Hyperbolic secant

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 10.0s

Alternatives: 13

Speedup: 2.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\cosh x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (cosh x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / cosh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / cosh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / Math.cosh(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / math.cosh(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / cosh(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / cosh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}\right)}\right) \]

   3. cosh-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh x\right) \]

   4. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\cosh x}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 74.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := 0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_2\right)\right)\right)}{1 + t\_2 \cdot \left(t\_2 + -1\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x)))
        (t_1 (+ 0.08333333333333333 (* x (* x 0.002777777777777778))))
        (t_2 (* (* x x) t_1)))
   (if (<= x 5e+38)
     (/
      2.0
      (+
       2.0
       (/
        (* (* x x) (+ 1.0 (* t_2 (* (* x x) (* t_1 t_2)))))
        (+ 1.0 (* t_2 (+ t_2 -1.0))))))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = 0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778));
	double t_2 = (x * x) * t_1;
	double tmp;
	if (x <= 5e+38) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * ((x * x) * (t_1 * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    t_1 = 0.08333333333333333d0 + (x * (x * 0.002777777777777778d0))
    t_2 = (x * x) * t_1
    if (x <= 5d+38) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + (((x * x) * (1.0d0 + (t_2 * ((x * x) * (t_1 * t_2))))) / (1.0d0 + (t_2 * (t_2 + (-1.0d0))))))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = 0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778));
	double t_2 = (x * x) * t_1;
	double tmp;
	if (x <= 5e+38) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * ((x * x) * (t_1 * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	t_1 = 0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))
	t_2 = (x * x) * t_1
	tmp = 0
	if x <= 5e+38:
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * ((x * x) * (t_1 * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(0.08333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.002777777777777778)))
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * t_1)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+38)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(Float64(x * x) * Float64(t_1 * t_2))))) / Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_2 + -1.0))))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	t_1 = 0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778));
	t_2 = (x * x) * t_1;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+38)
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * ((x * x) * (t_1 * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.08333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+38], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.9999999999999997e38

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.0%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right) - 1\right)}}} \]

   if 4.9999999999999997e38 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(1 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 3.8%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{x \cdot x - x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 13.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 13.2%

       \[\leadsto \frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + -1\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.8% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.000462962962962963 + \left(x \cdot x\right) \cdot -4.6296296296296294 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (+
   2.0
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (*
      x
      (*
       x
       (+
        0.08333333333333333
        (*
         (* (* x x) (* x x))
         (+ -0.000462962962962963 (* (* x x) -4.6296296296296294e-5)))))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * (-0.000462962962962963 + ((x * x) * -4.6296296296296294e-5)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + (((x * x) * (x * x)) * ((-0.000462962962962963d0) + ((x * x) * (-4.6296296296296294d-5))))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * (-0.000462962962962963 + ((x * x) * -4.6296296296296294e-5)))))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * (-0.000462962962962963 + ((x * x) * -4.6296296296296294e-5)))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(-0.000462962962962963 + Float64(Float64(x * x) * -4.6296296296296294e-5))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * (-0.000462962962962963 + ((x * x) * -4.6296296296296294e-5)))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.000462962962962963 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -4.6296296296296294e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(1 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{x \cdot x - x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 36.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 36.3%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + {x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{-1}{21600} \cdot \color{blue}{{x}^{2}} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{21600}} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{21600}} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{-1}{21600} \cdot \color{blue}{{x}^{2}} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{-1}{21600} \cdot \color{blue}{{x}^{2}} - \frac{1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2160}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2160}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{-1}{2160} + \color{blue}{\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    21. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2160}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{21600} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    22. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2160}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{21600}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    23. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{21600}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.000462962962962963 + \left(x \cdot x\right) \cdot -4.6296296296296294 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 68.7% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.48:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.20833333333333334\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{x \cdot x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.48)
   (+ 1.0 (* (* x x) (+ -0.5 (* (* x x) 0.20833333333333334))))
   (if (<= x 1.35e+154)
     (/ 2.0 (/ (* x (* x (* x x))) (* x x)))
     (/ 2.0 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.48) {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * 0.20833333333333334)));
	} else if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 2.0 / ((x * (x * (x * x))) / (x * x));
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.48d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((x * x) * ((-0.5d0) + ((x * x) * 0.20833333333333334d0)))
    else if (x <= 1.35d+154) then
        tmp = 2.0d0 / ((x * (x * (x * x))) / (x * x))
    else
        tmp = 2.0d0 / (x * x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.48) {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * 0.20833333333333334)));
	} else if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 2.0 / ((x * (x * (x * x))) / (x * x));
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.48:
		tmp = 1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * 0.20833333333333334)))
	elif x <= 1.35e+154:
		tmp = 2.0 / ((x * (x * (x * x))) / (x * x))
	else:
		tmp = 2.0 / (x * x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.48)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.20833333333333334))));
	elseif (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) / Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(x * x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.48)
		tmp = 1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * 0.20833333333333334)));
	elseif (x <= 1.35e+154)
		tmp = 2.0 / ((x * (x * (x * x))) / (x * x));
	else
		tmp = 2.0 / (x * x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.48], N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.20833333333333334), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(2.0 / N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 1.48

