Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 17.9% → 99.4%

Time: 16.1s

Alternatives: 13

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 17.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot \left(c \cdot -4\right)\\ \frac{c \cdot \left(-4 \cdot \left(b \cdot b\right) + 8 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + t\_0}\right) \cdot \left(t\_0 + \left(b \cdot b\right) \cdot 2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* a (* c -4.0))))
   (/
    (* c (+ (* -4.0 (* b b)) (* 8.0 (* c a))))
    (* (+ b (sqrt (+ (* b b) t_0))) (+ t_0 (* (* b b) 2.0))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = a * (c * -4.0);
	return (c * ((-4.0 * (b * b)) + (8.0 * (c * a)))) / ((b + sqrt(((b * b) + t_0))) * (t_0 + ((b * b) * 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = a * (c * (-4.0d0))
    code = (c * (((-4.0d0) * (b * b)) + (8.0d0 * (c * a)))) / ((b + sqrt(((b * b) + t_0))) * (t_0 + ((b * b) * 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = a * (c * -4.0);
	return (c * ((-4.0 * (b * b)) + (8.0 * (c * a)))) / ((b + Math.sqrt(((b * b) + t_0))) * (t_0 + ((b * b) * 2.0)));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = a * (c * -4.0)
	return (c * ((-4.0 * (b * b)) + (8.0 * (c * a)))) / ((b + math.sqrt(((b * b) + t_0))) * (t_0 + ((b * b) * 2.0)))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(a * Float64(c * -4.0))
	return Float64(Float64(c * Float64(Float64(-4.0 * Float64(b * b)) + Float64(8.0 * Float64(c * a)))) / Float64(Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + t_0))) * Float64(t_0 + Float64(Float64(b * b) * 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = a * (c * -4.0);
	tmp = (c * ((-4.0 * (b * b)) + (8.0 * (c * a)))) / ((b + sqrt(((b * b) + t_0))) * (t_0 + ((b * b) * 2.0)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(c * N[(N[(-4.0 * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(8.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

6. Applied egg-rr 21.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({b}^{2} \cdot c\right) \cdot -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot c\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot {b}^{2}\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(\left(16 \cdot a\right) \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(16 \cdot a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot -8\right) + c \cdot \left(16 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)}{\frac{a}{0.5}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + 2 \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(-4 \cdot {b}^{2} + 8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-4 \cdot {b}^{2} + 8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(-4 \cdot {b}^{2}\right), \left(8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left({b}^{2}\right)\right), \left(8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left(b \cdot b\right)\right), \left(8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(8 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(8, \left(a \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(8, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(-4 \cdot \left(b \cdot b\right) + 8 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + 2 \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \]

15. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-4 \cdot \left(b \cdot b\right) + 8 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot 2\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot -8\right) + c \cdot \left(16 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)}{\frac{a}{0.5}}}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot -12 + a \cdot \left(4 \cdot \frac{c \cdot c}{b}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ (* a (+ (* c (* (* b b) -8.0)) (* c (* 16.0 (* c a))))) (/ a 0.5))
  (+
   (* 4.0 (* b (* b b)))
   (* a (+ (* (* c b) -12.0) (* a (* 4.0 (/ (* c c) b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * ((c * ((b * b) * -8.0)) + (c * (16.0 * (c * a))))) / (a / 0.5)) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (a * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((a * ((c * ((b * b) * (-8.0d0))) + (c * (16.0d0 * (c * a))))) / (a / 0.5d0)) / ((4.0d0 * (b * (b * b))) + (a * (((c * b) * (-12.0d0)) + (a * (4.0d0 * ((c * c) / b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * ((c * ((b * b) * -8.0)) + (c * (16.0 * (c * a))))) / (a / 0.5)) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (a * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((a * ((c * ((b * b) * -8.0)) + (c * (16.0 * (c * a))))) / (a / 0.5)) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (a * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(a * Float64(Float64(c * Float64(Float64(b * b) * -8.0)) + Float64(c * Float64(16.0 * Float64(c * a))))) / Float64(a / 0.5)) / Float64(Float64(4.0 * Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * b) * -12.0) + Float64(a * Float64(4.0 * Float64(Float64(c * c) / b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((a * ((c * ((b * b) * -8.0)) + (c * (16.0 * (c * a))))) / (a / 0.5)) / ((4.0 * (b * (b * b))) + (a * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(a * N[(N[(c * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * -8.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c * N[(16.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a / 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(4.0 * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(N[(c * b), $MachinePrecision] * -12.0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(4.0 * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

6. Applied egg-rr 21.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({b}^{2} \cdot c\right) \cdot -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot c\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot {b}^{2}\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(\left(16 \cdot a\right) \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(16 \cdot a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot -8\right) + c \cdot \left(16 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)}{\frac{a}{0.5}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + 2 \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}} \]

12. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{3} + a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{3}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left({b}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(a \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-4 \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    9. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \color{blue}{a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(b \cdot c\right) \cdot \left(-8 + -4\right)\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot c\right), \left(-8 + -4\right)\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot b\right), \left(-8 + -4\right)\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, b\right), \left(-8 + -4\right)\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), -8\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(16, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, b\right), -12\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot -8\right) + c \cdot \left(16 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right)}{\frac{a}{0.5}}}{\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot -12 + a \cdot \left(\frac{c \cdot c}{b} \cdot 4\right)\right)}} \]

15. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot -8\right) + c \cdot \left(16 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)}{\frac{a}{0.5}}}{4 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot -12 + a \cdot \left(4 \cdot \frac{c \cdot c}{b}\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{a \cdot \left(-8 \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(c \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot 16\right)\right)}{a \cdot \left(8 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + a \cdot \left(2 \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot -12 + a \cdot \left(4 \cdot \frac{c \cdot c}{b}\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* a (+ (* -8.0 (* c (* b b))) (* (* c c) (* a 16.0))))
  (*
   a
   (+
    (* 8.0 (* b (* b b)))
    (* a (* 2.0 (+ (* (* c b) -12.0) (* a (* 4.0 (/ (* c c) b))))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((-8.0 * (c * (b * b))) + ((c * c) * (a * 16.0)))) / (a * ((8.0 * (b * (b * b))) + (a * (2.0 * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (((-8.0d0) * (c * (b * b))) + ((c * c) * (a * 16.0d0)))) / (a * ((8.0d0 * (b * (b * b))) + (a * (2.0d0 * (((c * b) * (-12.0d0)) + (a * (4.0d0 * ((c * c) / b))))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((-8.0 * (c * (b * b))) + ((c * c) * (a * 16.0)))) / (a * ((8.0 * (b * (b * b))) + (a * (2.0 * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * ((-8.0 * (c * (b * b))) + ((c * c) * (a * 16.0)))) / (a * ((8.0 * (b * (b * b))) + (a * (2.0 * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(-8.0 * Float64(c * Float64(b * b))) + Float64(Float64(c * c) * Float64(a * 16.0)))) / Float64(a * Float64(Float64(8.0 * Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(a * Float64(2.0 * Float64(Float64(Float64(c * b) * -12.0) + Float64(a * Float64(4.0 * Float64(Float64(c * c) / b)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * ((-8.0 * (c * (b * b))) + ((c * c) * (a * 16.0)))) / (a * ((8.0 * (b * (b * b))) + (a * (2.0 * (((c * b) * -12.0) + (a * (4.0 * ((c * c) / b))))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(-8.0 * N[(c * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(a * 16.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[(N[(8.0 * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(2.0 * N[(N[(N[(c * b), $MachinePrecision] * -12.0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(4.0 * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

6. Applied egg-rr 21.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + 16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-8 \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({b}^{2} \cdot c\right) \cdot -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot c\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot {b}^{2}\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(16 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \left(\left(16 \cdot a\right) \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(16 \cdot a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(8 \cdot {b}^{3} + a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(8 \cdot {b}^{3} + a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(8 \cdot {b}^{3}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{3} \cdot 8\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{3}\right), 8\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right), 8\right), \left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot {b}^{2}\right), 8\right), \left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right), 8\right), \left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right), 8\right), \left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 8\right), \left(a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 8\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right)\right) + 2 \cdot \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. distribute-lft-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -8\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(16, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 8\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(2 \cdot \color{blue}{\left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{{c}^{2}}{b} + 8 \cdot \frac{{c}^{2}}{b}\right) + \left(-8 \cdot \left(b \cdot c\right) + -4 \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \frac{a \cdot \left(\left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot -8 + \left(16 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\color{blue}{a \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot 8 + a \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{c \cdot c}{b} \cdot 4\right) + \left(c \cdot b\right) \cdot -12\right)\right)\right)}} \]

13. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \frac{a \cdot \left(-8 \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(c \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot 16\right)\right)}{a \cdot \left(8 \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + a \cdot \left(2 \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot -12 + a \cdot \left(4 \cdot \frac{c \cdot c}{b}\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-5 \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{b \cdot b} - a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (*
    c
    (/
     (+
      (/ (* -5.0 (* (* c c) (* a (* a a)))) (* (* b b) (* b b)))
      (- (/ (* c (* (* a a) -2.0)) (* b b)) a))
     (* b (* b b))))
   (/ -1.0 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-5.0 * ((c * c) * (a * (a * a)))) / ((b * b) * (b * b))) + (((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a)) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((c * (((((-5.0d0) * ((c * c) * (a * (a * a)))) / ((b * b) * (b * b))) + (((c * ((a * a) * (-2.0d0))) / (b * b)) - a)) / (b * (b * b)))) + ((-1.0d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-5.0 * ((c * c) * (a * (a * a)))) / ((b * b) * (b * b))) + (((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a)) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((c * ((((-5.0 * ((c * c) * (a * (a * a)))) / ((b * b) * (b * b))) + (((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a)) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(-5.0 * Float64(Float64(c * c) * Float64(a * Float64(a * a)))) / Float64(Float64(b * b) * Float64(b * b))) + Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(a * a) * -2.0)) / Float64(b * b)) - a)) / Float64(b * Float64(b * b)))) + Float64(-1.0 / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((c * ((((-5.0 * ((c * c) * (a * (a * a)))) / ((b * b) * (b * b))) + (((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a)) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(c * N[(N[(N[(N[(-5.0 * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}} + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{c \cdot \left(4 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{a \cdot b}\right)\right) - \frac{1}{b}\right)} \]

7. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{{b}^{5}} + \frac{-0.25}{a} \cdot \left(\frac{{a}^{4} \cdot 20}{{b}^{6}} \cdot \frac{c}{b}\right)\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\left(-5 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{2}}{{b}^{4}} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right) - a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-5 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{2}}{{b}^{4}} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right) - a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 97.1%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-5 \cdot \left(\left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot c}{b \cdot b} - a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]

11. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-5 \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{b \cdot b} - a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.8% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} - c}{b} - \frac{\frac{a \cdot \frac{c \cdot c}{b}}{b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (/ (- (/ (* -2.0 (* a (* a (* c (* c c))))) (* b (* b (* b b)))) c) b)
  (/ (/ (* a (/ (* c c) b)) b) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * (b * b)))) - c) / b) - (((a * ((c * c) / b)) / b) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (((((-2.0d0) * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * (b * b)))) - c) / b) - (((a * ((c * c) / b)) / b) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * (b * b)))) - c) / b) - (((a * ((c * c) / b)) / b) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * (b * b)))) - c) / b) - (((a * ((c * c) / b)) / b) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(a * Float64(a * Float64(c * Float64(c * c))))) / Float64(b * Float64(b * Float64(b * b)))) - c) / b) - Float64(Float64(Float64(a * Float64(Float64(c * c) / b)) / b) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * (b * b)))) - c) / b) - (((a * ((c * c) / b)) / b) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(a * N[(a * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - c), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(a * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]

   2. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - c}{b} - \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} - c}{b} - \frac{\frac{a \cdot \frac{c \cdot c}{b}}{b}}{b}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.8% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (/ (/ (* -2.0 (* a (* a (* c (* c c))))) (* b (* b b))) b)
   (+ c (/ (* a (* c c)) (* b b))))
  b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * b))) / b) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (((((-2.0d0) * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * b))) / b) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * b))) / b) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * b))) / b) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(a * Float64(a * Float64(c * Float64(c * c))))) / Float64(b * Float64(b * b))) / b) - Float64(c + Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b)))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((((-2.0 * (a * (a * (c * (c * c))))) / (b * (b * b))) / b) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(a * N[(a * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - N[(c + N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{\left(3 + 1\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   2. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{3} \cdot b}\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   3. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b}\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b}\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 96.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right), \mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right) \]

9. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.8% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot \left(-1 + c \cdot \left(\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{a}{b \cdot b}\right)\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (*
   c
   (+
    -1.0
    (* c (- (/ (* c (* (* a a) -2.0)) (* (* b b) (* b b))) (/ a (* b b))))))
  b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-1.0 + (c * (((c * ((a * a) * -2.0)) / ((b * b) * (b * b))) - (a / (b * b)))))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * ((-1.0d0) + (c * (((c * ((a * a) * (-2.0d0))) / ((b * b) * (b * b))) - (a / (b * b)))))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-1.0 + (c * (((c * ((a * a) * -2.0)) / ((b * b) * (b * b))) - (a / (b * b)))))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * (-1.0 + (c * (((c * ((a * a) * -2.0)) / ((b * b) * (b * b))) - (a / (b * b)))))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * Float64(-1.0 + Float64(c * Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(a * a) * -2.0)) / Float64(Float64(b * b) * Float64(b * b))) - Float64(a / Float64(b * b)))))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * (-1.0 + (c * (((c * ((a * a) * -2.0)) / ((b * b) * (b * b))) - (a / (b * b)))))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * N[(-1.0 + N[(c * N[(N[(N[(c * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a}{{b}^{2}}\right) - 1\right)\right)}, b\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a}{{b}^{2}}\right) - 1\right)\right), b\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a}{{b}^{2}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a}{{b}^{2}}\right) + -1\right)\right), b\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a}{{b}^{2}}\right)\right), -1\right)\right), b\right) \]

10. Simplified 96.5%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot c}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{a}{b \cdot b}\right) + -1\right)}}{b} \]

11. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-1 + c \cdot \left(\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{a}{b \cdot b}\right)\right)}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.5% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{-1}{b} + c \cdot \frac{\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (/ -1.0 b)
   (* c (/ (- (/ (* c (* (* a a) -2.0)) (* b b)) a) (* b (* b b)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-1.0d0) / b) + (c * ((((c * ((a * a) * (-2.0d0))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-1.0 / b) + Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(a * a) * -2.0)) / Float64(b * b)) - a) / Float64(b * Float64(b * b))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-1.0 / b) + (c * ((((c * ((a * a) * -2.0)) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(N[(N[(c * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - a), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}} + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{c \cdot \left(4 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{a \cdot b}\right)\right) - \frac{1}{b}\right)} \]

7. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{{b}^{5}} + \frac{-0.25}{a} \cdot \left(\frac{{a}^{4} \cdot 20}{{b}^{6}} \cdot \frac{c}{b}\right)\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot c\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot {a}^{2}\right), c\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({a}^{2}\right)\right), c\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot a\right)\right), c\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \left(b \cdot b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   12. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot c}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]

11. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1}{b} + c \cdot \frac{\frac{c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -2\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 95.2% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{a \cdot \left(0 - c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (- (/ (* a (- 0.0 (* c c))) (* b (* b b))) (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * (0.0 - (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((a * (0.0d0 - (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * (0.0 - (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((a * (0.0 - (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(a * Float64(0.0 - Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(b * b))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((a * (0.0 - (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(a * N[(0.0 - N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({c}^{3} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right)\right)}, b\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot {c}^{3}\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot {c}^{3}\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left({c}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   4. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left(c \cdot {c}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}\right), \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

10. Simplified 96.2%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)\right)}}{b} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}}{b} \]

    3. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)\right), b\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{a \cdot \frac{a}{0.5}}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}} \]

13. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{c}{b} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

    7. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 94.6%

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 94.6%

    \[\leadsto -\color{blue}{\left(\frac{c}{b} + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]

16. Final simplification 94.6%

    \[\leadsto \frac{a \cdot \left(0 - c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{4}} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({c}^{3} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right)\right)}, b\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot {c}^{3}\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot {c}^{3}\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left({c}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   4. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left(c \cdot {c}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}} + \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}\right), \left(\frac{1}{{c}^{2}} + \frac{a}{{b}^{2} \cdot c}\right)\right)\right), b\right) \]

10. Simplified 96.2%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)\right)}}{b} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}}{b} \]

    3. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(\frac{\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)\right), b\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \frac{\frac{a \cdot \frac{a}{0.5}}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \left(\frac{a}{c \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{1}{c \cdot c}\right)}{b}} \]

13. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}\right)}\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 94.6%

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right)\right) \]

15. Simplified 94.6%

    \[\leadsto -\color{blue}{\frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

16. Final simplification 94.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 11: 94.9% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{a}}{\frac{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}}{c}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (/ 1.0 a) (/ (- (/ c b) (/ b a)) c)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (1.0 / a) / (((c / b) - (b / a)) / c);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (1.0d0 / a) / (((c / b) - (b / a)) / c)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (1.0 / a) / (((c / b) - (b / a)) / c);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (1.0 / a) / (((c / b) - (b / a)) / c)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(1.0 / a) / Float64(Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a)) / c))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (1.0 / a) / (((c / b) - (b / a)) / c);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(1.0 / a), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{a \cdot \color{blue}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{\color{blue}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 20.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a}}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}}{c}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b} + -1 \cdot \frac{b}{a}\right), c\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right)\right), c\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\right), c\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), c\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), c\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right), c\right)\right) \]

9. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}}{c}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 94.9% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{a}}{\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{c}}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (/ 1.0 a) (/ (- (/ a b) (/ b c)) a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (1.0 / a) / (((a / b) - (b / c)) / a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (1.0d0 / a) / (((a / b) - (b / c)) / a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (1.0 / a) / (((a / b) - (b / c)) / a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (1.0 / a) / (((a / b) - (b / c)) / a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(1.0 / a) / Float64(Float64(Float64(a / b) - Float64(b / c)) / a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (1.0 / a) / (((a / b) - (b / c)) / a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(1.0 / a), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(a / b), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{a \cdot \color{blue}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{\color{blue}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 20.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a}}{\frac{2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a}{b}}{a}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a}{b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a}{b} + -1 \cdot \frac{b}{c}\right), a\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{c}\right)\right)\right), a\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{c}\right), a\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \left(\frac{b}{c}\right)\right), a\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{b}{c}\right)\right), a\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 94.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), a\right)\right) \]

9. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{c}}{a}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 90.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 20.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 20.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 88.7%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 88.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 88.7%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 88.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{c}{b}} \]

10. Final simplification 88.7%

    \[\leadsto \frac{c}{0 - b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024147 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))