Midpoint on a great circle

Percentage Accurate: 98.6% → 99.6%

Time: 20.4s

Alternatives: 18

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{t\_1}^{3} + {\sin \lambda_2}^{3} \cdot {\sin \lambda_1}^{3}}{{t\_1}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_0 - t\_1\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (*
      (- (* (cos lambda2) (sin lambda1)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
      (cos phi2))
     (+
      (cos phi1)
      (*
       (cos phi2)
       (/
        (+ (pow t_1 3.0) (* (pow (sin lambda2) 3.0) (pow (sin lambda1) 3.0)))
        (+ (pow t_1 2.0) (* t_0 (- t_0 t_1))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	return lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((pow(t_1, 3.0) + (pow(sin(lambda2), 3.0) * pow(sin(lambda1), 3.0))) / (pow(t_1, 2.0) + (t_0 * (t_0 - t_1)))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2)
    t_1 = cos(lambda2) * cos(lambda1)
    code = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_1 ** 3.0d0) + ((sin(lambda2) ** 3.0d0) * (sin(lambda1) ** 3.0d0))) / ((t_1 ** 2.0d0) + (t_0 * (t_0 - t_1)))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2);
	double t_1 = Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1);
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.cos(lambda2) * Math.sin(lambda1)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.pow(t_1, 3.0) + (Math.pow(Math.sin(lambda2), 3.0) * Math.pow(Math.sin(lambda1), 3.0))) / (Math.pow(t_1, 2.0) + (t_0 * (t_0 - t_1)))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)
	t_1 = math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)
	return lambda1 + math.atan2((((math.cos(lambda2) * math.sin(lambda1)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.pow(t_1, 3.0) + (math.pow(math.sin(lambda2), 3.0) * math.pow(math.sin(lambda1), 3.0))) / (math.pow(t_1, 2.0) + (t_0 * (t_0 - t_1)))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(cos(lambda2) * sin(lambda1)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64((t_1 ^ 3.0) + Float64((sin(lambda2) ^ 3.0) * (sin(lambda1) ^ 3.0))) / Float64((t_1 ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_0 - t_1))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	t_1 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	tmp = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_1 ^ 3.0) + ((sin(lambda2) ^ 3.0) * (sin(lambda1) ^ 3.0))) / ((t_1 ^ 2.0) + (t_0 * (t_0 - t_1)))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[lambda2], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \left({\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \left({\sin \lambda_2}^{3} \cdot {\sin \lambda_1}^{3}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \lambda_2}^{3}\right), \left({\sin \lambda_1}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \lambda_2, 3\right), \left({\sin \lambda_1}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), 3\right), \left({\sin \lambda_1}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \lambda_1, 3\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.7%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + \color{blue}{{\sin \lambda_2}^{3} \cdot {\sin \lambda_1}^{3}}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

11. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\sin \lambda_2}^{3} \cdot {\sin \lambda_1}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_1 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{t\_0}^{3} + {t\_1}^{3}}{{t\_0}^{2} + t\_1 \cdot \left(t\_1 - t\_0\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1)))
        (t_1 (* (sin lambda1) (sin lambda2))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (*
      (- (* (cos lambda2) (sin lambda1)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
      (cos phi2))
     (+
      (cos phi1)
      (*
       (cos phi2)
       (/
        (+ (pow t_0 3.0) (pow t_1 3.0))
        (+ (pow t_0 2.0) (* t_1 (- t_1 t_0))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	double t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	return lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((pow(t_0, 3.0) + pow(t_1, 3.0)) / (pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1)
    t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2)
    code = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ** 3.0d0) + (t_1 ** 3.0d0)) / ((t_0 ** 2.0d0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1);
	double t_1 = Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2);
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.cos(lambda2) * Math.sin(lambda1)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.pow(t_0, 3.0) + Math.pow(t_1, 3.0)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)
	t_1 = math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)
	return lambda1 + math.atan2((((math.cos(lambda2) * math.sin(lambda1)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.pow(t_0, 3.0) + math.pow(t_1, 3.0)) / (math.pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))
	t_1 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(cos(lambda2) * sin(lambda1)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(t_1 * Float64(t_1 - t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	tmp = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / ((t_0 ^ 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_1 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{t\_0}^{3} + {t\_1}^{3}}{t\_1 \cdot \left(t\_1 - t\_0\right) + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_2 \cdot 2\right)\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 \cdot 2\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1)))
        (t_1 (* (sin lambda1) (sin lambda2))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (*
      (- (* (cos lambda2) (sin lambda1)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
      (cos phi2))
     (+
      (cos phi1)
      (*
       (cos phi2)
       (/
        (+ (pow t_0 3.0) (pow t_1 3.0))
        (+
         (* t_1 (- t_1 t_0))
         (*
          (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* lambda2 2.0))))
          (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* lambda1 2.0)))))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	double t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	return lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((pow(t_0, 3.0) + pow(t_1, 3.0)) / ((t_1 * (t_1 - t_0)) + ((0.5 + (0.5 * cos((lambda2 * 2.0)))) * (0.5 + (0.5 * cos((lambda1 * 2.0))))))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1)
    t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2)
    code = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ** 3.0d0) + (t_1 ** 3.0d0)) / ((t_1 * (t_1 - t_0)) + ((0.5d0 + (0.5d0 * cos((lambda2 * 2.0d0)))) * (0.5d0 + (0.5d0 * cos((lambda1 * 2.0d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1);
	double t_1 = Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2);
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.cos(lambda2) * Math.sin(lambda1)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.pow(t_0, 3.0) + Math.pow(t_1, 3.0)) / ((t_1 * (t_1 - t_0)) + ((0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda2 * 2.0)))) * (0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda1 * 2.0))))))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)
	t_1 = math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)
	return lambda1 + math.atan2((((math.cos(lambda2) * math.sin(lambda1)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.pow(t_0, 3.0) + math.pow(t_1, 3.0)) / ((t_1 * (t_1 - t_0)) + ((0.5 + (0.5 * math.cos((lambda2 * 2.0)))) * (0.5 + (0.5 * math.cos((lambda1 * 2.0))))))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))
	t_1 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(cos(lambda2) * sin(lambda1)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / Float64(Float64(t_1 * Float64(t_1 - t_0)) + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda2 * 2.0)))) * Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 * 2.0)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	tmp = lambda1 + atan2((((cos(lambda2) * sin(lambda1)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / ((t_1 * (t_1 - t_0)) + ((0.5 + (0.5 * cos((lambda2 * 2.0)))) * (0.5 + (0.5 * cos((lambda1 * 2.0))))))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda2 * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\cos \lambda_2}^{2} \cdot {\cos \lambda_1}^{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \lambda_2}^{2}\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_2\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\cos \lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \lambda_1\right)\right)} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) + \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_2 \cdot 2\right)\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 \cdot 2\right)\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_1 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{t\_0}^{3} + {t\_1}^{3}}{{t\_0}^{2} + t\_1 \cdot \left(t\_1 - t\_0\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1)))
        (t_1 (* (sin lambda1) (sin lambda2))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
     (+
      (cos phi1)
      (*
       (cos phi2)
       (/
        (+ (pow t_0 3.0) (pow t_1 3.0))
        (+ (pow t_0 2.0) (* t_1 (- t_1 t_0))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	double t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((pow(t_0, 3.0) + pow(t_1, 3.0)) / (pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1)
    t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2)
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ** 3.0d0) + (t_1 ** 3.0d0)) / ((t_0 ** 2.0d0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1);
	double t_1 = Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2);
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.pow(t_0, 3.0) + Math.pow(t_1, 3.0)) / (Math.pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)
	t_1 = math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.pow(t_0, 3.0) + math.pow(t_1, 3.0)) / (math.pow(t_0, 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))
	t_1 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(t_1 * Float64(t_1 - t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(lambda2) * cos(lambda1);
	t_1 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * (((t_0 ^ 3.0) + (t_1 ^ 3.0)) / ((t_0 ^ 2.0) + (t_1 * (t_1 - t_0)))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \cdot \cos \phi_2} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \frac{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{3} + {\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}^{3}}{{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}^{2} + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 - \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (cos lambda2) (cos lambda1)) (* (sin lambda1) (sin lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (fma (cos (- lambda1 lambda2)) (cos phi2) (cos phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), fma(cos((lambda1 - lambda2)), cos(phi2), cos(phi1)));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), fma(cos(Float64(lambda1 - lambda2)), cos(phi2), cos(phi1))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\cos \phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\cos \phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \color{blue}{\phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)}} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.9999995:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{\cos \phi_2 \cdot t\_0 + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.9999995)
     (+
      lambda1
      (atan2
       (* (cos phi2) t_1)
       (+ (* (cos phi2) t_0) (+ 1.0 (* phi1 (* phi1 -0.5))))))
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) t_0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.9999995) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), ((cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.9999995d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), ((cos(phi2) * t_0) + (1.0d0 + (phi1 * (phi1 * (-0.5d0))))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.9999995) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_1), ((Math.cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.9999995:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_1), ((math.cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + t_0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.9999995)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_1), Float64(Float64(cos(phi2) * t_0) + Float64(1.0 + Float64(phi1 * Float64(phi1 * -0.5))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.9999995)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), ((cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.9999995], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(phi1 * N[(phi1 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.999999500000000041

   1. Initial program 99.0%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 85.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   if 0.999999500000000041 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.9%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.9%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.9999995:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 87.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.98:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{t\_0 + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))
        (t_1 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi1) 0.98)
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) t_0)))
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_1) (+ t_0 1.0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi1) <= 0.98) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (t_0 + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi1) <= 0.98d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0))
    else
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (t_0 + 1.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi1) <= 0.98) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + t_0));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_1), (t_0 + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi1) <= 0.98:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + t_0))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_1), (t_0 + 1.0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi1) <= 0.98)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + t_0)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_1), Float64(t_0 + 1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi1) <= 0.98)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	else
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (t_0 + 1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi1], $MachinePrecision], 0.98], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi1) < 0.97999999999999998

