi1)) + cos(Float64(phi1 - phi2)))))) / 8.0)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_0 * Float64(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (sin(t_2) ^ 2.0))))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -175000000.0)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_1 + Float64(t_0 * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(sin(Float64(0.5 * lambda1)) * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(-0.5 * lambda1))))) - t_1)))));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = ((cos((phi2 * 0.5)) * sin((0.5 * phi1))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((((cos((0.0 / (2.0 / (phi1 - phi2)))) - cos((2.0 * t_2))) * 4.0) + (2.0 * ((1.0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) * (cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2)))))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_0 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (sin(t_2) ^ 2.0)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -175000000.0)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda2 <= 3.9e+23)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_1 + (t_0 * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0)))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin((0.5 * lambda1)) * (cos(phi2) * sin((-0.5 * lambda1))))) - t_1))));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(N[Cos[N[(0.0 / N[(2.0 / N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 4.0), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[(N[(1.0 - N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Cos[N[(phi2 + phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 8.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$0 * N[(N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -175000000.0], t$95$3, If[LessEqual[lambda2, 3.9e+23], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 + N[(t$95$0 * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[N[(0.5 * lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(-0.5 * lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -1.75e8 or 3.9e23 < lambda2

   1. Initial program 47.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 48.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 49.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 8\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 49.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.75e8 < lambda2 < 3.9e23

   1. Initial program 76.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 95.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 95.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 95.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\color{blue}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -175000000:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.9 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 63.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt
      (+
       (pow
        (-
         (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
         (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
        2.0)
       (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (* t_0 t_0))))
     (sqrt
      (+
       1.0
       (-
        (*
         (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))
         (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0)))
        (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_0 * t_0)))), sqrt((1.0 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_0 * t_0)))), sqrt((1.0d0 + ((((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0))) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (t_0 * t_0)))), Math.sqrt((1.0 + (((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (t_0 * t_0)))), math.sqrt((1.0 + (((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(t_0 * t_0)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0))) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (t_0 * t_0)))), sqrt((1.0 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 64.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Applied egg-rr 64.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right) + 1}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 64.1%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 62.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2} - 0.5, t\_0, 1 - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_1))))
     (sqrt
      (fma
       (- (/ (cos (- lambda1 lambda2)) 2.0) 0.5)
       t_0
       (- 1.0 (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), sqrt(fma(((cos((lambda1 - lambda2)) / 2.0) - 0.5), t_0, (1.0 - (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_2))))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_1)))), sqrt(fma(Float64(Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) / 2.0) - 0.5), t_0, Float64(1.0 - Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision] * t$95$0 + N[(1.0 - N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 63.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2} - 0.5, \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, -\left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - 1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 63.0%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2} - 0.5, \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 1 - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 62.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)}}{\sqrt{1 + \left(\frac{t\_0 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_1))))
     (sqrt
      (+
       1.0
       (-
        (/ (* t_0 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0)
        (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), sqrt((1.0 + (((t_0 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) - (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_2))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_2) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), sqrt((1.0d0 + (((t_0 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0) - (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), Math.sqrt((1.0 + (((t_0 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) - (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * t_2))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), math.sqrt((1.0 + (((t_0 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) - (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * t_2))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_1)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0) - Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_2) ^ 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_1)))), sqrt((1.0 + (((t_0 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) - (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_2))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(t$95$0 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 63.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) + 1}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 63.0%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 62.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\frac{t\_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_0))))
      (sqrt
       (+
        (/ (* t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0)
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt((((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt((((t_1 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), Math.sqrt((((t_1 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_2))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), math.sqrt((((t_1 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_2))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_0)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ^ 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt((((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 63.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}}\right) \]