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{5}{24} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{5}{24} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{24} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{5}{24} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{5}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{5}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{5}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 65.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{5}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.20833333333333334\right)} \]

   if 1.48 < x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 5.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{{x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 5.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   8. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{x \cdot x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{\left(4 - \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{\left(2 \cdot 2 - 2\right)}\right)\right) \]

      4. pow-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{\left({x}^{2}\right)}^{2}}{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right) \]

      6. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{\left(x \cdot x\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \color{blue}{x}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 52.7%

       \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{x \cdot x}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{{x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{x \cdot x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.4% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \frac{2}{2 + \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot 9.259259259259259 \cdot 10^{-5}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x))))
   (/ 2.0 (+ 2.0 (* (* t_0 t_0) 9.259259259259259e-5)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	return 2.0 / (2.0 + ((t_0 * t_0) * 9.259259259259259e-5));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((t_0 * t_0) * 9.259259259259259d-5))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	return 2.0 / (2.0 + ((t_0 * t_0) * 9.259259259259259e-5));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	return 2.0 / (2.0 + ((t_0 * t_0) * 9.259259259259259e-5))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(t_0 * t_0) * 9.259259259259259e-5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((t_0 * t_0) * 9.259259259259259e-5));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * 9.259259259259259e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(1 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot x - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 33.2%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{x \cdot x - x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 36.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 36.3%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}}} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{1}{10800} \cdot {x}^{8}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{8} \cdot \color{blue}{\frac{1}{10800}}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{8}\right), \color{blue}{\frac{1}{10800}}\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 4\right)}\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    4. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4} \cdot {x}^{4}\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    7. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    14. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 91.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \frac{1}{10800}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 91.4%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 9.259259259259259 \cdot 10^{-5}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.6% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (+
   2.0
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (* x (* x (+ 0.08333333333333333 (* x (* x 0.002777777777777778))))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + (x * (x * 0.002777777777777778d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.002777777777777778)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.4% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (+ 2.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* 0.002777777777777778 (* x (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (0.002777777777777778 * (x * (x * x)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (0.002777777777777778d0 * (x * (x * x)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (0.002777777777777778 * (x * (x * x)))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (0.002777777777777778 * (x * (x * x)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.002777777777777778 * Float64(x * Float64(x * x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (0.002777777777777778 * (x * (x * x)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(0.002777777777777778 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.1% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 2.0 (+ 2.0 (* (* x x) (* 0.002777777777777778 (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (0.002777777777777778 * (x * (x * (x * x))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (0.002777777777777778d0 * (x * (x * (x * x))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (0.002777777777777778 * (x * (x * (x * x))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (0.002777777777777778 * (x * (x * (x * x))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.002777777777777778 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (0.002777777777777778 * (x * (x * (x * x))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.002777777777777778 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{{\frac{1}{12}}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}^{3}\right)}{\color{blue}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 54.0%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{0.006944444444444444 + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right) - 0.08333333333333333\right)}}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 90.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 90.3%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.002777777777777778\right)}} \]

11. Final simplification 90.3%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.5% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 2.0 (+ 2.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 90.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 87.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 87.5%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.5% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.041666666666666664)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (x * (0.5d0 + ((x * x) * 0.041666666666666664d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.041666666666666664)))));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.041666666666666664)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.041666666666666664))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.041666666666666664)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}\right)}\right) \]

   3. cosh-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh x\right) \]

   4. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\cosh x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 87.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 87.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.0% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.4:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{x \cdot x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 1.4) 1.0 (/ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.4) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.4d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = 2.0d0 / (x * x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.4) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.4:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = 2.0 / (x * x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.4)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(x * x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.4)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = 2.0 / (x * x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.4], 1.0, N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.3999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 65.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.3999999999999999 < x

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{{x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   8. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{x \cdot x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.7% accurate, 29.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 76.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 76.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 13: 50.3% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024147 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic secant"
  :precision binary64
  (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))