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 81.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   if 0.97999999999999998 < (cos.f64 phi1)

   1. Initial program 98.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.98:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 80.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.88:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{1 + \left(t\_0 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.88)
     (+
      lambda1
      (atan2 (* (cos phi2) t_1) (+ 1.0 (+ t_0 (* -0.5 (* phi1 phi1))))))
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) (* (cos phi2) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.88) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.88d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0d0 + (t_0 + ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * t_0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.88) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.88:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * t_0)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.88)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_1), Float64(1.0 + Float64(t_0 + Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.88)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.88], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$0 + N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.880000000000000004

   1. Initial program 99.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 86.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right), \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_1}^{2}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 66.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.8%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]

   if 0.880000000000000004 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 94.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.88:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(lambda2) * math.cos(phi2))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}{\cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

10. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 80.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_1}{1 + \left(t\_0 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.932)
     (+
      lambda1
      (atan2 (* (cos phi2) t_1) (+ 1.0 (+ t_0 (* -0.5 (* phi1 phi1))))))
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) t_0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.932d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0d0 + (t_0 + ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.932:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + t_0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_1), Float64(1.0 + Float64(t_0 + Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_1), (1.0 + (t_0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.932], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$0 + N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.932000000000000051

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 86.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right), \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_1}^{2}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 67.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 67.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]

   if 0.932000000000000051 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 80.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.932)
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (* -0.5 (* phi1 phi1))))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.932d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.932:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + math.cos((lambda1 - lambda2))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.932], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.932000000000000051

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 86.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 65.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 65.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}} \]

   if 0.932000000000000051 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 71.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{t\_1 + 1}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.7 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 10^{-29}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ t_1 1.0)))))
   (if (<= lambda1 -1.7e-34)
     t_2
     (if (<= lambda1 1e-29) (atan2 t_0 (+ (cos phi1) t_1)) t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = lambda1 + atan2(t_0, (t_1 + 1.0));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.7e-34) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 1e-29) {
		tmp = atan2(t_0, (cos(phi1) + t_1));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = lambda1 + atan2(t_0, (t_1 + 1.0d0))
    if (lambda1 <= (-1.7d-34)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda1 <= 1d-29) then
        tmp = atan2(t_0, (cos(phi1) + t_1))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = lambda1 + Math.atan2(t_0, (t_1 + 1.0));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -1.7e-34) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 1e-29) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + t_1));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = lambda1 + math.atan2(t_0, (t_1 + 1.0))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -1.7e-34:
		tmp = t_2
	elif lambda1 <= 1e-29:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + t_1))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(t_1 + 1.0)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -1.7e-34)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 1e-29)
		tmp = atan(t_0, Float64(cos(phi1) + t_1));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = lambda1 + atan2(t_0, (t_1 + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -1.7e-34)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 1e-29)
		tmp = atan2(t_0, (cos(phi1) + t_1));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -1.7e-34], t$95$2, If[LessEqual[lambda1, 1e-29], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -1.7e-34 or 9.99999999999999943e-30 < lambda1

   1. Initial program 98.6%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   if -1.7e-34 < lambda1 < 9.99999999999999943e-30

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 57.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 46.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 46.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -1.7 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 10^{-29}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.932)
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (* -0.5 (* phi1 phi1))))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos (- lambda1 lambda2)) 1.0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.932d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.932) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.932:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) + 1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.932)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (-0.5 * (phi1 * phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.932], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.932000000000000051

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 86.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 65.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 65.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}} \]

   if 0.932000000000000051 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 95.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 76.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 76.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.932:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{-0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 69.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 2300000:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \lambda_1 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 2300000.0)
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos (- lambda1 lambda2)) 1.0)))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos lambda1) (cos phi1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 2300000.0) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= 2300000.0d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0d0))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 2300000.0) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(lambda1) + Math.cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= 2300000.0:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(lambda1) + math.cos(phi1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= 2300000.0)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(lambda1) + cos(phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= 2300000.0)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, 2300000.0], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < 2.3e6

   1. Initial program 98.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 77.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 77.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 77.6%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 71.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 71.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   if 2.3e6 < phi1

   1. Initial program 99.6%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.7%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 77.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 77.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in lambda1 around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 68.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 2300000:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_1 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 66.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (+ (cos (- lambda1 lambda2)) 1.0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 78.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 77.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 77.4%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f64 67.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 67.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

14. Final simplification 67.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 52.4% accurate, 614.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2) :precision binary64 lambda1)

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return lambda1
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := lambda1

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024147 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Midpoint on a great circle"
  :precision binary64
  (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))