5. Final simplification 63.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 60.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := 1 - t\_1\\ t_3 := -1 + t\_1\\ t_4 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_5 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_0 \cdot t\_3}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_5}^{2} + \frac{t\_0 \cdot t\_2}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + 0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_3\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{4 \cdot \left(1 - t\_4\right) + 2 \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + t\_4\right) \cdot t\_2\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(t\_3 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_4\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (- 1.0 t_1))
        (t_3 (+ -1.0 t_1))
        (t_4 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_5 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (if (<= phi2 -0.22)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_2 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
       (sqrt (+ (/ (* t_0 t_3) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_5))))))))
     (if (<= phi2 1.2e-6)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (sin t_5) 2.0) (/ (* t_0 t_2) 2.0)))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos phi1)))
           (* 0.5 (+ (* phi2 (sin phi1)) (* (cos phi1) t_3)))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt
          (/
           (+ (* 4.0 (- 1.0 t_4)) (* 2.0 (* (+ (cos (+ phi2 phi1)) t_4) t_2)))
           8.0))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (* t_3 (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0)))
            (+ 0.5 (* -0.5 t_4)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = -1.0 + t_1;
	double t_4 = cos((phi1 - phi2));
	double t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_5)))))));
	} else if (phi2 <= 1.2e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_5), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos(phi1))) + (0.5 * ((phi2 * sin(phi1)) + (cos(phi1) * t_3))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((((4.0 * (1.0 - t_4)) + (2.0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_3 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_4))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = 1.0d0 - t_1
    t_3 = (-1.0d0) + t_1
    t_4 = cos((phi1 - phi2))
    t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_2 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_5)))))))
    else if (phi2 <= 1.2d-6) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_5) ** 2.0d0) + ((t_0 * t_2) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos(phi1))) + (0.5d0 * ((phi2 * sin(phi1)) + (cos(phi1) * t_3))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((((4.0d0 * (1.0d0 - t_4)) + (2.0d0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0d0)), sqrt((1.0d0 + ((t_3 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0))) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_4))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = -1.0 + t_1;
	double t_4 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_5)))))));
	} else if (phi2 <= 1.2e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_5), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos(phi1))) + (0.5 * ((phi2 * Math.sin(phi1)) + (Math.cos(phi1) * t_3))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((((4.0 * (1.0 - t_4)) + (2.0 * ((Math.cos((phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0)), Math.sqrt((1.0 + ((t_3 * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_4))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = 1.0 - t_1
	t_3 = -1.0 + t_1
	t_4 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_5)))))))
	elif phi2 <= 1.2e-6:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_5), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos(phi1))) + (0.5 * ((phi2 * math.sin(phi1)) + (math.cos(phi1) * t_3))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((((4.0 * (1.0 - t_4)) + (2.0 * ((math.cos((phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0)), math.sqrt((1.0 + ((t_3 * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_4))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(1.0 - t_1)
	t_3 = Float64(-1.0 + t_1)
	t_4 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_5 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_2 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_3) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_5))))))));
	elseif (phi2 <= 1.2e-6)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_5) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(phi1))) + Float64(0.5 * Float64(Float64(phi2 * sin(phi1)) + Float64(cos(phi1) * t_3)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(Float64(4.0 * Float64(1.0 - t_4)) + Float64(2.0 * Float64(Float64(cos(Float64(phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_3 * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0))) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_4)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = 1.0 - t_1;
	t_3 = -1.0 + t_1;
	t_4 = cos((phi1 - phi2));
	t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_5)))))));
	elseif (phi2 <= 1.2e-6)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_5) ^ 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos(phi1))) + (0.5 * ((phi2 * sin(phi1)) + (cos(phi1) * t_3))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((((4.0 * (1.0 - t_4)) + (2.0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_4) * t_2))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_3 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_4))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$2 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 1.2e-6], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$5], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[(phi2 * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[(4.0 * N[(1.0 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[(N[(N[Cos[N[(phi2 + phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 8.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$3 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001

   1. Initial program 50.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 1.1999999999999999e-6

   1. Initial program 73.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \sin \phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      18. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \phi_1 \cdot 0.5\right) + 0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.1999999999999999e-6 < phi2

   1. Initial program 55.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 56.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Applied egg-rr 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(1 - \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + 0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{4 \cdot \left(1 - \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 - \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) \cdot t\_0\right) + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt
      (+
       (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
       (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) 2.0)))
     (sqrt
      (+
       (- 0.5 (* (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0)) t_0))
       (* 0.5 (cos (- phi1 phi2)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 1.0 - cos((lambda1 - lambda2));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) / 2.0))), sqrt(((0.5 - ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)) * t_0)) + (0.5 * cos((phi1 - phi2))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = 1.0d0 - cos((lambda1 - lambda2))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 - ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0)) * t_0)) + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 1.0 - Math.cos((lambda1 - lambda2));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 - ((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0)) * t_0)) + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 1.0 - math.cos((lambda1 - lambda2))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 - ((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0)) * t_0)) + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(1.0 - cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 - Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0)) * t_0)) + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 1.0 - cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) / 2.0))), sqrt(((0.5 - ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)) * t_0)) + (0.5 * cos((phi1 - phi2))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 - N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 - N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 57.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 61.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} + \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 61.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) + 0.5\right) + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 61.1%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 - \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 60.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := 1 - t\_1\\ t_3 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_4 := -1 + t\_1\\ t_5 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_0 \cdot t\_4}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_3}^{2} + \frac{t\_0 \cdot t\_2}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{4 \cdot \left(1 - t\_5\right) + 2 \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + t\_5\right) \cdot t\_2\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(t\_4 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_5\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (- 1.0 t_1))
        (t_3 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_4 (+ -1.0 t_1))
        (t_5 (cos (- phi1 phi2))))
   (if (<= phi2 -0.22)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_2 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
       (sqrt (+ (/ (* t_0 t_4) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3))))))))
     (if (<= phi2 1.5e-6)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (sin t_3) 2.0) (/ (* t_0 t_2) 2.0)))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi1) (* (cos phi1) t_4)))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt
          (/
           (+ (* 4.0 (- 1.0 t_5)) (* 2.0 (* (+ (cos (+ phi2 phi1)) t_5) t_2)))
           8.0))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (* t_4 (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0)))
            (+ 0.5 (* -0.5 t_5)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = -1.0 + t_1;
	double t_5 = cos((phi1 - phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_3)))))));
	} else if (phi2 <= 1.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_3), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((((4.0 * (1.0 - t_5)) + (2.0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_4 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_5))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = 1.0d0 - t_1
    t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_4 = (-1.0d0) + t_1
    t_5 = cos((phi1 - phi2))
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_2 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_3)))))))
    else if (phi2 <= 1.5d-6) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_3) ** 2.0d0) + ((t_0 * t_2) / 2.0d0))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((((4.0d0 * (1.0d0 - t_5)) + (2.0d0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0d0)), sqrt((1.0d0 + ((t_4 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0))) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_5))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = -1.0 + t_1;
	double t_5 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_3)))))));
	} else if (phi2 <= 1.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_3), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((((4.0 * (1.0 - t_5)) + (2.0 * ((Math.cos((phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0)), Math.sqrt((1.0 + ((t_4 * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_5))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = 1.0 - t_1
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_4 = -1.0 + t_1
	t_5 = math.cos((phi1 - phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_3)))))))
	elif phi2 <= 1.5e-6:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_3), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi1) + (math.cos(phi1) * t_4))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((((4.0 * (1.0 - t_5)) + (2.0 * ((math.cos((phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0)), math.sqrt((1.0 + ((t_4 * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_5))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(1.0 - t_1)
	t_3 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_4 = Float64(-1.0 + t_1)
	t_5 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_2 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_4) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3))))))));
	elseif (phi2 <= 1.5e-6)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_3) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi1) * t_4)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(Float64(4.0 * Float64(1.0 - t_5)) + Float64(2.0 * Float64(Float64(cos(Float64(phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_4 * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0))) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_5)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = 1.0 - t_1;
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_4 = -1.0 + t_1;
	t_5 = cos((phi1 - phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_3)))))));
	elseif (phi2 <= 1.5e-6)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_3) ^ 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((((4.0 * (1.0 - t_5)) + (2.0 * ((cos((phi2 + phi1)) + t_5) * t_2))) / 8.0)), sqrt((1.0 + ((t_4 * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0))) - (0.5 + (-0.5 * t_5))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$2 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$4), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 1.5e-6], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[(4.0 * N[(1.0 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[(N[(N[Cos[N[(phi2 + phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$5), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 8.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$4 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001

   1. Initial program 50.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 1.5e-6

   1. Initial program 73.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.5e-6 < phi2

   1. Initial program 55.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 56.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\frac{0}{\frac{2}{\phi_1 - \phi_2}}\right) - \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Applied egg-rr 56.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(1 - \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right)\right) \cdot 4 + 2 \cdot \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{4 \cdot \left(1 - \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}{8}}}{\sqrt{1 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 59.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := 1 - t\_2\\ t_4 := -1 + t\_2\\ t_5 := t\_0 \cdot t\_3\\ t_6 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_3 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_0 \cdot t\_4}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_6\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_6}^{2} + \frac{t\_5}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + -0.5 \cdot t\_1\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) \cdot t\_3}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_1 - t\_5\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_3 (- 1.0 t_2))
        (t_4 (+ -1.0 t_2))
        (t_5 (* t_0 t_3))
        (t_6 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (if (<= phi2 -0.22)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_3 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
       (sqrt (+ (/ (* t_0 t_4) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_6))))))))
     (if (<= phi2 5.5e-7)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (sin t_6) 2.0) (/ t_5 2.0)))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi1) (* (cos phi1) t_4)))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt
          (+ (+ 0.5 (* -0.5 t_1)) (* (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0)) t_3)))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (- t_1 t_5))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((phi1 - phi2));
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = 1.0 - t_2;
	double t_4 = -1.0 + t_2;
	double t_5 = t_0 * t_3;
	double t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_6)))))));
	} else if (phi2 <= 5.5e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_6), 2.0) + (t_5 / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 + (-0.5 * t_1)) + ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)) * t_3))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 - t_5)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((phi1 - phi2))
    t_2 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_3 = 1.0d0 - t_2
    t_4 = (-1.0d0) + t_2
    t_5 = t_0 * t_3
    t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_3 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_6)))))))
    else if (phi2 <= 5.5d-7) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_6) ** 2.0d0) + (t_5 / 2.0d0))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((0.5d0 + ((-0.5d0) * t_1)) + ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0)) * t_3))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_1 - t_5)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_2 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = 1.0 - t_2;
	double t_4 = -1.0 + t_2;
	double t_5 = t_0 * t_3;
	double t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_6)))))));
	} else if (phi2 <= 5.5e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_6), 2.0) + (t_5 / 2.0))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 + (-0.5 * t_1)) + ((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0)) * t_3))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 - t_5)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_2 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_3 = 1.0 - t_2
	t_4 = -1.0 + t_2
	t_5 = t_0 * t_3
	t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_6)))))))
	elif phi2 <= 5.5e-7:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_6), 2.0) + (t_5 / 2.0))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi1) + (math.cos(phi1) * t_4))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 + (-0.5 * t_1)) + ((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0)) * t_3))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 - t_5)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_3 = Float64(1.0 - t_2)
	t_4 = Float64(-1.0 + t_2)
	t_5 = Float64(t_0 * t_3)
	t_6 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_3 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_4) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_6))))))));
	elseif (phi2 <= 5.5e-7)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_6) ^ 2.0) + Float64(t_5 / 2.0))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi1) * t_4)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_1)) + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0)) * t_3))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_1 - t_5))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((phi1 - phi2));
	t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_3 = 1.0 - t_2;
	t_4 = -1.0 + t_2;
	t_5 = t_0 * t_3;
	t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_6)))))));
	elseif (phi2 <= 5.5e-7)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_6) ^ 2.0) + (t_5 / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 + (-0.5 * t_1)) + ((cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)) * t_3))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 - t_5)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$3 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$4), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$6), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 5.5e-7], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$6], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$5 / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$1 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001

   1. Initial program 50.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 5.5000000000000003e-7

   1. Initial program 73.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 5.5000000000000003e-7 < phi2

   1. Initial program 55.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 55.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Applied egg-rr 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 59.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := 1 - t\_2\\ t_4 := -1 + t\_2\\ t_5 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_6 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_3 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_0 \cdot t\_4}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_6\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5.4 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_6}^{2} + \frac{t\_0 \cdot t\_3}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_4\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot t\_1 + 0.5 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(1 - t\_5\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_1 + t\_0 \cdot \left(-1 + t\_5\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_3 (- 1.0 t_2))
        (t_4 (+ -1.0 t_2))
        (t_5 (cos (- lambda2 lambda1)))
        (t_6 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (if (<= phi2 -0.22)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_3 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
       (sqrt (+ (/ (* t_0 t_4) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_6))))))))
     (if (<= phi2 5.4e-8)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (sin t_6) 2.0) (/ (* t_0 t_3) 2.0)))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi1) (* (cos phi1) t_4)))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (+ (* -0.5 t_1) (* 0.5 (* t_0 (- 1.0 t_5))))))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_1 (* t_0 (+ -1.0 t_5))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((phi1 - phi2));
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = 1.0 - t_2;
	double t_4 = -1.0 + t_2;
	double t_5 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_6)))))));
	} else if (phi2 <= 5.4e-8) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_6), 2.0) + ((t_0 * t_3) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((-0.5 * t_1) + (0.5 * (t_0 * (1.0 - t_5)))))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 + (t_0 * (-1.0 + t_5)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((phi1 - phi2))
    t_2 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_3 = 1.0d0 - t_2
    t_4 = (-1.0d0) + t_2
    t_5 = cos((lambda2 - lambda1))
    t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_3 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_6)))))))
    else if (phi2 <= 5.4d-8) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_6) ** 2.0d0) + ((t_0 * t_3) / 2.0d0))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + (((-0.5d0) * t_1) + (0.5d0 * (t_0 * (1.0d0 - t_5)))))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_1 + (t_0 * ((-1.0d0) + t_5)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_2 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = 1.0 - t_2;
	double t_4 = -1.0 + t_2;
	double t_5 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_6)))))));
	} else if (phi2 <= 5.4e-8) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_6), 2.0) + ((t_0 * t_3) / 2.0))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi1) * t_4))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((-0.5 * t_1) + (0.5 * (t_0 * (1.0 - t_5)))))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 + (t_0 * (-1.0 + t_5)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_2 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_3 = 1.0 - t_2
	t_4 = -1.0 + t_2
	t_5 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_6)))))))
	elif phi2 <= 5.4e-8:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_6), 2.0) + ((t_0 * t_3) / 2.0))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi1) + (math.cos(phi1) * t_4))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((-0.5 * t_1) + (0.5 * (t_0 * (1.0 - t_5)))))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 + (t_0 * (-1.0 + t_5)))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_3 = Float64(1.0 - t_2)
	t_4 = Float64(-1.0 + t_2)
	t_5 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_6 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_3 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_4) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_6))))))));
	elseif (phi2 <= 5.4e-8)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_6) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_0 * t_3) / 2.0))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi1) * t_4)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(-0.5 * t_1) + Float64(0.5 * Float64(t_0 * Float64(1.0 - t_5)))))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_1 + Float64(t_0 * Float64(-1.0 + t_5))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((phi1 - phi2));
	t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_3 = 1.0 - t_2;
	t_4 = -1.0 + t_2;
	t_5 = cos((lambda2 - lambda1));
	t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_4) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_6)))))));
	elseif (phi2 <= 5.4e-8)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_6) ^ 2.0) + ((t_0 * t_3) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_4))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((-0.5 * t_1) + (0.5 * (t_0 * (1.0 - t_5)))))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_1 + (t_0 * (-1.0 + t_5)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$3 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$4), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$6), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 5.4e-8], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$6], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(-0.5 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(t$95$0 * N[(1.0 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$1 + N[(t$95$0 * N[(-1.0 + t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001

   1. Initial program 50.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 5.40000000000000005e-8

   1. Initial program 73.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 5.40000000000000005e-8 < phi2

   1. Initial program 55.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5.4 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 60.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 1 - t\_0\\ t_2 := -1 + t\_0\\ t_3 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_4 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_5 := \sqrt{{\sin t\_3}^{2} + \frac{t\_4 \cdot t\_1}{2}}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_1 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_4 \cdot t\_2}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_5}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_2\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_5}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot t\_2\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (- 1.0 t_0))
        (t_2 (+ -1.0 t_0))
        (t_3 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_4 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_5 (sqrt (+ (pow (sin t_3) 2.0) (/ (* t_4 t_1) 2.0)))))
   (if (<= phi2 -0.22)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_1 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
       (sqrt (+ (/ (* t_4 t_2) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3))))))))
     (if (<= phi2 2.4e-6)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2 t_5 (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi1) (* (cos phi1) t_2)))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         t_5
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi2) (* (cos phi2) t_2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = -1.0 + t_0;
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_5 = sqrt((pow(sin(t_3), 2.0) + ((t_4 * t_1) / 2.0)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_4 * t_2) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_3)))))));
	} else if (phi2 <= 2.4e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_5, sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_2))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_5, sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi2) + (cos(phi2) * t_2))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = 1.0d0 - t_0
    t_2 = (-1.0d0) + t_0
    t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_4 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_5 = sqrt(((sin(t_3) ** 2.0d0) + ((t_4 * t_1) / 2.0d0)))
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_1 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_4 * t_2) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_3)))))))
    else if (phi2 <= 2.4d-6) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_5, sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_2))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_5, sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi2) + (cos(phi2) * t_2))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = -1.0 + t_0;
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_5 = Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_3), 2.0) + ((t_4 * t_1) / 2.0)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_4 * t_2) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_3)))))));
	} else if (phi2 <= 2.4e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_5, Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi1) * t_2))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_5, Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi2) + (Math.cos(phi2) * t_2))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = 1.0 - t_0
	t_2 = -1.0 + t_0
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_4 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_5 = math.sqrt((math.pow(math.sin(t_3), 2.0) + ((t_4 * t_1) / 2.0)))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_4 * t_2) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_3)))))))
	elif phi2 <= 2.4e-6:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_5, math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi1) + (math.cos(phi1) * t_2))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_5, math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi2) + (math.cos(phi2) * t_2))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(1.0 - t_0)
	t_2 = Float64(-1.0 + t_0)
	t_3 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_4 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_5 = sqrt(Float64((sin(t_3) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_4 * t_1) / 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_1 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_4 * t_2) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3))))))));
	elseif (phi2 <= 2.4e-6)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_5, sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi1) * t_2)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_5, sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi2) + Float64(cos(phi2) * t_2)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = 1.0 - t_0;
	t_2 = -1.0 + t_0;
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_4 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_5 = sqrt(((sin(t_3) ^ 2.0) + ((t_4 * t_1) / 2.0)));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_4 * t_2) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_3)))))));
	elseif (phi2 <= 2.4e-6)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_5, sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_2))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_5, sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi2) + (cos(phi2) * t_2))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$4 * t$95$1), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$1 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$4 * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2.4e-6], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$5 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$5 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001

   1. Initial program 50.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 2.3999999999999999e-6

   1. Initial program 73.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 2.3999999999999999e-6 < phi2

   1. Initial program 55.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 55.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 55.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_2 + \cos \phi_2 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 60.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := 1 - t\_1\\ t_3 := -1 + t\_1\\ t_4 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_5 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{t\_0 \cdot t\_3}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_4\right)\right)}}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;t\_5\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_4}^{2} + \frac{t\_0 \cdot t\_2}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot t\_3\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (- 1.0 t_1))
        (t_3 (+ -1.0 t_1))
        (t_4 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_5
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_2 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
           (sqrt (+ (/ (* t_0 t_3) 2.0) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_4))))))))))
   (if (<= phi2 -0.22)
     t_5
     (if (<= phi2 4.5e-6)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (sin t_4) 2.0) (/ (* t_0 t_2) 2.0)))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ (cos phi1) (* (cos phi1) t_3)))))))
       t_5))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = -1.0 + t_1;
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_4)))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = t_5;
	} else if (phi2 <= 4.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_4), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_3))))));
	} else {
		tmp = t_5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = 1.0d0 - t_1
    t_3 = (-1.0d0) + t_1
    t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_5 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_2 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_4)))))))
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = t_5
    else if (phi2 <= 4.5d-6) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_4) ** 2.0d0) + ((t_0 * t_2) / 2.0d0))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_3))))))
    else
        tmp = t_5
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 1.0 - t_1;
	double t_3 = -1.0 + t_1;
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), Math.sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_4)))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = t_5;
	} else if (phi2 <= 4.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_4), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi1) * t_3))))));
	} else {
		tmp = t_5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = 1.0 - t_1
	t_3 = -1.0 + t_1
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_5 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), math.sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_4)))))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = t_5
	elif phi2 <= 4.5e-6:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_4), 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (math.cos(phi1) + (math.cos(phi1) * t_3))))))
	else:
		tmp = t_5
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(1.0 - t_1)
	t_3 = Float64(-1.0 + t_1)
	t_4 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_5 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_2 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_3) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_4))))))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = t_5;
	elseif (phi2 <= 4.5e-6)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_4) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi1) * t_3)))))));
	else
		tmp = t_5;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = 1.0 - t_1;
	t_3 = -1.0 + t_1;
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_5 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), sqrt((((t_0 * t_3) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_4)))))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = t_5;
	elseif (phi2 <= 4.5e-6)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_4) ^ 2.0) + ((t_0 * t_2) / 2.0))), sqrt((0.5 + (0.5 * (cos(phi1) + (cos(phi1) * t_3))))));
	else
		tmp = t_5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$2 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$4), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], t$95$5, If[LessEqual[phi2, 4.5e-6], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$4], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$5]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001 or 4.50000000000000011e-6 < phi2

   1. Initial program 53.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 53.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 4.50000000000000011e-6

   1. Initial program 73.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 1 - t\_0\\ t_2 := \sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}\\ t_3 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_1 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{t\_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_1 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (- 1.0 t_0))
        (t_2
         (sqrt
          (+
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0)
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))))))))
        (t_3
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_1 (* 0.5 (cos phi2))) (* (cos phi2) -0.5))))
           t_2))))
   (if (<= phi2 -0.22)
     t_3
     (if (<= phi2 2.5e-6)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (+ (* t_1 (* 0.5 (cos phi1))) (* (cos phi1) -0.5))))
         t_2))
       t_3))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))))));
	double t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), t_2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi2 <= 2.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * -0.5)))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = 1.0d0 - t_0
    t_2 = sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))))))
    t_3 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_1 * (0.5d0 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * (-0.5d0))))), t_2)
    if (phi2 <= (-0.22d0)) then
        tmp = t_3
    else if (phi2 <= 2.5d-6) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_1 * (0.5d0 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * (-0.5d0))))), t_2)
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = Math.sqrt(((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))))));
	double t_3 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * Math.cos(phi2))) + (Math.cos(phi2) * -0.5)))), t_2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.22) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi2 <= 2.5e-6) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * Math.cos(phi1))) + (Math.cos(phi1) * -0.5)))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = 1.0 - t_0
	t_2 = math.sqrt(((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))))))
	t_3 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * math.cos(phi2))) + (math.cos(phi2) * -0.5)))), t_2)
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.22:
		tmp = t_3
	elif phi2 <= 2.5e-6:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * math.cos(phi1))) + (math.cos(phi1) * -0.5)))), t_2)
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(1.0 - t_0)
	t_2 = sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)))))))
	t_3 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_1 * Float64(0.5 * cos(phi2))) + Float64(cos(phi2) * -0.5)))), t_2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = t_3;
	elseif (phi2 <= 2.5e-6)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_1 * Float64(0.5 * cos(phi1))) + Float64(cos(phi1) * -0.5)))), t_2));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = 1.0 - t_0;
	t_2 = sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))))));
	t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi2))) + (cos(phi2) * -0.5)))), t_2);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.22)
		tmp = t_3;
	elseif (phi2 <= 2.5e-6)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * (0.5 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * -0.5)))), t_2);
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$1 * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.22], t$95$3, If[LessEqual[phi2, 2.5e-6], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$1 * N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -0.220000000000000001 or 2.5000000000000002e-6 < phi2

   1. Initial program 53.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 53.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.220000000000000001 < phi2 < 2.5000000000000002e-6

   1. Initial program 73.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 62.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.22:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 42.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - t\_0\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ 0.5 (+ (* (- 1.0 t_0) (* 0.5 (cos phi1))) (* (cos phi1) -0.5))))
     (sqrt
      (+
       (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0)
       (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * (0.5 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + (((1.0d0 - t_0) * (0.5d0 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * (-0.5d0))))), sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0) + (0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * (0.5 * Math.cos(phi1))) + (Math.cos(phi1) * -0.5)))), Math.sqrt(((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * (0.5 * math.cos(phi1))) + (math.cos(phi1) * -0.5)))), math.sqrt(((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(1.0 - t_0) * Float64(0.5 * cos(phi1))) + Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0) + Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * (0.5 * cos(phi1))) + (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) + (0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 57.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 39.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 39.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + -0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Final simplification 39.8%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) + \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 18: 16.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   R
   (atan2
    (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
    (sqrt
     (+
      1.0
      (-
       (/
        (*
         (* (cos phi1) (cos phi2))
         (+
          (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
          -1.0))
        2.0)
       (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))) + -1.0)) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = 2.0d0 * (r * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)), sqrt((1.0d0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))) + (-1.0d0))) / 2.0d0) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * Math.atan2(Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), Math.sqrt((1.0 + ((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2))) + -1.0)) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return 2.0 * (R * math.atan2(math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), math.sqrt((1.0 + ((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2))) + -1.0)) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(2.0 * Float64(R * atan(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))) + -1.0)) / 2.0) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))) + -1.0)) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(2.0 * N[(R * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]
13. Step-by-step derivation

    1. cos-diff N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    5. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    6. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    8. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 15.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

14. Applied egg-rr 15.8%

    \[\leadsto \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} + -1\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2 \]

15. Final simplification 15.8%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}}\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 19: 16.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{0.5 - \left(-0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2)))
   (sqrt
    (-
     0.5
     (+
      (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))
      (*
       0.5
       (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (- 1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), sqrt((0.5 - ((-0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (1.0 - cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin((0.5d0 * (lambda1 - lambda2))), sqrt((0.5d0 - (((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))) + (0.5d0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (1.0d0 - cos((lambda1 - lambda2)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), Math.sqrt((0.5 - ((-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (1.0 - Math.cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), math.sqrt((0.5 - ((-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (1.0 - math.cos((lambda1 - lambda2)))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2))), sqrt(Float64(0.5 - Float64(Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))) + Float64(0.5 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(1.0 - cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), sqrt((0.5 - ((-0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (1.0 - cos((lambda1 - lambda2)))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 - N[(N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in R around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}} \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 \cdot R\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}\right) \]

    4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}\right)\right) \]

    5. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right)} - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, R\right), \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right) - -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}} \]

16. Final simplification 15.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\sqrt{0.5 - \left(-0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 20: 16.2% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) - \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   R
   (atan2
    (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
    (sqrt
     (+
      0.5
      (-
       (* (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))) (* 0.5 (cos phi2)))
       (* (cos phi2) -0.5))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * cos(phi2))) - (cos(phi2) * -0.5))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = 2.0d0 * (r * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + ((((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5d0 * cos(phi2))) - (cos(phi2) * (-0.5d0)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * Math.atan2(Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + (((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * Math.cos(phi2))) - (Math.cos(phi2) * -0.5))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return 2.0 * (R * math.atan2(math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + (((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * math.cos(phi2))) - (math.cos(phi2) * -0.5))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(2.0 * Float64(R * atan(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * Float64(0.5 * cos(phi2))) - Float64(cos(phi2) * -0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * cos(phi2))) - (cos(phi2) * -0.5))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(2.0 * N[(R * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) - \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}}\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 15.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) - \cos \phi_2 \cdot -0.5\right)}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 21: 16.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   R
   (atan2
    (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
    (sqrt
     (+
      0.5
      (-
       (* (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))) (* 0.5 (cos phi1)))
       (* (cos phi1) -0.5))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * cos(phi1))) - (cos(phi1) * -0.5))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = 2.0d0 * (r * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + ((((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5d0 * cos(phi1))) - (cos(phi1) * (-0.5d0)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return 2.0 * (R * Math.atan2(Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + (((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * Math.cos(phi1))) - (Math.cos(phi1) * -0.5))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return 2.0 * (R * math.atan2(math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + (((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * math.cos(phi1))) - (math.cos(phi1) * -0.5))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(2.0 * Float64(R * atan(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * Float64(0.5 * cos(phi1))) - Float64(cos(phi1) * -0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (0.5 * cos(phi1))) - (cos(phi1) * -0.5))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(2.0 * N[(R * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 62.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \frac{1}{2}\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    10. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    13. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    14. --lowering--.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    17. cos-lowering-cos.f64 15.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 15.4%

    \[\leadsto \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) - \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}}\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 15.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024147 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Distance on a great circle"
  :precision binary64
  (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))) (sqrt (- 1.0 (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))))))